Арифметические операции в позиционных системах счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выполнять сложение, вычитание и умножение целых чисел в двоичной системе счисления, переводить результат в десятичную систему для проверки и объяснять выполненные действия не менее чем в 3 из 4 практических заданий.
- Сформировать представление о правилах арифметических операций в позиционных системах счисления и связи алгоритмов с разрядами числа.
- Развивать умение моделировать вычисления с помощью разрядных таблиц, алгоритмов и электронных средств проверки.
- Формировать навыки сотрудничества при решении заданий в парах и умение аргументировать выбор способа решения.
- Поддерживать интерес к информатике через связь двоичной арифметики с работой компьютера, кодированием данных и будущими ИТ-профессиями.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую значимость позиционных систем счисления для понимания принципов работы цифровых устройств.
- Проявляют ответственное отношение к точности вычислений и проверке результата.
- Осознают собственный прогресс и выбирают уровень сложности задания с учётом учебных возможностей.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и уважительно обсуждают разные способы решения.
Метапредметные
- Познавательные: моделируют арифметические операции с помощью разрядной таблицы, выделяют закономерности и переносят алгоритм на другую систему счисления.
- Регулятивные: формулируют цель, планируют последовательность вычислений, выполняют самопроверку переводом результата в десятичную систему.
- Коммуникативные: распределяют роли в паре, объясняют ход решения и задают уточняющие вопросы.
- Работают с электронным ресурсом или программным калькулятором, сопоставляя машинную и ручную проверку результата.
Предметные
- Знать правила сложения, вычитания и умножения чисел в двоичной системе счисления.
- Уметь выполнять арифметические операции над целыми числами в двоичной системе счисления.
- Уметь переводить двоичные числа в десятичные и использовать перевод для проверки вычислений.
- Уметь применять разрядную модель и объяснять перенос или заём в соседнем разряде.
- Владеть алгоритмом решения практических задач разного уровня сложности.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный маршрут: базовый, повышенный или исследовательский уровень задания.
- Связывают точность двоичных вычислений с надёжностью программ и цифровых систем.
- Формируют внутреннюю готовность исправлять ошибки после проверки, а не только фиксировать итоговый ответ.
- Проявляют интерес к применению математических моделей в информатике.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: освоить и применить алгоритмы арифметических операций в двоичной системе.
- Планируют решение через запись разрядов, выполнение операции и проверку результата.
- Используют самоконтроль по чек-листу: выравнивание разрядов, перенос или заём, корректность записи ответа.
- Находят и исправляют ошибку, сравнивая ручное решение с эталоном или результатом электронного средства.
Познавательные УУД
- Выделяют основание системы и значение каждого разряда в записи числа.
- Строят модель вычисления в виде разрядной таблицы и столбикового алгоритма.
- Анализируют, почему результат операции зависит от переноса между разрядами.
- Сравнивают арифметические операции в десятичной и двоичной системах, формулируют общий принцип позиционной записи.
- Используют электронный калькулятор или короткую программу для проверки гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий, затем меняются ролями.
- Устно объясняют значение каждого шага алгоритма и используют математическую терминологию.
- Формулируют вопросы к решению партнёра: «Почему появился перенос?», «Как проверен результат?».
- Согласовывают общий ответ и аргументированно представляют способ решения классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с двоичной разрядной таблицей, правилами сложения и примерами с переносом.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на пару каждого уровня, всего по числу пар класса.
- Подготовить индивидуальный лист самопроверки с четырьмя пунктами: разряды, перенос или заём, вычисление, проверка переводом.
- Подготовить карточки для физкультминутки: «0» и «1» либо два цвета для каждой пары.
- Открыть на компьютерах ЭОР с тренажёром систем счисления или подготовить локальный электронный калькулятор; проверить работу без регистрации.
- Подготовить таблицу для моделирования: разряды $2^0$, $2^1$, $2^2$, $2^3$, $2^4$, $2^5$.
- Вывести на экран задания для входной диагностики и самостоятельной работы; не указывать номера страниц или конкретные издания.
- Подготовить 2–3 коротких фрагмента программного кода или команды калькулятора для проверки перевода двоичного числа в десятичное.
- Разместить на доске памятку: «Сложение: 1+1=10; вычитание: 0−1 требует займа; умножение на 0 и 1».
