Методы решения задач по теории чисел: от делимости до целых точек
Цели и задачи
- Цель: систематизировать знания о свойствах делимости, признаках делимости и методах работы с остатками для успешного решения задач типа №19 ЕГЭ профильного уровня.
- Образовательная задача: отработать алгоритмы доказательства существования или отсутствия решения в задачах на целые числа.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через построение математических моделей и поиск контрпримеров.
- Воспитательная задача: формировать культуру математической аргументации и уверенность при работе с нестандартными задачами.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания математики как универсального языка науки.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием в условиях подготовки к экзаменам (стрессоустойчивость).
- Критичность мышления, способность распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий, строить логическую цепь рассуждений.
- Регулятивные: способность к самопроверке и коррекции хода решения при обнаружении противоречия.
- Коммуникативные: умение аргументированно представлять свою позицию и вести дискуссию о методах решения.
Предметные
- Знать и применять основную теорему арифметики, свойства делимости суммы и произведения.
- Уметь использовать метод оценки плюс перебор при решении уравнений в целых числах.
- Владеть приемами построения примеров (конструкций) для подтверждения возможности существования математического объекта.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между учебной деятельностью и будущей профессиональной самореализацией.
Регулятивные УУД
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению в сложном разделе теории чисел.
Познавательные УУД
- Логические: синтез, подведение под понятие, выведение следствий, доказательство.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка действий партнера при работе в парах.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с подборкой задач №19 из открытого банка ФИПИ (по 1 экз. на ученика).
- Подготовить презентацию с разбором ключевых теорем (свойства делимости, признаки делимости на 3, 9, 11).
- Оформить на доске таблицу "Оценка + пример" как основной метод решения пункта (в) задачи №19.
- Подготовить карточки для рефлексии "Светофор" (красный, желтый, зеленый).
- Проверить работу проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создание психологического настроя на работу с задачами высокого уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Здравствуйте, коллеги! Именно так я хочу к вам обращаться сегодня, потому что теория чисел — это область, где даже школьник может столкнуться с гипотезой, которую не могут доказать веками. Сегодня наш практикум посвящен задаче №19 ЕГЭ. Многие её боятся, считая 'олимпиадной', но на самом деле пункты (а) и (б) доступны каждому, кто умеет рассуждать. Давайте сегодня докажем себе, что целые числа — это не страшно, а логично. Наша цель — освоить приемы, которые принесут вам заветные баллы." | Настраиваются на работу, проверяют наличие рабочих листов и тетрадей. Включаются в диалог, осознавая значимость темы для итоговой аттестации. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Математика — это гимнастика ума, а теория чисел — её высшая проба. Начнем с разминки."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (7 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти базовые свойства делимости и признаки, необходимые для решения задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте проведем блиц-опрос. Вспомним основные инструменты. Как проверить, делится ли число на 11, не используя калькулятор? Кто сформулирует признак Паскаля или хотя бы его частный случай? А теперь вспомните: если произведение двух чисел делится на простое число p, какой вывод мы обязаны сделать? Правильно, хотя бы один из множителей делится на p. Эти простые факты — фундамент наших сегодняшних решений." | Отвечают на вопросы: "Сумма цифр на четных местах минус сумма цифр на нечетных местах должна делиться на 11". Вспоминают свойства простых чисел и основной теоремы арифметики. |
3 мин | "Посмотрите на доску. Записано уравнение: $3x + 5y = 17$. Найдите хотя бы одно решение в целых числах подбором. Как мы называем такие уравнения? Правильно, диофантовы. В задачах №19 мы часто будем сводить условие к поиску таких пар." | Предлагают варианты: $x=4, y=1$. Записывают термин "Диофантовы уравнения" в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Свойство: если $a \cdot b \vdots p$ (где $p$ — простое), то $a \vdots p$ или $b \vdots p$.
- Признак делимости на 11: $\sum_{чет} - \sum_{нечет} \vdots 11$.
- Диофантово уравнение — уравнение в целых числах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Инструменты готовы. Переходим к практике решения реальной задачи."
Этап 3. Решение типовой задачи (моделирование) (10 мин)
Цель этапа: разобрать логику решения пунктов (а) и (б) задачи №19 на конкретном примере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | "Разберем задачу: 'Можно ли представить число 2026 в виде суммы пяти натуральных чисел, каждое из которых делится на свои цифры и не содержит нулей в записи?'. Начнем с пункта (а): 'Существует ли такое представление?'. Часто достаточно просто предъявить пример. Давайте попробуем взять максимально простые числа. Например, 1000 — нельзя (есть нули). 111 — делится на 1? Да. На 3? Да. Попробуем подобрать комбинацию. Если мы не можем найти пример быстро, переходим к пункту (б): 'Может ли сумма быть...'. Здесь часто работает метод от противного или работа с остатками." | Один ученик у доски пробует подбирать числа. Класс предлагает варианты: 111, 12, 24, 36. Проверяют делимость каждого числа на его цифры. Обсуждают, как остатки от деления на 9 могут помочь в оценке суммы. |
Эталон решения
Для пункта (а): Пример: $2000 + 12 + 12 + 1 + 1$ не подходит (нули). Правильный подход: взять числа типа 111, 111, 111, 111 и остаток. Если пример найден — задача решена. Для пункта (б): Доказательство через четность или остатки. Если все числа нечетные, их сумма из 5 слагаемых обязана быть нечетной. Если 2026 четное, то среди слагаемых есть четные.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Запомните: в пункте (а) ваш лучший друг — пример, в пункте (б) — логическое противоречие."
