Развёрнутая запись целых и дробных чисел в позиционных системах счисления
Цели и задачи
- Цель: сформировать навык представления целых и дробных чисел в развёрнутой форме в любой позиционной системе счисления и научиться применять свойства позиционной записи для решения логических задач.
- Образовательная задача: вывести общую формулу записи числа в системе счисления с основанием q, рассмотреть свойства количества цифр и признака делимости на основание.
- Развивающая задача: развивать алгоритмическое мышление и умение анализировать структуру числа как математического объекта.
- Воспитательная задача: способствовать осознанию связи математики и информатики, формировать готовность к саморазвитию в условиях цифровизации.
Планируемые результаты
Личностные
- Сформированность мировоззрения, соответствующего современному уровню развития науки.
- Способность к осознанному выбору будущей профессиональной сферы (IT, инженерия).
- Критическое отношение к информации и навык самопроверки результатов.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения и устанавливать аналогии.
- Навык использования математических инструментов для решения информационных задач.
- Умение самостоятельно планировать пути достижения целей и выбирать эффективные способы решения.
Предметные
- Знать определение позиционной системы счисления, основания и алфавита.
- Уметь записывать целые и дробные числа в развёрнутой и свернутой формах.
- Владеть навыком определения количества цифр в числе при смене основания.
- Понимать связь между последней цифрой числа и остатком от деления на основание.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом (подготовка к ЕГЭ по информатике, задача №14).
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Оценка качества и уровня усвоения материала.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (анализ разрядов числа).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию со схемами развёрнутой записи чисел.
- Распечатать карточки для практической работы (задания на свойства систем счисления) — 15 шт. на класс.
- Проверить работоспособность интерпретатора Python на рабочих станциях (для проверки свойств делимости).
- Открыть учебник К.Ю. Полякова, Е.А. Еремина (Информатика, 10 класс, углубленный уровень) на стр. 68-72.
- Подготовить методические материалы с сайта kpolyakov.spb.ru (раздел 'Системы счисления').
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, создать проблемную ситуацию через межпредметную связь с математикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы работаем с тем, что кажется элементарным — с числами. Но для компьютера число — это не просто величина, а структура. Вы когда-нибудь задумывались, почему в десятичной системе 123 — это именно сто двадцать три?» | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников и тетрадей. |
2 мин | «В математике вы привыкли к полиномам. Сегодня мы увидим, что любое число в любой системе счисления — это тоже полином. Это знание поможет нам не только понимать компьютер, но и решать сложнейшие задачи из ЕГЭ за считанные секунды. Готовы стать архитекторами чисел?» | Слушают учителя, настраиваются на аналитическую деятельность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы привыкли пользоваться числами автоматически, но сегодня мы разберем их "двигатель" — позиционный принцип записи.»
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить структуру десятичного числа и понятие основания системы счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Давайте вспомним начальную школу. Запишите число 456,78 в виде суммы разрядных слагаемых. Кто продиктует?» Учитель пишет на доске под диктовку. | Записывают в тетрадях: 400 + 50 + 6 + 0,7 + 0,08. Один ученик диктует: «4 сотни, 5 десятков, 6 единиц...» |
3 мин | «А теперь запишем это через степени десятки. Помните, что 10 в нулевой степени — это 1? А 0,1 — это 10 в минус первой?» Учитель выводит на экран: 4*10^2 + 5*10^1 + 6*10^0 + 7*10^-1 + 8*10^-2. | Корректируют свои записи, осознают переход к степенному представлению. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Этот принцип работает для любой системы. Главное — знать основание.»
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (3 мин)
Цель этапа: столкнуть учеников с задачей представления дробного числа в двоичной системе.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Попробуйте по аналогии записать в развёрнутом виде двоичное число 101,11. Какие степени здесь будут у двойки? Как нам перевести это число в привычную десятичную форму, не используя калькулятор?» | Пытаются применить аналогию. Возникает вопрос о знаках степеней после запятой. Высказывают предположения: «Наверное, степени будут отрицательными». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Нам нужна универсальная формула, которая позволит работать с любым основанием q.»
