Формулы сокращённого умножения: Квадрат суммы и квадрат разности
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут самостоятельно выводить и применять формулы квадрата суммы и квадрата разности для преобразования выражений и быстрого счета.
- Образовательная задача: сформировать навык распознавания ФСУ в структурах многочленов и их применения в прямом и обратном направлении.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать сложные структуры, выделяя в них компоненты формул (первое и второе выражения).
- Воспитательная задача: способствовать развитию критического мышления и автономии через предоставление выбора уровня сложности заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие логического мышления и внимательности при работе с алгебраическими структурами.
- Повышение уверенности в своих силах при решении нестандартных задач.
- Умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в учебном диалоге.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки, проводить сравнение и классификацию объектов.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей и алгоритмом.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
- Читательская грамотность: умение интерпретировать математический текст и переводить его в знаково-символическую форму.
Предметные
- Знать формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
- Уметь возводить в квадрат сумму и разность двух выражений (одночленов).
- Уметь представлять трехчлен в виде квадрата двучлена (сворачивание формулы).
- Владеть приемами быстрого счета с использованием ФСУ (например, возведение в квадрат чисел типа 101, 99).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение: осознание значимости математических знаний для упрощения интеллектуального труда.
- Смыслообразование: установление связи между изученным алгоритмом и его практическим применением.
Регулятивные УУД
- Целеполагание: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль: сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Моделирование: преобразование объекта из чувственной формы в модель (формулу).
- Логические: анализ объектов с целью выделения признаков, синтез как составление целого из частей.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество: поиск и сбор информации в процессе групповой работы.
- Управление поведением партнера: контроль, коррекция и оценка действий партнера.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 30 экз.
- Подготовить презентацию с геометрической интерпретацией формулы квадрата суммы.
- Написать на скрытой части доски примеры для актуализации знаний.
- Приготовить цветные мелки/маркеры для выделения слагаемых в формулах.
- Проверить работу проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать благоприятную атмосферу, настроить подростков на серьезную, но автономную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «"Добрый день, друзья! Рад вас видеть. Сегодня мы займемся темой, которая в алгебре считается 'золотым ключом'. Она позволяет решать за секунды то, на что другие тратят минуты. Проверьте, чтобы у вас на столах были тетрадь, учебник и черновик. Готовы?"» | Приветствуют учителя, проверяют наличие необходимых принадлежностей на рабочем месте. |
2 мин | Приём «Крючок»: «"Кто из вас может прямо сейчас в уме возвести 101 в квадрат за 5 секунд? А 99? Сегодня вы научитесь этому секрету. В математике, как и в жизни, есть короткие пути. Мы начинаем изучение формул сокращённого умножения."» | Пытаются посчитать в уме, осознают сложность вычисления столбиком в уме, проявляют интерес к «короткому пути». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Для того чтобы открыть этот секрет, нам нужно вспомнить то, что мы уже умеем — умножать многочлены."»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить правило умножения многочлена на многочлен как базу для вывода новых формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «"Посмотрите на доску. Нам нужно выполнить умножение: $(x + 3)(x + 3)$ и $(a - b)(a - b)$. Выполните это в тетрадях стандартным способом умножения 'каждый на каждый'. Кто хочет поработать у доски?"» | Двое учеников работают у доски, остальные в тетрадях. Записывают: $(x+3)(x+3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$. |
2 мин | «"Обратите внимание на результат. Какие слагаемые мы привели? Что общего у этих двух примеров? Мы умножали выражение на само себя, то есть возводили в квадрат."» | Отвечают: «"Мы привели подобные слагаемые в середине. В обоих случаях получилось удвоенное произведение"». |
Запись в тетрадях
$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot 3x + 3^2 = x^2 + 6x + 9$
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Мы увидели закономерность. А можно ли записать это в общем виде для любых чисел $a$ и $b$, чтобы не делать промежуточных вычислений?"»
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулы квадрата суммы и разности, дать им геометрическую интерпретацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Приём «Сократовский диалог»: «"Давайте выведем формулу для $(a + b)^2$. Представьте это как $(a + b)(a + b)$. Продиктуйте мне шаги..."» Учитель записывает на доске вывод формулы, выделяя цветом $a^2$, $2ab$ и $b^2$. «"Как мы назовем эти части? Квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго."» | Диктуют: «"$a$ умножить на $a$ — это $a$ в квадрате, $a$ на $b$ — это $ab$, $b$ на $a$ — это снова $ab$, $b$ на $b$ — это $b$ в квадрате"». Формулируют правило словами. |
4 мин | Демонстрирует слайд с геометрическим доказательством: большой квадрат со стороной $(a+b)$, разделенный на два квадрата ($a^2$ и $b^2$) и два прямоугольника ($ab$). «"Видите? Алгебра и геометрия говорят об одном и том же. Площадь всего квадрата равна сумме площадей его частей."» | Рассматривают чертеж, соотносят алгебраические слагаемые с геометрическими фигурами. Рисуют схематично в тетрадь. |
4 мин | «"А теперь попробуйте сами по аналогии получить формулу для $(a - b)^2$. В чем будет единственное отличие?"» Учитель контролирует процесс, проходя по рядам. | Самостоятельно выводят формулу в тетрадях. Отвечают: «"Минус будет только перед удвоенным произведением, потому что квадрат отрицательного числа — это плюс"». |
Запись в тетрадях
Формулы сокращённого умножения:
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Теперь у нас есть инструмент. Давайте проверим его в деле на тех самых примерах из начала урока."»
