Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции
Цели и задачи
- Цель: Систематизировать и углубить знания об области определения и области значений функции, сформировать понятие ограниченности функции и научить применять эти свойства при решении аналитических и графических задач уровня ЕГЭ.
- Образовательные задачи: повторить алгоритмы нахождения D(f) и E(f) для основных элементарных функций; ввести определение функции, ограниченной сверху, снизу и просто ограниченной; научить определять ограниченность по графику и аналитически.
- Развивающие задачи: развивать навыки критического мышления через анализ графических моделей в динамических средах (GeoGebra/Desmos); формировать умение выстраивать логические цепочки при доказательстве ограниченности.
- Воспитательные задачи: способствовать развитию навыков самоконтроля и ответственного отношения к подготовке к государственной итоговой аттестации.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (профильное обучение).
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение использовать знаково-символические средства для создания моделей изучаемых объектов; владение навыками анализа и синтеза при работе с графиками функций.
- Регулятивные: способность самостоятельно ставить цели и планировать пути их достижения; навык самопроверки по эталону.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров в сотрудничестве при выработке общего решения.
Предметные
- Знать определения области определения, области значений и ограниченности функции.
- Уметь находить область определения сложных функций, содержащих радикалы, знаменатели и логарифмы.
- Уметь находить область значений квадратичной функции, тригонометрических функций и функций вида y = a/(f(x)).
- Владеть методами доказательства ограниченности функции на заданном промежутке.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между изучением абстрактных функций и их применением в задачах с параметрами ЕГЭ.
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из учебников Никольского и Мерзляка.
- Построение логической цепи рассуждений при анализе свойств функции.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 варианта сложности: А, Б, В) по количеству учеников.
- Подготовить презентацию со слайдами, содержащими графики сложных функций для этапа актуализации.
- Настроить проектор и открыть вкладку в браузере с сервисом Desmos для динамической визуализации ограниченности.
- Выписать на доске ключевые номера из учебников: Никольский №1.12, 1.15; Мерзляк №2.4, 2.10.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, обозначить значимость темы для успешной сдачи ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Мы продолжаем глубокое погружение в мир функций. Сегодняшняя тема — фундамент для решения задач с параметрами и исследования сложных процессов. Проверьте наличие учебников Никольского и Мерзляка на столах. Все готовы?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников, тетрадей и письменных принадлежностей. |
2 мин | «Знаете ли вы, что многие процессы в экономике и физике описываются функциями, которые не могут расти бесконечно? Например, прибыль предприятия при ограниченных ресурсах или скорость падения парашютиста. Сегодня мы научимся строго описывать эти границы математическим языком. Наша цель — не просто вспомнить, что такое D(f), а научиться видеть "потолок" и "пол" функции — её ограниченность.» | Слушают учителя, настраиваются на восприятие материала. Записывают дату и тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Прежде чем искать границы, давайте вспомним, где функция вообще существует. Переходим к актуализации знаний.»
Этап 2. Актуализация знаний (7 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия области определения и области значений, используя приём «Толстые и тонкие вопросы».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте проведем блиц-опрос. Тонкие вопросы: Что такое область определения функции? Какие ограничения накладывает корень четной степени? А логарифм? Теперь толстый вопрос: Почему область значений функции y = sin x ограничена от -1 до 1, а у функции y = tg x — нет?» | Отвечают: «D(f) — это все значения x, при которых функция имеет смысл. Под корнем четной степени выражение ≥ 0. Аргумент логарифма > 0. Синус — это ордината точки на единичной окружности, а тангенс может принимать любые значения.» |
4 мин | «Посмотрите на экран (слайд с функцией y = 1/(x^2 + 1)). Назовите её область определения. А теперь попробуйте предположить, какие значения может принимать y. Может ли y быть равен 0? А 2? Подумайте 30 секунд в парах (приём Think-Pair-Share).» | Обсуждают в парах. Отвечают: «D(f) — любое число, так как знаменатель не равен нулю. y не может быть равен 0, так как числитель 1. Максимальное значение 1 при x=0. Значит, область значений от 0 до 1.» |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- D(f) — область определения (все допустимые x).
- E(f) — область значений (все возможные y).
- Пример: y = 1/(x² + 1), D(y) = R, E(y) = (0; 1].
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы интуитивно нащупали границы значений. Давайте теперь дадим этому строгое определение.»
