Предел функции в точке и непрерывность функции
Цели и задачи
- Цель: Сформировать интуитивное и формальное понимание предела функции в точке и условия непрерывности, научиться вычислять пределы простейших функций.
- Образовательная задача: Познакомить с определением предела (на языке окрестностей) и теоремами об арифметических операциях с пределами.
- Развивающая задача: Развивать умение анализировать графики функций на предмет наличия предела и точек разрыва.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и логическую строгость рассуждений, необходимую для подготовки к ЕГЭ и обучению в вузе.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания фундаментальных основ математического анализа.
- Критичность мышления при оценке достоверности полученных результатов.
Метапредметные
- Познавательные: Умение переводить информацию из графической формы в аналитическую и обратно.
- Регулятивные: Способность самостоятельно планировать пути достижения целей при решении задач повышенной сложности.
- Коммуникативные: Умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в ходе учебной дискуссии.
Предметные
- Знать определение предела функции в точке и определение непрерывности функции в точке.
- Уметь вычислять пределы функций с помощью подстановки, раскрытия неопределенностей вида 0/0 (методом разложения на множители).
- Уметь по графику определять наличие предела и характер непрерывности функции.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения, соответствующего современному уровню развития математики.
Регулятивные УУД
- Владение навыками самоконтроля и самооценки в процессе выполнения практических заданий.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств для выражения предела (lim) и условий непрерывности.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в группах при проведении математического исследования (discovery learning).
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графиками из учебника (рис. 36.1 – 36.16) для визуализации понятий.
- Распечатать карточки для работы в парах с заданием на исследование функций $f(x) = x+1$ и $g(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ (по 1 на парту).
- Подготовить интерактивный чертеж в GeoGebra для демонстрации $\epsilon$-окрестности.
- Открыть учебник на стр. 263-269.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: создать проблемную ситуацию, демонстрирующую необходимость введения понятия предела.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте! Мы начинаем одну из самых важных глав курса алгебры — "Производная". Но прежде чем мы научимся находить скорость изменения функций, нам нужно понять, что происходит с функцией, когда мы подходим к точке очень близко, но не наступаем в неё. Представьте, что вы идете к стене, каждый шаг уменьшая расстояние вдвое. Дойдете ли вы когда-нибудь до неё физически? А математически? Сегодня мы изучим понятие предела.» | Слушают учителя, настраиваются на работу, размышляют над парадоксом бесконечного приближения. |
3 мин | «Давайте вспомним графики простейших функций. Посмотрите на экран (слайд с рис. 36.1). Перед вами функция $f(x) = x + 1$. Если аргумент $x$ стремится к числу 1, к чему стремятся значения функции? А теперь посмотрите на функцию $g(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ (рис. 36.4). В чем их принципиальное различие в точке $x=1$?» | Отвечают: «Для первой функции значения стремятся к 2. Вторая функция в точке 1 не определена (деление на ноль), но график выглядит так же, только с "дыркой".» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Оказывается, поведение функции *около* точки может быть одинаковым, даже если в самой точке они ведут себя по-разному. Это "поведение около" и называется пределом.»
Этап 2. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: на основе графического анализа дать интуитивное и формальное определение предела.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Давайте проведем исследование. Работаем в парах. Перед вами графики функций $\sin x$ (рис. 36.2), $\frac{|x|}{x}$ (рис. 36.5) и $\frac{1}{x^2}$ (рис. 36.6). Ваша задача: определить, к какому числу стремятся значения $y$, если $x$ приближается к 0. Запишите ваши наблюдения.» | Работают в парах. Анализируют графики. Фиксируют: «Для синуса — к 0. Для $|x|/x$ — непонятно: слева к -1, справа к 1. Для $1/x^2$ — уходит в бесконечность.» |
7 мин | «Вы заметили важную вещь: предел существует не всегда. Теперь давайте сформулируем строгое определение. Посмотрите на рис. 36.8 на стр. 265. Представьте, что я задаю вам узкий коридор по оси $y$ шириной $2\epsilon$ вокруг числа $a$. Ваша задача — найти такой интервал $I$ на оси $x$, чтобы все значения функции попали в мой коридор. Если вы можете это сделать для любого, даже самого крошечного $\epsilon$, то $a$ — предел функции.» Учитель записывает определение со стр. 266 на доску. | Записывают определение в тетрадь. Пытаются осознать связь между «близостью аргументов» и «близостью значений функции» через неравенство $|f(x) - a| < \epsilon$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Число $a$ называют пределом функции $f$ в точке $x_0$, если для любого положительного числа $\epsilon$ существует такой интервал $I$, содержащий точку $x_0$, что для любого $x \in I \cap D(f)$ и $x \neq x_0$ выполняется неравенство $|f(x) - a| < \epsilon$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, предел — это число, к которому функция "прижимается" сколь угодно близко. Теперь узнаем, как работать с пределами аналитически.»
