Высказывания. Логические операции
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать простые и составные высказывания, определять их истинность и строить значения составных высказываний с операциями НЕ, И, ИЛИ на основе таблиц истинности.
- Сформировать представление о высказывании как повествовательном предложении, которому можно однозначно присвоить значение «истина» или «ложь».
- Научиться переводить жизненные и учебные условия в логические выражения и читать логические выражения на естественном языке.
- Развивать умение анализировать алгоритмы, выявлять логические ошибки и аргументировать выбор результата.
- Формировать ответственное отношение к точности формулировок, сотрудничеству и применению логики в информатике, математике и цифровых технологиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение точных формулировок и логического мышления для учебной и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют интерес к исследованию правил работы цифровых систем и программ.
- Оценивают собственный уровень понимания темы и формулируют индивидуальную цель дальнейшей работы.
- Соблюдают правила корректного обсуждения различных способов решения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблиц, схем, логических выражений и электронных форм.
- Планируют последовательность решения задачи и осуществляют самопроверку по эталону.
- Сравнивают способы решения, находят ошибочные рассуждения и объясняют причину ошибки.
- Используют цифровые инструменты для проверки таблиц истинности и представления результата.
- Работают в парах и группах, формулируют вопросы и аргументируют выводы.
Предметные
- Знать признаки высказывания и различать простые и составные высказывания.
- Знать обозначения и смысл логических операций НЕ, И, ИЛИ.
- Уметь определять истинность простых высказываний и строить таблицы истинности для выражений с одной или двумя переменными.
- Уметь записывать условие задачи в виде логического выражения и интерпретировать результат.
- Владеть алгоритмом проверки логического выражения по таблице истинности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную значимость точного логического рассуждения для программирования и анализа данных.
- Проявляют готовность проверять собственные выводы, а не принимать первый ответ без доказательства.
- Осознают ответственность за корректность условий, используемых в цифровых системах.
- Выбирают уровень задания с учётом собственных возможностей и учебной цели.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы с таблицей истинности и планируют шаги её достижения.
- Контролируют порядок выполнения логических операций и исправляют найденные ошибки.
- Сверяют результат с эталоном и объясняют расхождение.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки.
- Принимают решение о переходе к заданию повышенной сложности.
Познавательные УУД
- Классифицируют предложения на высказывания и невысказывания по заданному признаку.
- Моделируют условие задачи с помощью логических переменных и операций.
- Строят и читают таблицы истинности.
- Устанавливают причинно-следственные связи между значениями переменных и результатом выражения.
- Используют электронную таблицу или интерактивный тренажёр для проверки модели.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или мини-группе при составлении таблицы истинности.
- Задают уточняющие вопросы о смысле логического выражения.
- Аргументируют ответ с опорой на конкретную строку таблицы.
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности.
- Формулируют общий вывод и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемной ситуацией: «Система пропускает пользователя, если введён верный пароль и подтверждён второй фактор».
- Распечатать по одному комплекту на парту с карточками: «Высказывание», «Не высказывание», «Истина», «Ложь».
- Распечатать для каждой группы по одной карточке с таблицей истинности и условием практической задачи; подготовить три уровня сложности.
- Подготовить индивидуальные листы самооценки и билеты на выход — по одному на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: НЕ меняет значение на противоположное; И истинно только при двух истинных операндах; ИЛИ истинно хотя бы при одном истинном операнде.
- Подготовить файл электронной таблицы с двумя логическими переменными и пустыми столбцами для операций НЕ, И, ИЛИ.
- Проверить работу компьютеров, проектора, интерактивной доски и локального доступа к электронной таблице или учебному тренажёру.
- Подготовить маркеры и листы формата А3 для групповой фиксации алгоритма построения таблицы истинности.
