Четность, нечетность, периодичность функций
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут безошибочно определять четность и нечетность функций аналитическим способом, а также вычислять наименьший положительный период тригонометрических и сложных функций, опираясь на свойства элементарных функций.
- Образовательная задача: Систематизировать знания об определениях четных, нечетных и периодических функций, разобрать алгоритмы исследования функций на данные свойства.
- Развивающая задача: Развивать навыки аналитического мышления и умение интерпретировать графическую информацию через использование ИКТ-инструментов (динамическая геометрия).
- Воспитательная задача: Формировать культуру самоконтроля и ответственного отношения к подготовке к государственной итоговой аттестации (ЕГЭ).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в современном мире.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания в математическом контексте.
- Способность к самооценке на основе критериев успешности учебной деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы при работе с абстрактными моделями.
- Регулятивные: способность самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, использовать адекватные языковые средства для отображения своих мыслей.
Предметные
- Знать определения четной, нечетной и периодической функций, условия их существования.
- Уметь исследовать функции на четность/нечетность аналитически и графически.
- Владеть методами нахождения периода функций вида y = f(kx + b), а также суммы периодических функций.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между изучаемым материалом и практическими задачами профильного ЕГЭ.
- Нравственно-этическая ориентация: развитие навыков честного сотрудничества при работе в парах.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль: сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Логические: анализ объектов с целью выделения признаков (четности, периодичности).
- Информационные: поиск и выделение необходимой информации из учебников Никольского и Мерзляка.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера: контроль, коррекция и оценка его действий при взаимопроверке.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивный лист в GeoGebra с динамическими моделями функций y = sin(kx) и y = f(x) + f(-x) для визуализации свойств.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности) — 25 экземпляров.
- Оформить на доске (или в презентации) таблицу-шпаргалку с основными периодами тригонометрических функций.
- Отобрать задачи из учебника С.М. Никольского (глава 1, §2) и А.Г. Мерзляка (глава 1, §3).
- Проверить работоспособность проектора и ноутбука, подготовить ссылку на онлайн-доску для совместной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочую атмосферу, актуализировать значимость темы для успешной сдачи ЕГЭ (профильный уровень).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, одиннадцатиклассники! Сегодня мы продолжаем исследовать мир функций. В задачах с параметрами и при построении сложных графиков в ЕГЭ часто 'спрятаны' свойства симметрии и повторяемости. Если вы их не видите — задача превращается в громоздкие вычисления. Если видите — решается в две строчки. Сегодня мы оттачиваем это 'математическое зрение'." | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, открывают тетради и записывают дату. |
2 мин | "Посмотрите на экран. Перед вами три графика. Один из них 'зеркальный', другой 'перевернутый', а третий напоминает биение сердца. Как эти визуальные образы связаны с алгебраическими формулами? К концу урока мы выведем строгие правила для каждого случая." | Рассматривают слайд, высказывают предположения: "Первый — четная функция, второй — нечетная, третий — периодическая". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Визуально мы узнаем эти свойства легко. Наша задача сегодня — научиться доказывать их аналитически, используя определения из учебников Никольского и Мерзляка."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти определения четности, нечетности и периодичности, проверить понимание области определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Вспомним теорию. Я начинаю фразу, вы продолжаете. Функция называется четной, если для любого x из области определения выполняется условие..." Учитель акцентирует внимание: "А что должно быть обязательным условием для самой области определения D(f)?" | Отвечают хором или индивидуально: "...f(-x) = f(x)". Дополняют: "Область определения должна быть симметрична относительно нуля". |
2 мин | "Верно. А теперь блиц-опрос по Мерзляку: является ли функция y = x^2 на промежутке [-2; 5] четной? Почему?" | Анализируют: "Нет, так как область определения [-2; 5] не симметрична относительно нуля. Условие f(-x)=f(x) не может быть проверено для x=5". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, симметрия области определения — это фундамент. Теперь перейдем к более сложным случаям периодичности."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (5 мин)
Цель этапа: столкнуть учеников с задачей, где интуитивного понимания недостаточно, и требуется знание формул изменения периода.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Запишите функцию: f(x) = cos(4x - 1). Мы знаем, что период косинуса — 2π. Будет ли период этой функции таким же? Попробуйте найти наименьший положительный период T." | Пытаются применить определение f(x+T)=f(x). Многие застревают на преобразовании аргумента (4x-1). |
2 мин | "В чем сложность? Как коэффициент 4 влияет на сжатие или растяжение графика? Давайте сформулируем проблему: нам нужен четкий алгоритм нахождения периода для функций вида y = f(kx + b)." | Формулируют проблему: "Мы не знаем точно, как коэффициент k меняет период T основной функции". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Эту проблему мы решим прямо сейчас, обратившись к методам, описанным в учебнике Никольского."
Этап 4. Открытие нового знания и углубление (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу периода сложной функции и разобрать алгоритм исследования на четность для комбинированных функций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Откройте учебник Никольского на стр. 24. Посмотрите на доказательство теоремы о периоде. Если функция f имеет период T_0, то функция y = f(kx + b) имеет период T = T_0 / |k|. Запишите это в тетрадь. Давайте проверим это для нашей функции f(x) = cos(4x - 1). Чему равен период?" | Записывают формулу. Вычисляют: T = 2π / 4 = π/2. Один ученик записывает решение на доске. |
7 мин | "Теперь разберем 'хитрые' функции из Мерзляка. Исследуем на четность f(x) = (x^3 - x) / (x^2 - 1). Сначала — область определения! Затем — подстановка -x. Работаем по цепочке." | Определяют D(f): x ≠ ±1. Подставляют -x: f(-x) = ((-x)^3 - (-x)) / ((-x)^2 - 1) = (-x^3 + x) / (x^2 - 1) = - (x^3 - x) / (x^2 - 1) = -f(x). Вывод: функция нечетная. |
Запись в тетрадях
Алгоритм нахождения периода:
1. Найти основной период T_0 для базовой функции (sin, cos -> 2π; tg, ctg -> π).
