Производная функции; Производные элементарных функций
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут самостоятельно вычислять производные элементарных функций (степенной, тригонометрических, показательной и логарифмической) и применять таблицу производных для решения задач из открытого банка ФИПИ.
- Образовательная задача: Сформировать понятие производной как мгновенной скорости изменения функции и изучить таблицу производных элементарных функций.
- Развивающая задача: Развивать навыки аналитического мышления через установление связей между физическими процессами и математическими моделями.
- Воспитательная задача: Формировать ответственное отношение к подготовке к государственной итоговой аттестации (ЕГЭ) через работу с реальными экзаменационными материалами.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории с учетом требований ЕГЭ.
- Умение управлять своим вниманием и временем в условиях решения сложных математических задач.
- Критическое отношение к результатам своей деятельности и умение признавать ошибки.
Метапредметные
- Познавательные: умение использовать знаково-символические средства (таблицы, формулы) для решения учебных задач.
- Регулятивные: способность принимать и сохранять учебную задачу, планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения в ходе проблемного диалога с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение производной функции в точке и её физический смысл.
- Владеть таблицей производных основных элементарных функций.
- Уметь находить производные суммы, разности и произведения функции на число.
- Уметь применять технику дифференцирования при решении прототипов задания №12 ЕГЭ (профильный уровень).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения.
- Развитие логического мышления и воли при преодолении интеллектуальных затруднений.
Регулятивные УУД
- Самоконтроль процесса вычислений по эталону.
- Коррекция действий после обнаружения ошибок в применении формул дифференцирования.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (выбор нужной формулы из таблицы).
- Синтез как составление целого из частей (дифференцирование суммы функций).
Коммуникативные УУД
- Участие в коллективном обсуждении проблем.
- Сотрудничество с учителем в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать таблицу производных элементарных функций (по 1 шт. на парту).
- Подготовить подборку задач из открытого банка ФИПИ (задание №12 ЕГЭ Профиль) на карточках.
- Настроить проектор для демонстрации динамической модели приращения функции в GeoGebra или аналогичной среде.
- Выписать на доске ключевые формулы приращения: Δx и Δy.
- Подготовить стикеры трех цветов для этапа рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать контекст практической значимости темы для будущего экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Сегодня мы приступаем к одной из самых мощных тем в алгебре, которая является фундаментом для всего математического анализа. В ЕГЭ по профильной математике производная встречается минимум в двух заданиях, а в физике — это ключ к пониманию механики. | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебных принадлежностей, настраиваются на серьезную работу. |
2 мин | Учитель использует приём «Крючок»: "Представьте, что вы едете на беспилотном автомобиле. Датчики фиксируют расстояние каждые 0.01 секунды. Как бортовому компьютеру понять, превышаете ли вы скорость в конкретный миг, если у него есть только данные о пути? Сегодня мы научимся это считать математически." | Слушают, осознают связь математики с технологиями, отвечают на вопрос: "Нужно разделить расстояние на время, но за очень маленький промежуток". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, нам нужно научиться находить скорость изменения функции в мгновение ока. Это и есть производная. Запишем тему урока."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия приращения аргумента и функции, выявить границы знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель задает вопросы: "Вспомните, как мы называем изменение координаты x? А изменение значения функции y? Запишите на доске формулы для Δx и Δf(x)". | Ученик у доски пишет: Δx = x - x0; Δf = f(x0 + Δx) - f(x0). Класс фиксирует записи в тетрадях. |
2 мин | Учитель: "А теперь задача: найдите среднюю скорость изменения функции f(x) = x² на отрезке [1; 1.1]. А на отрезке [1; 1.001]? Можем ли мы точно сказать, какова скорость именно в точке x=1, не делая бесконечных вычислений?" | Ученики пытаются считать: (1.21 - 1)/0.1 = 2.1. Для второго случая: (1.002001 - 1)/0.001 = 2.001. Сталкиваются с затруднением: расчеты становятся громоздкими, а точного значения нет. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим тенденцию, но не имеем точного инструмента. Нам нужен алгоритм, который позволит находить это значение мгновенно для любой функции."
Этап 3. Открытие нового знания: Проблемный диалог (10 мин)
Цель этапа: ввести определение производной и познакомить с таблицей производных элементарных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель вводит определение через предел: "Производная — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю. Запишем: f'(x) = lim (Δf / Δx) при Δx → 0. Давайте проверим нашу догадку для x². Если мы раскроем скобки в Δf = (x+Δx)² - x², что получится?" | Ученики диктуют: "x² + 2xΔx + (Δx)² - x² = 2xΔx + (Δx)²". Делят на Δx и получают 2x + Δx. Делают вывод: "Если Δx стремится к 0, то остается 2x! Значит для x=1 производная равна 2!" |
6 мин | Учитель: "Каждый раз считать пределы долго. Математики уже сделали это за нас и составили таблицу. Посмотрите на ваши распечатки. Давайте найдем там нашу функцию x². Какая там формула? Правильно, (x^n)' = n*x^(n-1). Давайте проверим для n=2: 2*x^(2-1) = 2x. Совпало! Теперь посмотрите на производные sin x, cos x, e^x. Что вас удивляет?" | Изучают таблицу. Отвечают: "Производная sin x — это cos x, а производная e^x вообще не меняется! Это очень удобно". |
Запись в тетрадях
- Определение: f'(x) = lim (Δf / Δx) при Δx → 0.
