Системы счисления

Слайд 1. Системы счисления

Двоичная, пятеричная и десятичная системы в математике 5 класса

Слайд 2. Что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью специальных знаков (цифр).

Мы привыкли к десятичной системе, но в истории и технике используются и другие способы записи величин.

Слайд 3. Из глубины веков

Как люди считали раньше:

На пальцах рук

С помощью зарубок на костях

Используя узелки на веревках

С помощью камней и ракушек

Слайд 4. Два типа систем

Значение цифры не зависит от её места в числе. Пример: римские цифры ($V$ — это всегда 5).

Значение цифры зависит от её позиции (разряда). Пример: в числе 55 первая пятёрка — это 50, а вторая — 5.

Слайд 5. Наша десятичная система

Основание системы — число 10. Это значит, что 10 единиц одного разряда образуют 1 единицу следующего, более старшего разряда. Мы используем десять цифр: от 0 до 9.

Слайд 6. Алфавит десятичной системы

Цифра 0

Цифра 1

Цифра 2

Цифра 3

Цифра 4

Цифра 5

Цифра 6

Цифра 7

Цифра 8

Цифра 9

Слайд 7. Двоичная система счисления

В этой системе всего две цифры: 0 и 1.

Она является основой работы всех современных компьютеров, смартфонов и роботов.

Слайд 8. Почему только 0 и 1?

Легко реализовать технически: есть ток (1) или нет тока (0)

Высокая надежность хранения данных

Простые правила выполнения арифметических действий

Удобство для логических операций

Слайд 9. Мир глазами компьютера

Слайд 10. Пятеричная система счисления

Основание системы — 5. В ней используются только пять цифр: 0, 1, 2, 3 и 4.

Такая система могла возникнуть у народов, которые считали по пальцам одной руки.

Слайд 11. Алфавит пятеричной системы

0 (ноль)

1 (один)

2 (два)

3 (три)

4 (четыре)

Цифры 5 в этой системе не существует!

Слайд 12. Понятие основания

Основание системы счисления показывает, сколько различных цифр используется для записи чисел.

В двоичной — 2 цифры ($0,1$).

В пятеричной — 5 цифр ($0,1,2,3,4$).

В десятичной — 10 цифр ($0,1,\dots ,9$).

Слайд 13. Разрядные слагаемые

Любое число в позиционной системе можно записать как сумму произведений цифр на степени основания.

На схеме показан пример для десятичной системы.

Слайд 14. Перевод в десятичную систему

Пронумеруйте разряды справа налево, начиная с 0.

Запишите сумму произведений цифры на основание в степени разряда.

Вычислите полученное выражение.

Результат будет числом в десятичной системе.

Слайд 15. Пример: из двоичной в десятичную

Переведем $1011_2$:

$1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+1\cdot 2^0=$

$=8+0+2+1=11_{10}$.

Значит, $1011_2=11_{10}$.

Слайд 16. Пример: из пятеричной в десятичную

Переведем $234_5$:

$2\cdot 5^2+3\cdot 5^1+4\cdot 5^0=$

$=2\cdot 25+3\cdot 5+4\cdot 1=$

$=50+15+4=69_{10}$.

Слайд 17. Алгоритм перевода ИЗ десятичной

Чтобы перевести число из десятичной системы в любую другую, нужно последовательно делить его на основание новой системы.

Слайд 18. Как делить «уголком»

Делим число на основание $N$ с остатком.

Записываем остаток (даже если он равен 0).

Новое частное снова делим на $N$.

Повторяем, пока частное не станет равным 0.

Выписываем все остатки в обратном порядке.

Слайд 19. Пример: из десятичной в двоичную

Переведем $13_{10}$ в двоичную:

$13:2=6$ (остаток $1$)

$6:2=3$ (остаток $0$)

$3:2=1$ (остаток $1$)

$1:2=0$ (остаток $1$)

Читаем снизу вверх: $1101_2$.

Слайд 20. Пример: из десятичной в пятеричную

Переведем $38_{10}$ в пятеричную:

$38:5=7$ (остаток $3$)

$7:5=1$ (остаток $2$)

$1:5=0$ (остаток $1$)

Читаем снизу вверх: $123_5$.

Слайд 21. Сравнение чисел в разных системах

Слайд 22. Интересный факт: Пальцы

Если бы у людей на руках было по 3 пальца, мы бы, скорее всего, использовали шестеричную систему счисления.

Анатомия человека напрямую повлияла на развитие математики.

Слайд 23. Где еще это применяется?

Двенадцатеричная система (время, дюжины)

Шестидесятеричная система (градусы, минуты)

Шестнадцатеричная система (кодирование цветов в IT)

Двоичная (логические схемы)

Слайд 24. Вычисление с помощью двоичных чисел является для науки основополагающим и приводит к новым открытиям.

— Готфрид Вильгельм Лейбниц

Слайд 25. Задание 1: Перевод в десятичную

Попробуйте самостоятельно перевести числа в десятичную систему счисления:

1) $111_2$

2) $1010_2$

3) $21_5$

4) $44_5$

Слайд 26. Задание 2: Перевод из десятичной

Переведите следующие десятичные числа в указанные системы счисления:

1) $9_{10}\to$ в двоичную

2) $15_{10}\to$ в двоичную

3) $12_{10}\to$ в пятеричную

4) $26_{10}\to$ в пятеричную

Слайд 27. Этапы работы с числом

Определить основание системы и алфавит доступных цифр.

Выбрать алгоритм: умножение на степени или деление уголком.

Убедиться, что в результате нет цифр, больших или равных основанию.

Слайд 28. Главные термины урока

Количество цифр в системе счисления.

Набор символов (цифр) для записи числа.

Место (позиция) цифры в записи числа.

Зависимость значения цифры от её места.

Слайд 29. Подведем итоги

Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Основание системы определяет количество используемых цифр.

В двоичной системе используются только 0 и 1.

В пятеричной системе используются цифры от 0 до 4.

Для перевода между системами используются специальные алгоритмы деления и умножения.

Слайд 30. Есть ли вопросы?