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение формул на простых примерах и в вычислениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «"Вернемся к 101 в квадрате. Как представить 101 как сумму удобных чисел? Конечно, $100 + 1$. Применим формулу: $100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2$. Сколько получится?"» | Считают устно: $10000 + 200 + 1 = 10201$. Восхищаются простотой метода. |
4 мин | «"А теперь решим из учебника: №399 (а, в). Нужно возвести в квадрат $(2x + 3)^2$ и $(y - 5)^2$. Кто пойдет к доске проговаривать алгоритм?"» | Ученик у доски: «"Квадрат первого выражения — это $(2x)^2 = 4x^2$, плюс удвоенное произведение — это $2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$, плюс квадрат второго — это 9. Итого: $4x^2 + 12x + 9$."» |
Эталон решения
$(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$
$(y - 5)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 = y^2 - 10y + 25$
$(y - 5)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 = y^2 - 10y + 25$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Вы отлично справляетесь. Пора немного размяться перед самостоятельным вызовом."»
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять физическое напряжение и переключить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Приём «Истина-Ложь»: «"Встаньте, пожалуйста. Я буду называть утверждения. Если оно верное — хлопаем над головой, если ложное — приседаем. 1. Квадрат суммы — это $a^2 + b^2$ (Ложь). 2. $(x-y)^2$ всегда положительно (Истина). 3. Удвоенное произведение $3x$ и $2$ — это $6x$ (Ложь, это $12x$). 4. В формуле квадрата разности два минуса (Ложь)."» | Выполняют физические упражнения, одновременно проверяя свои знания по теме. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Встряхнули руки, присели, продолжаем работу."»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала через дифференцированные задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «"Перед вами карточки трех цветов. Зеленый — базовый уровень (простые числа), Желтый — средний (с буквами и коэффициентами), Красный — продвинутый (с дробями или несколькими переменными). Выберите тот уровень, который вам сейчас по силам, но помните — я ценю смелость."» | Выбирают карточку соответствующего цвета и приступают к решению. |
5 мин | Учитель наблюдает, оказывает индивидуальную помощь тем, кто выбрал красный уровень и затрудняется. | Самостоятельно решают 4 примера на применение формул. |
2 мин | Выводит ответы на экран. «"Возьмите зеленый карандаш и проверьте себя. Если все верно — поставьте себе 'плюс' на полях."» | Сверяют решения с эталоном, проводят самоанализ ошибок. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «"Кто выбрал красный уровень и решил без ошибок? Молодцы! Те, кто выбрал зеленый и справился — вы заложили отличный фундамент."»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, оценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «"Давайте подведем итог. Какая часть формулы чаще всего 'теряется' при решении? Почему? Кому геометрическая модель помогла понять формулу лучше?"» Проводит опрос по приёму «Светофор» (карточки понятности). | Отвечают: «"Чаще всего забываем удвоенное произведение"». Поднимают карточки: зеленый (все понял), желтый (есть вопросы), красный (ничего не понял). |
4 мин | «"Запишите домашнее задание. Оно тоже на выбор. И не забудьте про 'Билет на выход' — напишите на маленьком листке один пример возведения в квадрат, который вы теперь можете решить в уме."» | Записывают ДЗ, заполняют «Билет на выход» и сдают учителю при выходе из класса. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (среднего или продвинутого), нет ошибок в знаках и степенях.
- «4» — верно выполнены задания, но допущена 1 вычислительная ошибка или ошибка в знаке при сохранении верного алгоритма.
- «3» — выполнен базовый уровень, или допущены ошибки в применении формулы (забыто удвоенное произведение), но понят общий принцип.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое слагаемое в формуле кажется тебе самым коварным? | Выявление типичной ошибки (удвоенное произведение). |
Где в реальной жизни нам может пригодиться быстрое возведение в квадрат? | Связь с практикой и функциональной грамотностью. |
С каким настроением ты уходишь с урока алгебры? | Эмоциональная рефлексия, важная для подростков. |
Завершающее слово учителя
«"Сегодня вы освоили две из семи важнейших формул алгебры. Это как выучить первые аккорды на гитаре — дальше будет интереснее и сложнее, но база у вас уже есть. Помните: математика — это не про зубрежку, а про поиск красивых и коротких путей. Если сегодня что-то не получилось — это не повод расстраиваться, а повод попробовать еще раз дома. До встречи на следующем уроке!"»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, №401, №403 (а, б) | Отработка стандартного применения формул квадрата суммы и разности. |
Средний (повышающий) | №405, №410 | Применение формул для упрощения выражений с последующим подставлением чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача: доказать, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$ | Исследовательское задание на анализ взаимосвязи двух формул. |
Контрольный вопрос: «Как изменится результат $(a-b)^2$, если поменять местами $a$ и $b$?»