Применение производной к исследованию функций: монотонность и экстремумы
Цели и задачи
- Цель: сформировать умение исследовать непрерывные функции на монотонность и экстремумы с помощью производной для решения прикладных и экзаменационных задач.
- Образовательная задача: систематизировать знания о производных элементарных функций и правилах дифференцирования, вывести достаточные условия возрастания и убывания функции.
- Развивающая задача: развивать навыки критического мышления через проблемный диалог и умение анализировать графическую информацию.
- Воспитательная задача: способствовать формированию ответственного отношения к подготовке к государственной итоговой аттестации (ЕГЭ) через осознание практической значимости темы.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в будущей профессии.
- Умение управлять своим эмоциональным состоянием в условиях дефицита времени (подготовка к ЕГЭ).
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение переходить от графического представления информации к аналитическому и обратно.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и самооценки, умение планировать алгоритм решения сложной задачи.
- Коммуникативные: способность эффективно взаимодействовать в паре, аргументировать свою позицию и принимать мнение партнёра.
Предметные
- Знать и применять таблицу производных и правила дифференцирования.
- Понимать геометрический и физический смысл производной.
- Уметь находить промежутки монотонности и точки экстремума функции с помощью производной.
- Владеть алгоритмом исследования функции для решения задач типа 12 профильного уровня ЕГЭ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование научного мировоззрения.
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Построение логической цепи рассуждений и доказательств.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах (исследование функции по алгоритму) — 15 экземпляров.
- Подготовить презентацию со слайдами: 1) График функции и график её производной; 2) Алгоритм исследования функции; 3) Задания из открытого банка ЕГЭ.
- Проверить работоспособность интерактивной доски и проектора.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Выписать на доске ключевые формулы производных элементарных функций в качестве опоры.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создание рабочей атмосферы, актуализация значимости темы для будущего экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатый класс! Рад вас видеть. Сегодня мы продолжаем погружение в мир математического анализа. На столах у вас лежат листы самооценки, подпишите их. Сегодняшняя тема — мост между теорией производной и реальными задачами оптимизации, которые встречаются в экономике, физике и, конечно, в профильном ЕГЭ." | Приветствуют учителя, подписывают листы самооценки, настраиваются на работу. |
2 мин | "Посмотрите на слайд. Перед вами график изменения стоимости акций компании за год. Инвестору важно знать: в какой момент рост сменится падением? Как математически точно предсказать эти точки, не полагаясь только на интуицию? Сегодня мы научимся это делать с помощью производной." | Анализируют визуальный ряд, осознают практическую применимость темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы работать с такими сложными процессами, нам нужно вспомнить наш главный инструмент — таблицу производных."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторение базовых формул и определений, необходимых для изучения новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Проведем блиц-опрос. Я называю функцию, вы — её производную. Начнем: $x^n$, $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$. Отлично. Теперь вспомним: что такое критические точки функции?" | Хором или по цепочке называют производные: $nx^{n-1}$, $\cos x$, $-\sin x$, $e^x$, $1/x$. Отвечают: "Точки, в которых производная равна нулю или не существует". |
2 мин | "Верно. А что мы называем точками экстремума? Чем точка максимума отличается от максимума функции? Напомните мне геометрический смысл производной в точке." | Объясняют разницу между аргументом ($x$) и значением функции ($y$). Вспоминают, что $f'(x_0) = \tan \alpha$. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Инструменты готовы. Теперь переходим к главной проблеме нашего урока."
Этап 3. Постановка проблемы и создание проекта выхода (7 мин)
Цель этапа: через проблемный диалог подвести учащихся к связи знака производной и характера монотонности функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Внимание на экран. Слева — график функции $f(x)$, справа — график её производной $f'(x)$. Посмотрите на интервал, где функция растет. Что вы можете сказать о значении производной на этом же интервале? Она выше или ниже оси Ох?" | Сравнивают графики. Замечают: "Там, где функция растет, график производной находится выше оси Ох, то есть производная положительна". |
4 мин | "Хорошо. А если производная отрицательна, как ведет себя функция? Можем ли мы сформулировать гипотезу? Как найти точки, где функция 'передумывает' расти и начинает убывать?" | Формулируют гипотезу: "Если $f'(x) > 0$, то функция возрастает. Если $f'(x) < 0$ — убывает". Предполагают, что точки смены знака — это и есть экстремумы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы сами сформулировали признаки монотонности. Теперь давайте оформим их в строгий алгоритм, который поможет вам на ЕГЭ."