- Разместить на доске формулировку проблемного вопроса: «Как компьютер принимает решение, если условие состоит из нескольких частей?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и связать тему с применением логики в цифровых системах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране схему входа в аккаунт: пароль принят, код подтверждения введён, доступ разрешён. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем исследовать, как цифровая система принимает решения. Посмотрите на условие входа: достаточно ли одного верного пароля? Почему система проверяет несколько условий одновременно?» | Рассматривают схему, формулируют предположения: «Нужны пароль и код», «Все условия должны быть истинными». Записывают дату и тему. |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала самостоятельно ответьте, что должен уметь компьютер, чтобы принять такое решение. Затем обсудите ответ с соседом и назовите одно правило классу. Нам важно не угадать ответ, а описать его точно». Учитель фиксирует на доске слова «условие», «истина», «ложь», «и». | За 30 секунд формулируют индивидуальный ответ, около минуты обсуждают его в парах, затем предлагают классу формулировки: «Компьютер проверяет условия», «Каждое условие имеет результат», «Нужно объединить результаты». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что цифровому устройству необходимо работать с истинностью условий и объединять их по определённому правилу. Сейчас проверим, какие предложения вообще можно считать высказываниями».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о предложении и зафиксировать затруднение при определении истинности сложных условий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и предлагает приём «Сортировка». «Разложите предложения на две группы: высказывания и невысказывания. Объясните критерий. На карточках записано: “Москва — столица России”; “Закройте окно”; “Сколько сейчас времени?”; “7 является простым числом”; “Сегодня будет интересный урок”; “x больше 5”.» | В парах распределяют карточки. Обосновывают: высказывания «Москва — столица России», «7 является простым числом»; невысказывания — вопрос, побуждение, субъективное суждение и выражение с неизвестной переменной без заданного значения. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: «Можно ли однозначно определить истинность фразы “Сегодня будет интересный урок”? А фразы “x больше 5”? Что изменится, если значение x будет известно?» Учитель фиксирует критерий на доске и намеренно предъявляет выражение «Пароль верный и код верный», спрашивая: «Как доказать истинность всех частей сразу?» | Отвечают: «Субъективное мнение нельзя однозначно проверить», «Без значения x нельзя установить истину или ложь». Называют новое затруднение: «Нужен способ перечислить все сочетания значений частей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы отделили высказывания от предложений, которые не имеют однозначного значения истины. Но для составного условия нам нужен формальный способ проверить все варианты. Сформулируем цель нашего исследования».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему, цель и план открытия правил логических операций.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к схеме входа. «Представьте, что вы тестируете программу. Пользователь вводит правильный пароль, но ошибается в коде. Должна ли система открыть доступ? А если пароль неверный, но код правильный? Как записать оба условия кратко и без двусмысленности?» | Анализируют два случая и отвечают: «Доступ не открывается, потому что нужны оба верных условия». Предлагают обозначить условия буквами A и B. |
2 мин | Учитель предлагает составить план исследования. «Какие шаги помогут нам решить проблему? Подумайте: что нужно определить, какие операции изучить и как проверить результат?» Учитель принимает предложения и записывает план: определить высказывание; изучить НЕ, И, ИЛИ; построить таблицы; применить к цифровой ситуации. | Формулируют цель: «Научиться работать с логическими операциями и таблицами истинности». Называют этапы: «Ввести обозначения, выяснить правила, заполнить таблицу, решить практическую задачу». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: от обычных фраз перейти к формальной модели и проверить её на всех вариантах. Начнём открытие с трёх операций, которые используются в алгоритмах и программах».
Этап 4. Открытие нового знания и работа с ИКТ (11 мин)
Цель этапа: открыть смысл операций НЕ, И, ИЛИ и алгоритм построения таблицы истинности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске памятку и вводит обозначения. «Пусть A — высказывание “пароль верный”, а B — “код верный”. Операция НЕ отрицает значение: если A истинно, то НЕ A ложно. Операция И требует истинности обоих высказываний. Операция ИЛИ истинна, если истинно хотя бы одно. Не смешивайте бытовое “или” с логическим: в информатике обычно допускается истинность обоих условий». | Записывают обозначения: $\neg A$, $A \land B$, $A \lor B$. Проговаривают правила: «НЕ меняет значение», «И истинно только при двух истинах», «ИЛИ ложно только при двух ложных значениях». |
4 мин | Учитель демонстрирует на экране электронную таблицу. «В первой колонке задаём все варианты A и B. Для двух переменных должно быть четыре строки: истина–истина, истина–ложь, ложь–истина, ложь–ложь. Затем вычисляем сначала простые операции, а результат записываем в отдельный столбец. Проверим, совпадает ли результат таблицы с правилом». | В парах заполняют четыре сочетания значений, вводят в электронной таблице результаты для $A \land B$ и $A \lor B$, сравнивают их с памяткой. Отмечают строки, в которых выражение истинно. |
4 мин | Учитель организует мини-исследование. «Сравните столбцы И и ИЛИ. В какой строке они дают одинаковый результат? В какой строке различаются сильнее всего? Сформулируйте правило своими словами и приведите пример из цифровой системы». Учитель корректирует ответы и подчёркивает порядок действий: скобки, НЕ, И, ИЛИ. | Формулируют вывод: «При двух истинах обе операции истинны; при двух ложных обе ложны, но в остальных случаях И ложно, а ИЛИ истинно». Приводят примеры: доступ по двум условиям и запуск уведомления хотя бы при одном событии. |
Запись в тетрадях
Высказывание — повествовательное предложение, которому можно однозначно присвоить значение «истина» или «ложь». Логические операции: НЕ ($\neg A$), И ($A \land B$), ИЛИ ($A \lor B$). Для построения таблицы истинности перечисляют все сочетания значений переменных и вычисляют выражение по частям.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли правила трёх операций и проверили их цифровым инструментом. Теперь применим их к конкретным условиям и научимся объяснять не только ответ, но и каждую строку таблицы».