- Основные формулы: (C)' = 0; (x)' = 1; (x^n)' = n*x^(n-1); (sin x)' = cos x; (cos x)' = -sin x; (e^x)' = e^x; (ln x)' = 1/x.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть 'словарь' (таблица) и правила. Пора переходить к практике, которой на ЕГЭ будет много."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык применения формул на простых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель пишет на доске цепочку функций: 1) f(x) = x⁵; 2) f(x) = 3x²; 3) f(x) = x³ + sin x; 4) f(x) = 5/x. "Ребята, работаем по цепочке. Называем формулу из таблицы и результат. Помните: константу можно выносить за знак производной, а производная суммы равна сумме производных." | Ученики с места комментируют: 1) "Степенная функция, n=5, получаем 5x⁴"; 2) "3 выносим, производная x² это 2x, итого 6x"; 3) "Сумма: 3x² + cos x"; 4) "Представим как 5*x⁻¹, тогда -5*x⁻² или -5/x²". |
Эталон решения
1) $f'(x) = 5x^4$; 2) $f'(x) = 3 \cdot 2x = 6x$; 3) $f'(x) = 3x^2 + \cos x$; 4) $f'(x) = 5 \cdot (-1) \cdot x^{-2} = -\frac{5}{x^2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Базовые навыки освоены. Теперь переходим к 'боевым' задачам из банка ФИПИ."
Этап 5. Практикум: Решение задач из банка ФИПИ (12 мин)
Цель этапа: научить применять производную в контексте заданий ЕГЭ (исследование функции на экстремумы — первый шаг).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | Учитель раздает карточки с заданием №12 ЕГЭ: "Найдите точку максимума функции y = x³ - 27x + 4". Комментирует: "Чтобы найти экстремумы, нужно сначала найти производную и приравнять её к нулю. Давайте сделаем первый шаг — найдем y'. Кто хочет к доске?" | Ученик у доски: y' = 3x² - 27. Приравнивает к нулю: 3x² = 27 => x² = 9 => x = ±3. Класс обсуждает, как таблица помогла быстро избавиться от '+4' и степени. |
2 мин | Учитель дает вторую задачу для самостоятельного решения: "Найдите производную функции y = (x-2)e^x. Внимание, здесь произведение! Кто помнит правило (uv)'?" | Ученики ищут правило в учебнике/таблице: u'v + uv'. Пробуют применить: y' = 1*e^x + (x-2)*e^x = e^x(1 + x - 2) = e^x(x-1). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы справились с технической частью сложнейшего задания ЕГЭ. Главное — не бояться длинных формул и четко следовать таблице."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить уровень усвоения материала и поставить задачи на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель просит заполнить 'Билет на выход': "Напишите на стикере одну формулу из таблицы, которую вы запомнили лучше всего, и одну, которая кажется самой сложной. Приклейте на доску при выходе." | Ученики рефлексируют, записывают формулы (например, 'ln x' как сложную), приклеивают стикеры. |
1 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни сложности. "Спасибо за урок! Вы сегодня отлично поработали с теорией через практику." | Записывают ДЗ в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Ученик безошибочно находит производные всех предложенных функций, включая тригонометрические и экспоненциальные; правильно применяет правила дифференцирования суммы и произведения.
- "4" — Допущены 1-2 негрубые вычислительные ошибки, но алгоритм выбора формул из таблицы верный.
- "3" — Ученик верно находит производные только простейших степенных функций, испытывает затруднения при работе с тригонометрией или сложными правилами (произведение).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая функция из таблицы 'сопротивлялась' вам больше всего? | Выявление наиболее трудных для запоминания формул для коррекции на следующем уроке. |
Где в задании №12 ЕГЭ можно допустить ошибку, зная производную? | Осознание того, что знание формулы — это только часть решения (нужен еще анализ знаков). |
Можете ли вы теперь объяснить физику, что такое мгновенная скорость? | Проверка понимания физического смысла производной. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили переход от интуитивного понимания скорости к строгому математическому аппарату. Производная — это язык, на котором говорит природа. Мы выучили алфавит этого языка — таблицу производных. На следующем уроке мы научимся дифференцировать сложные функции, где одна функция 'сидит' внутри другой. Не забудьте выучить таблицу, она станет вашей главной опорой на экзамене!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | п. 44, 45 - знать теорию. выполнить №793 (2 столб) и 797 | Отработка базовых формул таблицы производных. |
Контрольный вопрос: Чему равна производная функции y = π²? (Подсказка: π — это число или переменная?)