Этап 3. Открытие нового знания и работа с ИКТ (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие ограниченности функции, используя визуализацию в Desmos и теоретический материал учебников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Откройте учебник Мерзляка на странице 22. Найдите определение ограниченной сверху функции. Видите число M? В Desmos я сейчас построю график y = 4 - x^2 и прямую y = M. Если мы можем найти такую прямую, выше которой график не поднимается, функция ограничена сверху. Как это записать математически?» | Читают определение. Один ученик диктует: «Функция f называется ограниченной сверху на множестве X, если существует число M такое, что f(x) ≤ M для всех x из X». Записывают определение. |
4 мин | «Теперь внимание на экран. Я меняю функцию на y = 2 + sin x. Что вы видите? (Учитель двигает две горизонтальные прямые в Desmos). Она ограничена и сверху, и снизу! Такая функция называется просто ограниченной. Найдите в Никольском (стр. 15) аналогичное свойство. Какие функции из уже известных вам являются ограниченными?» | Наблюдают за динамическим изменением границ. Отвечают: «Синус, косинус, обратные тригонометрические функции. Дробно-линейная функция на некоторых интервалах.» |
4 мин | «Давайте разберем пример из Мерзляка №2.10. Нужно доказать ограниченность функции y = x/(1 + x^2). Как мы это сделаем аналитически? Воспользуемся тем, что |x| ≤ (1 + x^2)/2 (неравенство о среднем).» | Следят за выводом учителя на доске, записывают доказательство: |x/(1+x^2)| ≤ 1/2, значит -1/2 ≤ y ≤ 1/2. Функция ограничена. |
Запись в тетрадях
Определение: Функция f(x) ограничена на множестве X, если ∃ M > 0 : |f(x)| ≤ M для всех x ∈ X.
Геометрически: график функции лежит внутри полосы между прямыми y = -M и y = M.
Геометрически: график функции лежит внутри полосы между прямыми y = -M и y = M.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели границы на графике и в формулах. Пора переходить к практике.»
Этап 4. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка навыков нахождения D(f) и E(f) по учебнику Никольского.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Работаем с учебником Никольского. №1.12 (а, в). Нужно найти область определения. К доске идет... (вызывает ученика). Остальные работают в тетрадях. Обратите внимание на пункт (в), там логарифм и корень одновременно — это система условий!» | Решают в тетрадях. Ученик у доски записывает систему неравенств для функции y = log(x-1) + sqrt(5-x): {x-1 > 0, 5-x ≥ 0}. Получает ответ: (1; 5]. |
4 мин | «Теперь №1.15 (б). Найти область значений функции y = 3 - 2cos x. Ребята, с чего начнем? Правильно, с оценки косинуса. Кто проговорит цепочку неравенств?» | Один ученик с места: «-1 ≤ cos x ≤ 1. Умножаем на -2: -2 ≤ -2cos x ≤ 2. Прибавляем 3: 1 ≤ 3 - 2cos x ≤ 5. Ответ: [1; 5].» |
Эталон решения (Никольский №1.12 в)
$$f(x) = \lg(x-1) + \sqrt{5-x}$$
$$\begin{cases} x-1 > 0 \\ 5-x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \leq 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (1; 5]$$.
$$\begin{cases} x-1 > 0 \\ 5-x \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \leq 5 \end{cases} \Rightarrow x \in (1; 5]$$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Хорошо, базовые алгоритмы усвоены. Проверим себя в более сложных условиях.»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Раздаю карточки. Уровень А — базовый (найти D(f)), Уровень Б — повышенный (найти E(f) квадратичной функции), Уровень В — сложный (доказать ограниченность функции из Мерзляка). Выберите свой уровень. Время пошло!» | Выбирают уровень сложности и самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
2 мин | «Время вышло. Откройте следующий слайд презентации с ответами. Проверьте себя. Если всё верно — поставьте себе "+" в лист самооценки.» | Сверяют свои решения с эталоном на экране, фиксируют результат в листах самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Кто справился с уровнем В? Молодцы, это уже уровень сложных задач профильного ЕГЭ.»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: подведение итогов, осознание учениками своих затруднений и успехов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте подведем итоги. Что нового мы узнали об ограниченности? Какая связь между E(f) и ограниченностью? Заполните таблицу рефлексии в ваших листах.» | Отвечают: «Если E(f) — отрезок, то функция ограничена. Если E(f) уходит в бесконечность — нет». Заполняют листы самооценки. |
4 мин | «Запишите домашнее задание. Обратите внимание на творческий пункт для желающих. Есть ли вопросы по сегодняшним определениям?» | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), аргументация в доказательстве (уровень В) логически безупречна.
- «4» — допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях или не полностью записан ответ в виде промежутка.
- «3» — верно выполнено более половины заданий базового уровня А, понимание алгоритма нахождения D(f) присутствует.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие при нахождении D(f) показалось самым сложным? | Выявление типичных затруднений в комбинированных функциях. |
Смогу ли я по графику определить ограниченность без подсказок? | Оценка визуального восприятия свойств функции. |
На каком этапе самостоятельной работы я почувствовал неуверенность? | Диагностика уровня самоконтроля и потребности в коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в анализе функций. Мы научились видеть не только область существования, но и пределы возможностей функции — её границы. Помните, что в задачах ЕГЭ №12 и №18 знание области значений часто сокращает решение в несколько раз. На следующем уроке мы разберем периодичность и четность. Спасибо за активную работу, особенно группе, работавшей с Desmos. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Никольский: №1.12 (б, г), №1.15 (а). | Найти область определения и область значений стандартных функций. |
Средний (повышающий) | Мерзляк: №2.4, №2.11. | Исследовать функцию на ограниченность аналитическим методом. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание: построить в Desmos график функции, ограниченной снизу, но не сверху, и найти её E(f). | Развитие навыков работы с ИКТ и исследовательских умений. |
Контрольный вопрос: «Может ли функция быть ограниченной на интервале, но не ограниченной на всей области определения? Приведите пример.»