Натуральные числа: мастерство вычислений

Слайд 1. Натуральные числа: Мастерство вычислений

Слайд 2. Часть 1. Координатная прямая, сравнение и округление

Слайд 3. Координатный луч и его элементы

Луч с началом в точке $O(0)$, имеющий единичный отрезок и направление.

Любому числу соответствует точка на луче.

Чем правее точка, тем больше её координата.

Расстояние между точками $A(x)$ и $B(y)$ равно $|x-y|$.

Слайд 4. 1. На координатном луче отмечены точки $A(15)$ и $B(47)$. Найдите координату точки $C$, которая лежит ровно посредине между ними.

2. Точка $M(x)$ удалена от точки $A(12)$ на 7 единиц. Какие значения может принимать координата $x$?

3. Два объекта движутся навстречу друг другу по координатной прямой из точек $A(10)$ и $B(100)$ со скоростями 3 ед./ч и 6 ед./ч. Через сколько часов они встретятся и какова будет координата точки встречи?

Слайд 5. Сравнение и округление: Тонкие моменты

Сначала сравниваем количество разрядов. Если оно равно, сравниваем поразрядно слева направо до первого различия. Пример: $102305>102299$.

Если следующая цифра $0,1,2,3,4$ — разряд не меняем. Если $5,6,7,8,9$ — увеличиваем на 1. Пример: $9995$ до сотен $\approx 10000$.

Слайд 6. Практикум: Сложное округление

Задание: Округлите число $129954$ до:

1. Десятков.

2. Сотен.

3. Тысяч.

4. Десятков тысяч.

*Внимание:* обратите внимание на переходы через разряд при округлении девяток!

Слайд 7. Часть 2. Арифметические действия и их свойства

Слайд 8. Законы сложения и умножения

$a+b=b+a$

$a\cdot b=b\cdot a$

$(a+b)+c=a+(b+c)$

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

$a\cdot (b+c)=ab+ac$

$a\cdot (b-c)=ab-ac$

$a\cdot 1=a$

$a\cdot 0=0$

Деление на ноль невозможно!

Слайд 9. Рациональные вычисления

Использование свойств позволяет считать в уме быстрее калькулятора.

Пример 1: $25\cdot 37\cdot 4=(25\cdot 4)\cdot 37=100\cdot 37=3700$.

Пример 2: $125\cdot 88=125\cdot (80+8)=10000+1000=11000$.

Пример 3: $99\cdot 15=(100-1)\cdot 15=1500-15=1485$.

Слайд 10. Задание на смекалку

Вычислите наиболее удобным способом:

$397\cdot 12+397\cdot 88$

$125\cdot 17\cdot 8-1000$

$4\cdot 19\cdot 25+19\cdot 100$

*Подсказка:* ищите общие множители и «круглые» произведения.

Слайд 11. Часть 3. Делимость чисел

Слайд 12. Делители и кратные

Число, на которое $a$ делится без остатка. Делители числа $12$: $1,2,3,4,6,12$. Любое число имеет конечное число делителей.

Число, которое делится на $a$ без остатка. Кратные числа $12$: $12,24,36,48,...$ Любое число имеет бесконечное множество кратных.

Слайд 13. Признаки делимости

Слайд 14. 1. Вместо звёздочки в числе $457\ast 2$ подставьте все возможные цифры, чтобы число делилось на 3, но не делилось на 9.

2. Найдите наименьшее пятизначное число, которое записывается только с помощью цифр 0 и 2 и делится нацело на 75.

3. Докажите, что сумма любых трех последовательных натуральных чисел всегда делится на 3, а сумма пяти последовательных не всегда делится на 5.

Слайд 15. Деление с остатком

Формула: $a=b\cdot q+r$, где:

$a$ — делимое, $b$ — делитель,

$q$ — неполное частное, $r$ — остаток.

Важное условие: $0\le r<b$.

Если $r=0$, то число делится нацело.

Слайд 16. Задача: Поиск делимого

При делении некоторого числа на $15$ получили неполное частное $7$ и остаток $12$. Найдите это число.

Дополнительный вопрос: Каким будет остаток, если это же число разделить на $5$? Обоснуйте ответ, не выполняя полного деления.

Слайд 17. Часть 4. Степень и порядок действий

Слайд 18. Степень с натуральным показателем

Запись $a^n$ означает произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

$a^2$ — квадрат числа,

$a^3$ — куб числа.

Осторожно: $2^3=2\cdot 2\cdot 2=8$, а не $6$!

Слайд 19. Иерархия действий

Действия в скобках (начиная с самых внутренних).

Возведение в степень.

Умножение и деление (слева направо).

Слайд 20. Задание: Найдите значение выражения

Вычислите значение:

$(12^2-4^3):10+5^2\cdot 3$

Расставьте порядок действий и выполните вычисления по шагам.

Сравните результат с $(12^2-(4^3:8))\cdot 2$.

Слайд 21. Часть 5. Решение текстовых задач

Слайд 22. Алгоритм решения задач на движение

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Анализ: в одном направлении, навстречу или в разные стороны?

Нахождение скорости сближения ($v_1+v_2$) или удаления ($v_1-v_2$).

Применение формулы $s=v\cdot t$ для ответа на вопрос.

Слайд 23. Задачи на покупки (Стоимость)

Цена $\times$ Количество $=$ Стоимость. Если бюджет ограничен, используем деление с остатком, чтобы понять, сколько целых единиц товара можно купить.

Пример: У вас $500$ рублей. Хватит ли их на $3$ пачки сока по $85$ руб. и $2$ кг яблок по $120$ руб.? Какая будет сдача?

Слайд 24. Сложная задача: Курьер на электросамокате

Слайд 25. Условие задачи «Курьер»

Курьер выехал из пункта А в пункт Б со скоростью $20$ км/ч. Через $2$ часа из пункта А в том же направлении выехал второй курьер со скоростью $25$ км/ч.

1. Через сколько часов второй курьер догонит первого?

2. На каком расстоянии от пункта А это произойдет?

3. Успеет ли второй курьер доставить заказ до $18:00$, если он выехал в $14:30$?

Слайд 26. 1. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 200 и при делении на 7 дают остаток 3.

2. На доске написано число $\mathrm{123456789101112...99100}$. Какая цифра стоит на 2026-м месте слева?

3. Произведение двух натуральных чисел равно 720. Если одно из них увеличить на 4, то произведение станет равным 880. Найдите исходные числа.

Слайд 27. Математика — это язык, на котором написана Вселенная. До встречи на следующем уроке!