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: изучить общую формулу и свойства позиционной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на стр. 69. Посмотрите на формулу (1). Она выглядит страшно, но мы её только что вывели сами. Запишем в тетрадь: A_q = a_n*q^n + ... + a_0*q^0 + a_-1*q^-1... Где q — основание, a_i — цифры алфавита.» | Записывают формулу в тетрадь. Разбирают смысл индексов (позиций цифр). |
7 мин | «Теперь о свойствах. Свойство 1: Признак делимости. Если мы разделим число на основание q, какой будет остаток? Посмотрите на формулу. Все слагаемые, кроме последнего, содержат q. Значит, остаток — это последняя цифра! Свойство 2: Количество цифр. Число N в системе q содержит k цифр, где q^(k-1) ≤ N < q^k. Это же логарифм!» | Слушают объяснение, фиксируют свойства. Ученики-математики замечают связь: «То есть количество цифр — это целая часть логарифма плюс один?» |
Запись в тетрадях
- Развёрнутая форма: x = Σ (a_i * q^i)
- Последняя цифра числа в системе q — это остаток от деления числа на q.
- Отбрасывание последней цифры в системе q — это целочисленное деление на q.
- Количество цифр в записи целого числа N в системе q: k = ⌊log_q N⌋ + 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Эти свойства — база для программирования алгоритмов перевода чисел.»
Этап 5. Первичное закрепление и практика (7 мин)
Цель этапа: отработать навык перевода через развёрнутую форму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Решим задачу из учебника. Переведите число 12,4 из восьмеричной системы в десятичную. Записываем развёрнутую форму.» Учитель контролирует процесс, проходя по рядам. | Решают в тетрадях: 1*8^1 + 2*8^0 + 4*8^-1 = 8 + 2 + 0,5 = 10,5. |
3 мин | «А теперь обратная логика (ICT-момент). Запустите Python в консоли. Введите: 10.5.hex(). Что вы видите? Как компьютер представляет дробь?» | Запускают консоль, видят шестнадцатеричное представление. Обсуждают, почему оно выглядит именно так. |
Эталон решения
12,4_8 = 1 · 8^1 + 2 · 8^0 + 4 · 8^{-1} = 8 + 2 + 4/8 = 10 + 0,5 = 10,5_{10}
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились переводить дроби. Помните: отрицательные степени — это всегда дробная часть.»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить усвоение свойств систем счисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Раздаю карточки. Задание: 1) Записать 101,011_2 в развёрнутом виде. 2) Сколько цифр будет в числе 1000_{10}, если его перевести в двоичную систему? Используйте свойство логарифма.» | Выполняют задания на карточках самостоятельно. |
2 мин | Выводит ответы на экран. «Сверьтесь с эталоном. Кто ошибся в количестве цифр? Помните, что 2^9 = 512, а 2^{10} = 1024.» | Сверяют ответы, ставят себе плюсы. Анализируют ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самоконтроль — важный навык инженера. Идем дальше.»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное и дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте подведем итог. Что нового вы узнали о последней цифре числа? Как быстро узнать количество цифр в двоичной записи?» | Отвечают: «Последняя цифра — это остаток от деления на основание», «Количество цифр связано со степенью основания». |
2 мин | «Ваше домашнее задание будет дифференцированным. Обратите внимание на задачу про признак делимости — она потребует логики.» | Записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания карточки, развёрнутая форма записана без ошибок в степенях, верно определено количество цифр.
- «4» — допущена одна вычислительная ошибка в переводе дроби, но алгоритм и свойства применены верно.
- «3» — верно записана развёрнутая форма только для целых чисел, есть ошибки в понимании отрицательных степеней.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство системы счисления показалось самым полезным? | Выявление наиболее значимого для ученика материала. |
Сможете ли вы без калькулятора сказать, сколько цифр в числе 500 в троичной системе? | Проверка оперативного применения свойства количества цифр. |
В чем сложность перевода дробных чисел? | Диагностика типичных затруднений с отрицательными степенями. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы заглянули "под капот" чисел. Развёрнутая запись — это универсальный ключ к пониманию того, как данные хранятся в памяти ЭВМ. На следующем уроке мы научимся переводить числа из одной системы в другую, используя эти знания как быстрый алгоритм. Если вы поняли принцип степеней — вы уже на полпути к успеху в программировании. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, §12, задачи 1-5 | Перевод целых и дробных чисел через развёрнутую форму. |
Средний (повышающий) | Задача на логику | Найти основание системы счисления q, если известно, что 121_q = 25_{10}. |
Продвинутый (дополнительный) | Проектная задача | Написать на Python скрипт, вычисляющий количество цифр числа N в системе q без цикла (используя math.log). |
Контрольный вопрос: «Чему равно 10,1 в двоичной системе в десятичном виде?» (Ответ: 2,5).
Методические ресурсы
- Сайт К.Ю. Полякова: материалы по теме 'Системы счисления'.
- Открытый банк заданий ЕГЭ (ФИПИ), раздел 'Кодирование чисел'.
- Российская электронная школа (РЭШ), урок по позиционным системам счисления.