Этап 3. Арифметические свойства и непрерывность (8 мин)
Цель этапа: познакомить с теоремами о пределах и понятием непрерывности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Пределы ведут себя очень "дружелюбно" по отношению к арифметике. Посмотрите на Теорему 36.1 (стр. 267). Предел суммы равен сумме пределов, то же самое для разности, произведения и частного (если знаменатель не ноль). Это позволяет нам вычислять пределы сложных выражений по частям.» | Изучают формулировки теорем в учебнике, кратко фиксируют их в виде схем в тетради. |
4 мин | «А теперь самое приятное. Если функция в точке $x_0$ определена и её предел равен значению функции в этой точке, то функция называется непрерывной. Графически это значит, что мы можем нарисовать её, не отрывая карандаша от бумаги (рис. 36.12). Большинство школьных функций (синус, косинус, многочлены) непрерывны в каждой точке своей области определения.» | Слушают, соотносят графики функций с разрывами (рис. 36.13, 36.14) и непрерывные функции. Записывают условие непрерывности: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Непрерывность — это идеальное состояние функции. В этом случае предел находится простым подставлением значения $x_0$ в формулу.»
Этап 4. Первичное закрепление и практика (15 мин)
Цель этапа: отработка навыков вычисления пределов разного уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Начнем с простого. Упражнение 36.7 (1). Найдите $\lim_{x \to 1} (2x^2 - 3x - 1)$. Поскольку это многочлен, он непрерывен. Что нужно сделать?» | Ученик у доски: «Просто подставить $x=1$. Получаем $2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 - 1 = 2 - 3 - 1 = -2$.» |
5 мин | «Сложнее. Упражнение 36.11 (1). Найти $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6}$. Если подставим 3, получим $0/0$. Что делать? Вспоминаем 9 класс — разложение на множители!» | Ученики работают в тетрадях. Раскладывают числитель: $(x-3)(x+1)$, знаменатель: $(x-3)(x-2)$. Сокращают на $(x-3)$. Вычисляют предел оставшейся дроби $\frac{x+1}{x-2}$ при $x \to 3$, получают 4. |
5 мин | «Теперь работа по графикам. Упр. 36.4 (рис. 36.16). Посмотрите на график 'а'. Чему равно значение функции в точке 1? Существует ли там предел?» | Отвечают: «Значение в точке 1 равно 2 (закрашенная точка), но предел не существует, так как слева и справа график подходит к разным значениям (скачок).» |
Эталон решения (задача 36.11)
$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 5x + 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3} \frac{x+1}{x-2} = \frac{3+1}{3-2} = 4$$
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что даже если функция не определена в точке (как во втором примере), предел у неё может быть вполне конкретным числом.»
Этап 5. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное и провести самооценку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте подведем итоги. Что нового мы узнали о "поведении" функций? В каких случаях мы можем просто подставить число, чтобы найти предел?» | Отвечают: «Узнали про предел и непрерывность. Подставлять можно, если функция непрерывна в этой точке. Если получается $0/0$, нужно упрощать.» |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Оно разделено по уровням сложности, выберите подходящий для себя, но базовый обязателен для всех.» | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания, включая нахождение предела с раскрытием неопределенности; даны правильные ответы по анализу графиков.
- «4» — Допущены 1-2 негрубые вычислительные ошибки, верно определено наличие пределов по графикам.
- «3» — Верно решены только простейшие задачи на подстановку, есть затруднения в чтении графиков.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В чем разница между $f(x_0)$ и $\lim_{x \to x_0} f(x)$? | Проверка понимания различия между значением в точке и поведением в окрестности. |
Какое условие должно выполняться, чтобы функция была непрерывной? | Закрепление формального определения непрерывности. |
Что вам показалось самым сложным: определение или вычисления? | Выявление зон затруднения для планирования следующего урока. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали первый шаг в мир высшей математики. Понятие предела — это фундамент, на котором стоит всё здание матанализа. На следующем уроке мы увидим, как предел помогает определить мгновенную скорость и касательную к графику. Не бойтесь неопределенностей — мы научимся их раскрывать. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 36.1 (1, 3, 5), № 36.7 (2, 3) | Вычисление пределов методом подстановки и построение простейших графиков. |
Средний (повышающий) | № 36.11 (2), № 36.3 | Раскрытие неопределенности $0/0$ и анализ графиков с разрывами. |
Продвинутый (дополнительный) | № 36.13 (2, 3) | Вычисление пределов с использованием радикалов (умножение на сопряженное). |