Количество информации. Задание 11 ЕГЭ
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться выбирать информационную модель и решать не менее трёх типовых задач на количество информации из задания 11 ЕГЭ, объясняя каждый шаг решения и проверяя ответ.
- Сформировать понимание связи между мощностью алфавита, длиной сообщения и количеством информации в сообщении.
- Научиться применять формулы $N=2^i$, $I=K\cdot i$ и $I=K\cdot \log_2N$ при решении практических задач.
- Развивать умение анализировать условие, выделять известные величины, выбирать способ решения и обнаруживать ошибки в готовом рассуждении.
- Формировать ответственное отношение к подготовке к ЕГЭ и понимание применения информационных моделей в цифровых технологиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают связь изучаемого материала с будущей профессиональной и учебной деятельностью в сфере цифровых технологий.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ решения и аргументировать собственную позицию.
- Понимают значение внимательной работы с единицами измерения информации для получения достоверного результата.
- Снижают тревожность перед экзаменационным заданием через освоение понятного алгоритма действий.
Метапредметные
- Выделяют в условии задачи информационные параметры: мощность алфавита, длину сообщения, количество сообщений и объём информации.
- Планируют решение, выбирают формулу и контролируют соответствие единиц измерения.
- Сравнивают несколько способов решения и объясняют преимущество выбранного способа.
- Используют цифровые средства для фиксации ответа и проверки вычислений.
- Взаимодействуют в паре, задают уточняющие вопросы и корректно аргументируют решение.
Предметные
- Знать смысл единицы информации «бит» и связь между количеством равновероятных вариантов и количеством информации.
- Знать формулы $N=2^i$, $I=K\cdot i$ и $I=K\cdot \log_2N$.
- Уметь находить количество информации в одном выборе и в сообщении фиксированной длины.
- Уметь решать задачи с переводом битов в байты, килобайты и другие единицы.
- Уметь оформлять решение задания 11 ЕГЭ с кратким обоснованием ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке: научиться уверенно решать задачи на количество информации.
- Осознают ценность точности, самопроверки и рационального использования цифровых ресурсов.
- Оценивают собственную готовность к выполнению задания экзаменационного формата.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в первоначальном решении.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную проблему и совместно составляют план её решения.
- Выбирают формулу на основании данных условия, а не по внешнему сходству задачи.
- Проверяют размерность ответа и выполняют обратную оценку результата.
- Исправляют решение после взаимной проверки и фиксируют индивидуальную затруднённую операцию.
Познавательные УУД
- Классифицируют задачи по типу информационной модели.
- Преобразуют текстовое условие в краткую запись, таблицу или схему.
- Устанавливают связь между степенной и логарифмической записью формулы.
- Анализируют готовое решение, находят неверно выбранную единицу или формулу.
- Используют калькулятор и электронную таблицу только для проверки, сохраняя математическое обоснование.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: аналитик выделяет данные, проверяющий контролирует формулу и единицы.
- Формулируют вопрос к решению одноклассника без перехода на оценку личности.
- Объясняют партнёру ход рассуждения устно и письменно.
- Согласуют общий ответ и представляют его классу.
- Принимают аргументированную поправку и корректируют собственную запись.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с проблемным вопросом, таблицей единиц информации, формулами и тремя задачами экзаменационного типа.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной базовой карточке на ученика, по одной парной карточке на парту и две дополнительные карточки на группу.
- Подготовить лист взаимопроверки с алгоритмом: выделить данные — выбрать модель — записать формулу — вычислить — проверить единицы.
- Вывести на доску или экран таблицу: $1$ байт $=8$ бит, $1$ Кбайт $=1024$ байта, $1$ Мбайт $=1024$ Кбайт.
- Подготовить интерактивную доску или проектор, ноутбук учителя и таймер на 2–4 минуты.
- Открыть электронную таблицу или локальный калькулятор для демонстрации проверки степеней двойки и перевода единиц.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и билета на выход.