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры и листы для рефлексии «Знаю — умею — нужно повторить».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость двоичной арифметики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте. Сегодня мы будем не просто выполнять вычисления, а проверим, как компьютер складывает и умножает числа, используя только два символа. На экране вы видите последовательность 1, 10, 11, 100. Что общего у этих записей и какое число идёт дальше?" | Рассматривают последовательность, предполагают: "Это числа в двоичной системе; дальше будет 101". |
2 мин | Учитель показывает на экране двоичное сложение $1+1=10$ и обращается к классу: "В десятичной системе один плюс один даёт два. Почему в двоичной записи ответ выглядит иначе? Сегодня мы найдём правило, которое позволит выполнять сложение, вычитание и умножение без перевода каждого шага в десятичную систему. В конце проверим результат с помощью ЭОР." | Формулируют проблемный вопрос: "Как выполнять арифметические операции в двоичной системе и не ошибаться?"; записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что привычный результат может иметь другую запись. Чтобы действовать уверенно, сначала вспомним, как устроена позиционная система, а затем построим модель вычислений."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания об основании системы, разрядах и переводе двоичных чисел в десятичные.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит разрядную таблицу и говорит: "Запишите число $101101_2$ в виде суммы разрядных слагаемых. Посмотрите на доску: справа налево стоят степени основания 2. Не называйте только ответ — объясните, какой вклад вносит каждая единица." | Заполняют таблицу: $1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0$; получают $45_{10}$. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала за 30 секунд определите, чему равно $1101_2$ в десятичной системе. Затем сравните запись с партнёром и назовите способ проверки." | Индивидуально вычисляют $13_{10}$, обсуждают в парах, предлагают проверку через сумму степеней двойки. |
1 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что является основанием двоичной системы? Какие цифры разрешены? Как изменяется вес разряда при движении влево?" | Отвечают: "Основание 2; цифры 0 и 1; вес каждого следующего разряда увеличивается в два раза". |
Запись в тетрадях
$101101_2=1\cdot2^5+0\cdot2^4+1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0=45_{10}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что каждая цифра имеет вес разряда. Теперь выясним, как эти веса помогают выполнить операцию непосредственно в двоичной записи."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при выполнении операции и совместно сформулировать план открытия алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пример $1011_2+1101_2$ и говорит: "Решите пример устно или в черновике так, как если бы это была десятичная запись. Где возникает затруднение? Можно ли записать в одном разряде цифру 2?" | Пытаются выполнить сложение, замечают затруднение в разряде единиц и формулируют: "В двоичной системе цифры 2 нет, поэтому нужен перенос в следующий разряд". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы и спрашивает: "Какой план поможет нам открыть общий алгоритм? Предложите шаги. Нам нужно понять правила базовых комбинаций, смоделировать перенос и затем проверить результат переводом." | Предлагают план: составить таблицу базовых операций, выполнить вычисление по разрядам, объяснить перенос, проверить ответ в десятичной системе. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: в каждом разряде результат должен быть записан допустимой цифрой 0 или 1. Сейчас построим модель, которая покажет, откуда берётся перенос и заём."