Этап 5. Первичное закрепление в группах (7 мин)
Цель этапа: закрепить чтение логических выражений и построение таблиц истинности в совместной деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по 3–4 человека и распределяет роли: аналитик, вычислитель, проверяющий, докладчик. «Каждая группа получает карточку. Сначала подпишите переменные, затем выпишите все сочетания их значений, после этого вычислите выражение по действиям. Проверяющий должен найти строку, в которой чаще всего ошибаются». | Распределяют роли и читают условие карточки. Записывают значения переменных и план построения таблицы. |
3 мин | Учитель предлагает базовые задания: «Для выражения $A \land \neg B$ составьте таблицу истинности. Для выражения $A \lor B$ укажите, в каких случаях результат ложен. Объясняйте каждый результат словами». Учитель консультирует группы, не сообщая готовый ответ. | Строят таблицу для $A \land \neg B$, получают четыре строки и определяют итоговый столбец. Для $A \lor B$ называют единственный случай ложного результата: «A ложно и B ложно». |
2 мин | Учитель предлагает представителям двух групп кратко защитить решение. «Покажите не все вычисления, а одну спорную строку и объясните её. Остальные группы поднимают зелёную карточку, если согласны, или жёлтую, если требуется уточнение». | Докладчики объясняют выбранную строку, остальные сравнивают её со своей таблицей, поднимают карточки и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Таблица истинности становится надёжной проверкой, если мы не пропускаем сочетания значений и соблюдаем порядок вычислений. Теперь каждый самостоятельно проверит, насколько уверенно умеет применять алгоритм».
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание темы через задания трёх уровней сложности и самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор уровня. «Обязательный уровень выполняют все. Если вы уверенно справляетесь, выбирайте повышенный или продвинутый уровень. Выбор уровня — это не соревнование, а способ поставить посильную учебную цель. На листе обязательно записывайте ход рассуждений». | Выбирают карточку уровня и записывают её обозначение. Готовят черновик таблицы. |
4 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: определить, какие из пяти предложений являются высказываниями, и построить таблицу для $A \lor \neg B$. Повышенный уровень: составить таблицу для $(A \land B) \lor \neg A$. Продвинутый уровень: описать логическим выражением условие: «Файл можно открыть, если пользователь авторизован и имеет разрешение или если файл общедоступен», определить переменные и учесть скобки. | Индивидуально выполняют выбранное задание. На базовом уровне классифицируют предложения и строят таблицу; на повышенном вычисляют выражение по промежуточным столбцам; на продвинутом вводят переменные, записывают выражение $(A \land B) \lor C$ и объясняют смысл скобок. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран и организует самопроверку. «Сверяйте не только последний столбец. Проверьте число строк, значения промежуточных операций и соответствие выражения условию. Ошибку пометьте знаком вопроса и исправьте другим цветом». | Сверяют работу с эталоном, подсчитывают верные позиции, исправляют ошибки, отмечают в листе самооценки: «могу определить высказывание», «могу применить НЕ», «могу построить таблицу». |
Эталон решения
Для выражения $A \lor \neg B$ перечисляются четыре строки: $A=1,B=1$; $A=1,B=0$; $A=0,B=1$; $A=0,B=0$. Сначала вычисляется $\neg B$: получаем $0,1,0,1$. Затем выполняется операция ИЛИ: итоговые значения равны $1,1,0,1$. Ошибка возможна в третьей строке: при $A=0$ и $B=1$ имеем $\neg B=0$, поэтому $0 \lor 0=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, какая часть алгоритма уже стала уверенной, а где нужна дополнительная тренировка. Осталось связать формальные операции с межпредметной задачей и объяснить, зачем такая запись нужна за пределами урока информатики».