- Разместить на доске памятку: «Если $N=2^i$, то один выбор несёт $i$ бит; для $K$ независимых символов $I=K\cdot i$.»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и связать тему с практикой ЕГЭ и цифровых технологий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два сообщения: «Код из четырёх цифр» и «Один символ из алфавита 256 знаков». «Ребята, сегодня мы будем выяснять не просто размер файла, а сколько информации несёт выбор. Представьте, что вы проектируете парольную систему или оцениваете объём сообщения. Как сравнить эти ситуации строго, а не на глаз?» | Рассматривают примеры и формулируют предположения: «Нужно знать число вариантов», «важна длина сообщения», «нужно учитывать алфавит». |
2 мин | Учитель объявляет приём «Проблемный вопрос»: «Почему сообщение из нескольких символов иногда содержит больше информации, чем длинный текст? Какие величины нужно увидеть в условии задания 11 ЕГЭ? В конце урока мы вернёмся к этому вопросу». | Записывают тему, называют предполагаемые величины и формулируют личную цель: «научиться быстро определять модель задачи и не путать биты с байтами». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что длина сообщения сама по себе не даёт ответа. Нужно учитывать число возможных символов и количество выборов. Сейчас восстановим знания, которые помогут построить точную модель».
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия «бит», «байт», «алфавит», «мощность алфавита» и обнаружить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель запускает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сначала самостоятельно ответьте: сколько вариантов кодирует один бит; сколько бит в байте; сколько информации несёт выбор одного из восьми равновероятных вариантов? Затем сравните ответы с соседом и объясните формулу». | 30 секунд работают индивидуально, одну минуту обсуждают в парах, затем предлагают ответы: «Бит кодирует два варианта», «в байте 8 бит», «выбор из 8 вариантов несёт 3 бита, потому что $8=2^3$». |
2 мин | Учитель показывает два утверждения: «Выбор из 16 вариантов несёт 16 бит» и «сообщение из 4 символов алфавита из 4 знаков несёт 8 бит». «Отметьте верное утверждение и объясните ошибку в неверном». | Поднимают карточки «верно/неверно», объясняют: «Первое неверно: 16 вариантов — это 4 бита. Второе верно: один символ — 2 бита, четыре символа — 8 бит». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили связь степени двойки и количества вариантов. Затруднение возникает тогда, когда в условии встречаются и число символов, и длина сообщения. Сформулируем алгоритм, который поможет не смешивать эти величины».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: совместно вывести последовательность действий при решении задания 11 ЕГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске условие: «Сообщение состоит из 5 символов алфавита мощностью 16. Какое количество информации оно содержит?» «Не вычисляйте сразу. Какие данные нужно выписать? Какой вопрос задаём первым?» | Выделяют: $K=5$, $N=16$. Отвечают: «Сначала найдём информацию в одном символе: $i=\log_2 16=4$ бита, затем умножим на длину сообщения». |
2 мин | Учитель направляет эвристическую беседу: «Как проверить, что выбранная формула подходит? Что изменится, если увеличить длину сообщения в два раза? Запишите общий алгоритм из пяти шагов». | Формулируют алгоритм: «выделить данные, определить информацию в одном символе, умножить на число символов, перевести единицы, проверить ответ». Предсказывают: «при удвоении длины сообщения количество информации удвоится». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть маршрут решения: данные — модель — формула — вычисление — контроль. Проверим его на новой задаче и увидим, как он работает в цифровом контексте».