Этап 4. Открытие нового знания. Метод моделирования (9 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить алгоритмы сложения, вычитания и умножения в двоичной системе через разрядную модель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает разрядную модель и говорит: "Начинаем с младшего разряда. Запишите базовые факты: $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=10_2$. В последнем случае в текущем разряде остаётся 0, а 1 переносится в следующий. Рассмотрим пример $1011_2+1101_2$. Я записываю числа по разрядам и проговариваю перенос после каждой позиции." | Записывают столбиком, отмечают переносы: $1011_2+1101_2=11000_2$; проговаривают: "1 плюс 1 даёт 0, перенос 1; далее учитываем перенос". |
3 мин | Учитель продолжает: "Для вычитания используем правило: $0-0=0$, $1-0=1$, $1-1=0$. Если нужно выполнить $0-1$, занимаем единицу у соседнего разряда: получаем $10_2-1_2=1_2$. Выполним $11010_2-1011_2$. Сначала выровняйте разряды, затем укажите места займа." | Выполняют вычитание по разрядам, отмечают заём и получают $1111_2$. Объясняют, что занятая единица превращается в $10_2$ в текущем разряде. |
2 мин | Учитель показывает модель умножения: "Умножение на одну двоичную цифру несложно: на 0 получаем ноль, на 1 переносим число без изменения. При умножении на разряд $2^k$ выполняется сдвиг влево на $k$ позиций. Посмотрите на пример $101_2\cdot11_2$: складываем число и его сдвинутую копию." | Записывают: $101_2\cdot11_2=101_2+1010_2=1111_2$; формулируют правило сдвига. |
Запись в тетрадях
Сложение выполняется справа налево с переносом; вычитание — справа налево с заёмом; умножение на $1$ сохраняет число, на $0$ даёт ноль, умножение на $2^k$ соответствует сдвигу влево на $k$ разрядов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Модель показала, что двоичная арифметика подчиняется тем же позиционным принципам, что и десятичная, но перенос и заём происходят при достижении основания 2. Теперь применим алгоритм сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить понятие разряда через двигательную модель и связать информатику с математикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выполним короткую физкультминутку «Разряды». Представьте, что ряд парт — это разряды числа. На сигнал «единица» поднимите правую руку, на сигнал «ноль» оставьте руки опущенными. При переносе шагните на одну позицию влево." | Выполняют движения по командам, моделируя последовательность $10110_2$. |
2 мин | Учитель связывает деятельность с математикой: "В математике мы работаем с разрядами и степенями основания, а в информатике эта модель описывает состояние битов в памяти. Покажем перенос: если в разряде получилось $2$, текущий ученик садится, а следующий поднимает руку." | Двигательно моделируют сложение двух битов, называют: "результат текущего разряда — 0, перенос — 1". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что разряд можно представить не только в тетради, но и как отдельное состояние в модели. Возвращаемся к практической работе и проверяем, насколько устойчив алгоритм."
Этап 6. Первичное закрепление в парах с использованием ИКТ (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы в совместной работе и проверить результаты с помощью ЭОР.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт парам карточки базового уровня и говорит: "В паре один ученик выполняет вычисление, второй проверяет по разрядам и заносит результат в электронный тренажёр. Через три минуты поменяйтесь ролями. Задания: $10101_2+1110_2$; $10010_2-1011_2$." | Распределяют роли, выравнивают разряды и решают два примера. |
3 мин | Учитель напоминает: "Не вводите ответ в тренажёр до завершения ручного решения. Сначала подчеркните перенос или заём, затем выполните электронную проверку. Если ответы различаются, найдите первый разряд, где возникло расхождение." | Вводят ответы в ЭОР, сравнивают результат, исправляют ошибки; получают $100011_2$ и $111_2$. |
3 мин | Учитель предлагает повышенный вариант: "Для тех, кто готов усложнить задачу, выполните $1101_2\cdot101_2$ и объясните партнёру, почему одна строка слагаемых сдвинута на два разряда. Проверка выполняется переводом результата в десятичную систему или электронным калькулятором." | Решают: $1101_2+110100_2=1000001_2$, объясняют сдвиг и проверяют: $13\cdot5=65$. |
Эталон решения
$10101_2+1110_2=10101_2+01110_2=100011_2$. Для вычитания: $10010_2-01011_2=00111_2=111_2$. Для умножения: $1101_2\cdot101_2=1101_2+0000_2+110100_2=1000001_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проверка ЭОР полезна только после самостоятельного рассуждения: она показывает расхождение, но не объясняет его за нас. Сейчас каждый продемонстрирует собственный способ решения и самоконтроль."