2. Выделить коэффициент k перед аргументом x.
3. Вычислить T = T_0 / |k|.
Период суммы функций: T = НОК(T_1, T_2) — для рациональных соизмеримых периодов.
1. Найти основной период T_0 для базовой функции (sin, cos -> 2π; tg, ctg -> π).
2. Выделить коэффициент k перед аргументом x.
3. Вычислить T = T_0 / |k|.
Период суммы функций: T = НОК(T_1, T_2) — для рациональных соизмеримых периодов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть инструменты. Но математика — это не только формулы, но и образы. Посмотрим, как это выглядит в динамике."
Этап 5. ИКТ-практикум: Визуализация свойств (8 мин)
Цель этапа: с помощью GeoGebra продемонстрировать, как изменение параметров функции влияет на её симметрию и периодичность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран окно GeoGebra. "Я создал ползунок для коэффициента k в функции y = sin(kx). Смотрите, когда k увеличивается, график сжимается к оси Oy. Что происходит с периодом? А теперь посмотрите на функцию y = x^2 + a. Я меняю 'a'. Меняется ли четность?" | Наблюдают за изменениями. Отвечают: "Период уменьшается пропорционально k". "Четность не меняется, так как симметрия относительно оси ординат сохраняется при вертикальном сдвиге". |
4 мин | "Приём 'Исследователь': попробуйте в парах на планшетах (или по очереди у доски) построить график функции y = |sin x|. Является ли она периодической? Какой у неё период? Сравните с обычным sin x." | Строят график. Замечают, что 'волны' теперь только сверху. Делают вывод: период уменьшился в 2 раза и стал равен π. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "ИКТ помогли нам увидеть закономерность. Закрепим успех самостоятельным решением задач."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: дифференцированная проверка усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздает карточки. "Выберите уровень сложности. Уровень А — базовые функции (из Мерзляка). Уровень Б — комбинированные (из Никольского). Уровень С — задачи с модулем и параметром (уровень ЕГЭ). У вас 6 минут." | Выбирают уровень и решают задачи в тетрадях. |
2 мин | Учитель выводит эталон решения на экран. "Проверьте себя. Если всё верно — ставьте '+'. Если есть ошибка — обведите её и попробуйте понять причину." | Сверяют решения с эталоном, проводят самоанализ. |
Эталон решения (Уровень Б)
Задача: Найти период f(x) = tg(x/3) + sin(x/2).
1) T_1 (для tg(x/3)) = π / (1/3) = 3π.
2) T_2 (для sin(x/2)) = 2π / (1/2) = 4π.
3) T = НОК(3π, 4π). Числа 3 и 4 взаимно простые, значит НОК = 12.
Ответ: T = 12π.
1) T_1 (для tg(x/3)) = π / (1/3) = 3π.
2) T_2 (для sin(x/2)) = 2π / (1/2) = 4π.
3) T = НОК(3π, 4π). Числа 3 и 4 взаимно простые, значит НОК = 12.
Ответ: T = 12π.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу много плюсов. Те, у кого возникли вопросы по уровню С, подойдите на перемене или разберем в начале следующего урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень достижения целей урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Приём 'Светофор'. Поднимите зеленую карточку, если вы уверенно можете найти период любой функции. Желтую — если путаетесь в коэффициентах. Красную — если тема осталась туманной. Также ответьте на вопрос: какое свойство функции сегодня было самым 'коварным'?" | Поднимают карточки. Отвечают: "Самым сложным было находить период суммы функций", "Забываю проверять симметрию области определения". |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Обратите внимание на творческий уровень — он поможет вам в задачах №18 ЕГЭ." | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или С), четко прописаны условия области определения и аналитические выкладки.
- "4" — Допущена одна вычислительная ошибка при нахождении периода или не полностью обоснована симметрия области определения.
- "3" — Верно решены только базовые задачи уровня А, в более сложных допущены логические ошибки в определении четности.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В каком шаге алгоритма исследования на четность чаще всего совершаются ошибки? | Осознание слабых мест в операционном составе действия. |
Как знание периода помогает при построении графика функции в сложных задачах? | Понимание практической значимости теоретического материала. |
Что нового вы узнали о влиянии коэффициента k на график функции благодаря GeoGebra? | Оценка эффективности использования визуальных ИКТ-моделей. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы проделали большую работу: от простых определений до серьезных аналитических доказательств. Помните, что функции — это живые организмы со своим характером и привычками. Четность и периодичность — это их ДНК. На следующем уроке мы научимся использовать эти свойства для решения уравнений с параметрами. Спасибо за активную работу, особенно группе исследователей у доски!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Мерзляк 11 кл: №3.4, №3.12 | Исследование элементарных тригонометрических функций на четность и периодичность. |
Средний (повышающий) | Никольский 11 кл: №2.15, №2.18 | Нахождение периодов сложных композиций функций и работа с дробно-рациональными аргументами. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Придумать и построить в GeoGebra график функции, которая является одновременно четной и периодической, но не является тригонометрической. |
Контрольные вопросы перед выходом: 1) Чему равен период функции y = tg(5x)? 2) Верно ли, что любая функция с симметричной областью определения является либо четной, либо нечетной?