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: вывести и осмысленно применить формулы количества информации, связав их с кодированием и вероятностным представлением данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает схему двоичного дерева: один вопрос разделяет варианты на две группы, два вопроса — на четыре, три — на восемь. «В информатике это связано с двоичным кодированием, а в математике — со степенями двойки. Если равновероятных вариантов $N$, то число бит $i$ определяется равенством $N=2^i$, то есть $i=\log_2N$.» | Строят в тетради дерево для 8 вариантов, подписывают уровни 1, 2 и 3 бита, формулируют вывод: «каждый дополнительный бит вдвое увеличивает число кодируемых вариантов». |
3 мин | Учитель разбирает межпредметный пример: «В цифровом датчике измерение кодируется одним из 256 значений. Сколько бит нужно для одного измерения и сколько информации несут 100 измерений?» Показывает на доске: $256=2^8$, затем $I=100\cdot8$. | Устно называют $i=8$ бит, записывают $I=800$ бит, объясняют, что это связано с представлением числовых данных в памяти компьютера. |
2 мин | Учитель подчёркивает различие между битами и байтами: «Если ответ требуется в байтах, делим число бит на 8. Нельзя автоматически делить на 1024: это переход между байтами и килобайтами, а не между битами и байтами». Демонстрирует проверку в электронной таблице. | Записывают правило перевода, выполняют проверку: $800:8=100$ байт, объясняют, почему результат в байтах не равен 800. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Если алфавит имеет мощность $N$, то информация в одном символе $i=\log_2N$ бит. Для сообщения длиной $K$ символов $I=K\cdot i=K\cdot\log_2N$. Если $N=2^i$, удобно использовать $i$ без вычисления логарифма. $8$ бит $=1$ байт».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы связали двоичное кодирование, степени двойки и вычисление объёма сообщения. Теперь применим формулы в парах: один ученик будет строить модель, второй — контролировать единицы и логику ответа».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на задачах разного типа с взаимным объяснением решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Сообщение состоит из 12 символов. Каждый символ выбирается из алфавита мощностью 4. Найдите количество информации в сообщении». «Работайте по листу алгоритма. Один ученик комментирует шаги, второй отмечает их наличие». | Выписывают $K=12$, $N=4$, находят $i=2$ бита и $I=24$ бита. Объясняют партнёру каждое действие. |
3 мин | Учитель предлагает вторую карточку: «Файл содержит сообщение из 2048 символов алфавита мощностью 256. Выразите информационный объём сообщения в байтах». «Проверьте не только число, но и единицу ответа». | Находят $i=8$ бит, вычисляют $I=16384$ бит, переводят: $16384:8=2048$ байт. Взаимно сверяют записи. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решение, а остальных применить приём «Две звезды и пожелание»: отметить два корректных шага и один вопрос или совет. | Пары объясняют решения у доски, остальные записывают комментарии: «верно определена мощность алфавита», «проверена единица», «нужно явно записать перевод битов в байты». |
Эталон решения
Для первой задачи: $N=4=2^2$, значит $i=2$ бита на символ. При $K=12$ получаем $I=12\cdot2=24$ бита. Для второй задачи: $N=256=2^8$, значит $i=8$ бит. Тогда $I=2048\cdot8=16384$ бит. Переводим в байты: $16384:8=2048$ байт.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы увидели, что формула одна, но порядок действий должен быть осознанным. Теперь каждый самостоятельно решит задачу экзаменационного формата, а затем проверит себя по эталону».
Этап 6. Самостоятельная работа с ИКТ и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и научить использовать цифровой инструмент для контроля, а не для замены рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки. Базовая задача: «Сообщение длиной 15 символов записано с использованием алфавита из 32 знаков. Найдите его информационный объём в битах». Повышенная задача: «Сообщение длиной 4096 символов записано с использованием алфавита из 16 знаков. Выразите объём в байтах». Учитель напоминает: «Сначала решение на бумаге, затем можно проверить вычисление в электронной таблице или калькуляторе». | Индивидуально решают одну обязательную и одну выбранную задачу: для первой получают $15\cdot5=75$ бит; для второй — $4096\cdot4=16384$ бит $=2048$ байт. Записывают формулу и единицу ответа. |
2 мин | Учитель выводит эталон и просит провести самопроверку по четырём критериям: данные, формула, вычисления, единицы. «Если ошибка найдена, зачеркните только неверный шаг и рядом напишите исправление». | Сверяют решение, ставят отметки напротив критериев, исправляют ошибки и записывают причину затруднения. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: «Зелёный — могу решить задачу сам; жёлтый — путаю перевод единиц или формулы; красный — не понимаю, как начать». По жёлтым и красным сигналам кратко повторяет соответствующий шаг. | Поднимают карточку цвета, формулируют конкретный вопрос: «не понимаю, когда использовать логарифм», «путаю байты и килобайты». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что решение состоит не в подстановке чисел, а в выборе модели. Осталось обобщить типы задач и проверить, умеете ли вы объяснить решение другому человеку».