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (4 мин)
Цель этапа: применить логические операции к математической и жизненной ситуации, осмыслить достигнутый результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу. «В математике число считается подходящим для условия, если оно больше 0 и меньше 10. Обозначим A: “x больше 0”, B: “x меньше 10”. Запишите логическое выражение и объясните, почему число 12 не подходит, а число 5 подходит. Где подобная проверка встречается в программировании или электронных таблицах?» | Записывают $A \land B$, проверяют значения для 12 и 5, отвечают: «Для 12 второе условие ложно, поэтому результат ложен; для 5 оба условия истинны». Называют области применения: фильтры данных, условия программ, поиск и безопасность. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Билет на выход». «Ответьте письменно на три вопроса: что такое высказывание; чем отличаются И и ИЛИ; какой шаг построения таблицы пока требует внимания? В последней строке поставьте символ: зелёный — могу объяснить однокласснику, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь». | Заполняют билет на выход, формулируют личный результат и затруднение, выбирают цвет самооценки. Сдают билет при выходе или передают учителю. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы прошли путь от обычного предложения до формальной модели, которую может выполнить компьютер. На следующем уроке мы продолжим работу с логическими выражениями и научимся преобразовывать их, сохраняя смысл».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно классифицированы предложения, полностью построена таблица истинности, правильно выполнены промежуточные операции, логическое выражение составлено без смысловой ошибки, объяснение содержит аргумент по конкретным строкам.
- «4» — выполнены основные задания, допущена одна неточность в промежуточном вычислении или формулировке объяснения, но правило операций и общий алгоритм применены верно.
- «3» — распознана большая часть высказываний и верно применены отдельные операции, однако пропущена строка таблицы, нарушен порядок вычислений или требуется помощь при интерпретации выражения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое высказывание и по какому признаку вы его определяете? | Проверка осознания предметного определения и умения применять критерий. |
В какой строке таблицы операция ИЛИ даёт ложный результат? | Выявление понимания ключевого правила операции ИЛИ. |
Какой шаг построения таблицы истинности оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Где логические операции могут пригодиться в будущей профессии или цифровом сервисе? | Связь учебного материала с профессиональной мотивацией и функциональной грамотностью. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились отличать высказывания от вопросов, команд и неопределённых фраз, а также открыли правила операций НЕ, И и ИЛИ. Важно помнить: операция И требует истинности обоих условий, а операция ИЛИ ложна только тогда, когда оба условия ложны. Типичная ошибка — пропустить одну комбинацию значений или начать вычисление без учёта скобок. На следующем уроке мы будем преобразовывать и анализировать более сложные логические выражения».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Составить таблицы истинности для выражений $\neg A$, $A \land B$ и $A \lor B$, а также классифицировать 8 предложений на высказывания и невысказывания с кратким объяснением. | Закрепляет определения и базовые правила операций; при проверке обратить внимание на число строк и корректность итоговых столбцов. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на составление логического выражения по условию: доступ к файлу, отбор числа по двум ограничениям и включение сигнализации при нескольких событиях. Для каждого выражения указать переменные и проверить не менее четырёх наборов значений. | Формирует умение переводить жизненный и цифровой контекст в логическую модель; проверять соответствие скобок смыслу условия. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать выражение $(A \lor B) \land \neg C$: построить полную таблицу истинности, выделить наборы, на которых результат истинен, и предложить реальную ситуацию, описываемую этим выражением. | Развивает анализ сложного выражения и создание собственной модели; при проверке оценивать полноту таблицы и точность интерпретации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Можно ли назвать вопрос высказыванием? В каком случае выражение $A \land B$ истинно? Когда выражение $A \lor B$ ложно? Какой первый шаг нужно выполнить при построении таблицы истинности для двух переменных?»