Этап 7. Самостоятельная работа с дифференциацией (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритмов и обеспечить выбор уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выберите один из трёх уровней. Базовый обязателен для всех; повышенный позволяет проверить устойчивость алгоритма; исследовательский связан с программной проверкой. Работайте самостоятельно, решение записывайте полностью." | Выбирают уровень и записывают его в верхней части листа. |
4 мин | Учитель выводит базовый вариант: "Выполните операции и проверьте один результат переводом: $11001_2+1011_2$; $11100_2-10101_2$; $101_2\cdot11_2$." | Решают, получают $100100_2$, $111_2$, $1111_2$; одну операцию проверяют в десятичной системе. |
3 мин | Учитель предлагает повышенный вариант: "Решите $101101_2+110111_2$ и $100000_2-11011_2$. Затем найдите ошибку в записи: $1011_2+1101_2=10100_2$. Исправьте результат и объясните причину." | Получают $1100100_2$ и $100101_2$; исправляют ошибку: правильный результат $11000_2$, указывают пропущенный перенос. |
1 мин | Учитель предлагает исследовательское задание: "Составьте два двоичных числа, сумма которых равна $100000_2$, и запишите проверку. Разрешается использовать электронный калькулятор только после составления гипотезы." | Предлагают варианты, например $11111_2+1_2=100000_2$, проверяют переводом: $31+1=32$. |
Эталон решения
$11001_2+01011_2=100100_2$; $11100_2-10101_2=00111_2=111_2$; $101_2\cdot11_2=101_2+1010_2=1111_2$. В ошибочном решении $1011_2+1101_2$ неверно обработан перенос в старшем разряде; правильный ответ $11000_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы работали на разных уровнях, но общий критерий один: корректный алгоритм и объяснение результата. Осталось зафиксировать, что уже стало понятным, а что требует повторения."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить результат деятельности, выявить затруднения и определить индивидуальное продолжение работы дома.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выполнить сложение и проверить его; жёлтую — если получается с подсказкой; красную — если пока затрудняетесь. На стикере допишите одно конкретное действие, которое поможет перейти на следующий цвет." | Выбирают карточку, формулируют: "повторю правила займа", "потренирую перенос", "проверю переводом в десятичную систему". |
1 мин | Учитель задаёт вопрос: "Какой шаг алгоритма оказался самым важным? Что чаще всего приводит к ошибке — неверное выравнивание разрядов, забытый перенос или отсутствие проверки?" | Отвечают с аргументом, приводят пример из собственной работы. |
2 мин | Учитель объясняет домашний выбор: "Выполните обязательный уровень. Если базовый дался уверенно, добавьте повышенный или исследовательский. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы: какие цифры допустимы в двоичной системе; что означает перенос; как проверить результат?" | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы: "0 и 1; перенос означает переход единицы в следующий разряд; проверка выполняется переводом или ЭОР". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три операции выбранного варианта, корректно оформлены переносы или заёмы, выполнена проверка хотя бы одного результата и дано объяснение алгоритма.
- «4» — верно выполнены не менее двух операций из трёх, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в оформлении, общий алгоритм понятен.
- «3» — верно выполнена хотя бы одна операция, но имеются ошибки в переносе, займе или выравнивании разрядов; ученик может исправить решение с помощью эталона.
- Ниже базового уровня — работа требует доработки: отсутствует последовательная запись действий или неверно определены допустимые цифры двоичной системы.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о переносе и займе в двоичной системе? | Выявление осознания ключевого механизма арифметических операций. |
Какую операцию вы сейчас можете выполнить самостоятельно: сложение, вычитание или умножение? | Определение индивидуального уровня предметного освоения. |
На каком шаге решения возникло затруднение и как вы его исправили? | Выявление точек затруднения и сформированных регулятивных действий. |
Какой способ проверки результата вы будете использовать дома? | Проверка понимания связи ручного алгоритма, перевода и ИКТ. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что двоичная арифметика строится на тех же позиционных принципах, что и привычная десятичная, но перенос выполняется уже при достижении основания 2. Самая частая ошибка — потерять перенос или заём при переходе к следующему разряду, поэтому решение нужно записывать поэтапно и проверять. Вы попробовали ручную модель, работу в паре и электронную проверку. На следующем уроке мы применим эти умения к более сложным выражениям и задачам, связанным с представлением данных в памяти компьютера."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 операций в двоичной системе: два сложения, одно вычитание и одно умножение; один результат проверить переводом в десятичную систему. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на выравнивание разрядов, переносы и заёмы. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи с числами, содержащими не менее пяти разрядов, включая два выражения со скобками; для каждого записать краткую проверку в десятичной системе или с помощью ЭОР. | Развивает устойчивость вычислительного алгоритма и умение выбирать способ самоконтроля. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-исследование: подобрать три пары двоичных чисел с одинаковой суммой в десятичной системе, выполнить операции в двоичной записи и объяснить закономерность; допускается оформить результат в электронной таблице или короткой программе. | Развивает моделирование, исследовательское мышление и связь арифметики с ИКТ. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие цифры используются в двоичной системе? Почему $1+1=10_2$? Как выполняется заём при вычитании? Как проверить двоичный результат, не выполняя повторно всю операцию?»