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, осознать результат и определить следующий шаг подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает составить на доске кластер «Количество информации»: в центре — $I$, ветви — «алфавит», «длина сообщения», «единицы», «проверка». «Назовите по одному контрольному вопросу к каждой ветви». | Заполняют кластер: «Какова мощность алфавита?», «Сколько символов?», «В битах или байтах ответ?», «Реалистичен ли результат?». |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: «1) Как найти информацию в одном символе? 2) Какая типичная ошибка наиболее опасна? 3) Решите: один символ выбирается из 64 вариантов». | Письменно отвечают: «$i=\log_2N$», «нельзя путать биты и байты», «$64=2^6$, значит 6 бит». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и предлагает выбрать уровень. «Выбор уровня — это не оценка способностей, а планирование собственной подготовки. Обязательный минимум выполняют все, дополнительные задания берут те, кто готов усложнить модель». | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, оценивают готовность по шкале от 1 до 5. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы научились переводить текст условия в информационную модель, вычислять количество информации и проверять единицы. На следующем уроке рассмотрим задачи, где требуется анализировать ограничения и сравнивать несколько вариантов кодирования».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обязательная и выбранная дополнительные задачи, записаны данные, формула, вычисления и единицы измерения; ученик может устно объяснить выбор формулы.
- «4» — решение в целом верное, но допущена одна неточность в записи или переводе единиц, не повлиявшая на основную модель.
- «3» — правильно определена мощность алфавита или информация в одном символе, но допущена ошибка при умножении, переводе единиц либо оформлении итогового ответа.
- Ниже «3» — не определены исходные величины или формула выбрана без объяснения; работа требует повторного разбора алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как по условию определить, что сначала нужно найти информацию в одном символе? | Проверка понимания информационной модели и последовательности действий. |
В каком месте решения вы сегодня почувствовали наибольшую уверенность? | Выявление освоенных операций и поддержка осознанной мотивации. |
Какая ошибка с единицами измерения для вас наиболее вероятна? | Выявление индивидуальных точек затруднения при переводе битов и байтов. |
Что вы сможете объяснить однокласснику по теме задания 11? | Проверка переноса знания и уровня метапредметного осмысления. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы увидели, что количество информации можно вычислить строго, если правильно определить алфавит и длину сообщения. Типичная ошибка — сразу умножать числа, не выяснив, сколько бит несёт один символ, или забывать указать единицу ответа. Вы научились использовать цифровой калькулятор только для проверки уже построенного решения. Дома закрепите алгоритм на задачах выбранного уровня, а на следующем уроке мы перейдём к более сложным ситуациям с ограничениями и вариантами кодирования».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на количество информации в сообщении: две задачи на нахождение информации в одном символе и две задачи на вычисление объёма сообщения с переводом из битов в байты. В каждой задаче записать данные, формулу, вычисления и единицу ответа. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на правильность выбора $i=\log_2N$, умножение на длину сообщения и перевод единиц. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи экзаменационного типа с мощностью алфавита 8, 32 или 256 и длиной сообщения от 100 до 4096 символов; для одной задачи выполнить проверку с помощью электронной таблицы или калькулятора. | Развивает самостоятельный выбор способа решения и цифровую грамотность; при проверке обратить внимание на совпадение ручного и цифрового результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на количество информации, связанную с паролем, датчиком или кодированием текста. Указать исходные данные, ожидаемую единицу ответа и кратко объяснить, почему выбранная модель корректна. | Формирует умение создавать информационную модель и аргументировать решение; при проверке оценивать корректность условия, однозначность ответа и полноту обоснования. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает мощность алфавита? Как связаны $N$ и $i$? Когда количество бит нужно делить на 8? Почему результат необходимо проверять по единице измерения?»