Этап 4. Открытие нового знания и первичное закрепление (10 мин)
Цель этапа: изучение алгоритма исследования функции и его применение на типовом примере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Запишем алгоритм исследования функции на монотонность: 1. Найти область определения. 2. Найти производную. 3. Найти критические точки ($f'(x)=0$). 4. Отметить их на числовой прямой и определить знаки производной на интервалах. 5. Сделать вывод о поведении функции." | Записывают алгоритм в тетради, задают уточняющие вопросы. |
6 мин | "Разберем пример: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Кто хочет пойти к доске и применить наш алгоритм? Будьте внимательны со знаками при переходе через критические точки." | Один ученик решает у доски, остальные в тетрадях. Находят $f'(x) = 3x^2 - 6x$, точки $x=0$ и $x=2$. Определяют знаки: $+$ (возр), $-$ (убыв), $+$ (возр). |
Эталон решения
1) $D(f) = \mathbb{R}$.
2) $f'(x) = 3x^2 - 6x$.
3) $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$.
4) Интервалы: $(-\infty; 0)$ — $f'(x) > 0$ (возр.); $(0; 2)$ — $f'(x) < 0$ (убыв.); $(2; +\infty)$ — $f'(x) > 0$ (возр.).
5) $x=0$ — точка максимума, $x=2$ — точка минимума.
2) $f'(x) = 3x^2 - 6x$.
3) $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$.
4) Интервалы: $(-\infty; 0)$ — $f'(x) > 0$ (возр.); $(0; 2)$ — $f'(x) < 0$ (убыв.); $(2; +\infty)$ — $f'(x) > 0$ (возр.).
5) $x=0$ — точка максимума, $x=2$ — точка минимума.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, как работает алгоритм на простом примере. Теперь — время командной работы."
Этап 5. Практикум: работа в парах (10 мин)
Цель этапа: отработка навыка исследования более сложных функций (дробно-рациональных или содержащих логарифмы) в процессе сотрудничества.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Раздаю карточки. В каждой — задание из реального варианта ЕГЭ №12. Работаем в парах. Распределите роли: один находит производную, второй — критические точки, затем вместе проверяете знаки. Прием 'Подумай — обсуди в паре — поделись'." | Разбирают карточки, распределяют обязанности внутри пары. |
8 мин | Курсирует между рядами, консультирует. "Обратите внимание на ОДЗ в задаче с логарифмом. Помните, что $e^x$ всегда больше нуля — это упрощает определение знака производной." | Активно обсуждают решение, спорят, проверяют друг друга по алгоритму. Записывают итоговое решение в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, многие пары успешно справились. Давайте сверим ответы с эталоном на слайде."
Этап 6. Рефлексия и подведение итогов (5 мин)
Цель этапа: самоанализ деятельности, фиксация затруднений и успехов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Заполните листы самооценки. Поставьте '+' напротив тех шагов алгоритма, которые не вызвали затруднений, и '?' там, где возникли вопросы. Кто готов озвучить свой главный инсайт урока?" | Заполняют листы. Отвечают: "Понял, что без ОДЗ можно найти лишнюю точку", "Оказывается, задание 12 в ЕГЭ не такое страшное, если знать таблицу производных". |
2 мин | "Соберите листы самооценки. Сегодня вы отлично поработали в парах. Особенно хочу отметить аргументацию в паре Иванова и Петрова." | Сдают листы, слушают комментарии учителя. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — производная найдена верно, критические точки определены безошибочно, знаки на интервалах расставлены правильно, сделан верный вывод об экстремумах.
- "4" — допущена одна вычислительная ошибка при нахождении критических точек, но алгоритм исследования соблюден полностью.
- "3" — производная найдена верно, но допущены ошибки в определении знаков производной или не учтена область определения функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма был для тебя самым сложным сегодня? | Выявление пробелов в базовых навыках (дифференцирование vs решение уравнений). |
Сможешь ли ты объяснить товарищу, как по знаку производной понять, что перед нами точка минимума? | Проверка осознанности усвоения признаков экстремума. |
Насколько комфортно тебе было работать в паре? | Оценка коммуникативных УУД и психологического климата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг в освоении матанализа. Мы научились видеть 'характер' функции через её производную. Это умение — ключ не только к баллам на ЕГЭ, но и к пониманию того, как меняется мир вокруг нас. Если у кого-то остались вопросы по нахождению производных сложных функций — жду вас на консультации. На следующем уроке мы перейдем к задачам на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Всем спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 925 (а, б), № 930. | Исследовать функции на монотонность и точки экстремума по алгоритму. |
Средний (повышающий) | РешуЕГЭ: Задания № 12 (профиль) — 5 штук. | Найти точки максимума/минимума функций, содержащих $e^x$ и $\ln x$. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание. | Придумать и описать реальную жизненную ситуацию, которую можно смоделировать функцией, и найти её экстремумы. |
Контрольный вопрос: "Может ли функция иметь экстремум в точке, где производная не существует? Приведите пример."