Этап 4. Групповой практикум (15 мин)
Цель этапа: отработка навыков решения в малых группах с использованием приема "Think-Pair-Share".
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Теперь работаем в парах. В ваших рабочих листах задача №2 про последовательность чисел. Используем метод 'Подумай — обсуди в паре — поделись'. Сначала 2 минуты думаете сами, затем 5 минут обсуждаете с соседом и оформляете решение пунктов (а) и (б)." | Индивидуально читают условие задачи, делают первые наброски. |
8 мин | Учитель обходит класс, консультирует группы, задает наводящие вопросы: "А что если рассмотреть остатки при делении на 3?", "Посмотрите, не ограничивает ли условие сверху наше значение?". | Активно обсуждают в парах. Один пишет, другой проверяет. Спорят о возможности существования примера. |
5 мин | "Время вышло. Кто готов представить свое решение пункта (б) на доске? Помните про критерии: решение должно быть полным и обоснованным." | Представители двух пар выходят к доске, записывают краткое обоснование. Остальные сверяют со своими результатами, задают вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично. Многие увидели скрытую арифметическую прогрессию. Это ключ к решению подобных задач."
Этап 5. Анализ типичных ошибок и обобщение (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать основные стратегии и предостеречь от типичных ошибок в оформлении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте разберем, за что на ЕГЭ снимают баллы в 19-й задаче. Ошибка №1: в пункте (а) написан ответ 'да', но не приведен пример. Это 0 баллов. Ошибка №2: в пункте (б) приведен пример, который не работает, или просто написано 'нет'. Нужно строгое доказательство. Ошибка №3: в пункте (в) найдена оценка, но не показано, что она достигается. Запомните формулу успеха для пункта (в): Оценка + Пример." | Записывают в тетрадь 'Золотые правила 19-й задачи'. Задают уточняющие вопросы по оформлению. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы знаете 'подводные камни'. Осталось закрепить это дома."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Наш практикум подходит к концу. Возьмите ваши карточки 'Светофор'. Поднимите зеленую, если вы сегодня поняли алгоритм решения пунктов (а) и (б). Желтую — если понимаете, но боитесь запутаться в вычислениях. Красную — если теория чисел пока кажется магией. Спасибо. Теперь запишите домашнее задание. Оно дифференцированное." | Поднимают карточки, оценивая свой уровень. Записывают домашнее задание из таблицы на доске. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно решены пункты (а) и (б) в обеих задача практикума, приведено полное логическое обоснование, в пункте (а) предъявлен работающий пример.
- "4" — Верно решен пункт (а) в обеих задачах и пункт (б) в одной из задач, допущены незначительные погрешности в оформлении.
- "3" — Верно решены только пункты (а) в обеих задачах (предъявлены примеры), или решен пункт (б) с недочетами в логике.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой метод (пример или доказательство) дается вам легче? | Выявление индивидуальных когнитивных предпочтений (интуиция vs логика). |
В какой момент решения задачи №2 вы почувствовали затруднение? | Определение 'зон разрыва' в понимании свойств чисел. |
Сможете ли вы теперь самостоятельно объяснить однокласснику, как строить пример для пункта (а)? | Оценка уровня усвоения способа действия (переход в речевую фазу). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг к покорению самой сложной задачи ЕГЭ. Теория чисел не терпит суеты, она любит тишину и вдумчивый перебор. Не расстраивайтесь, если пример не находится сразу — это нормально даже для профессиональных математиков. Главное, что вы научились видеть структуру числа. На следующем уроке мы разберем 'королевский' пункт (в) — нахождение экстремумов. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 19.1, 19.2 из РТ | Решить пункты (а) и (б) в двух задачах на свойства делимости. |
Средний (повышающий) | № 19.3 + обоснование | Решить задачу на среднее арифметическое целых чисел, оформить пункт (б) методом от противного. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача 'О магическом квадрате' | Исследовательская задача: доказать невозможность заполнения квадрата 3х3 простыми числами с одинаковой суммой. |
Контрольный вопрос: Какое минимальное количество нечетных чисел должно быть в наборе, чтобы их сумма была четной?