Свойства позиционной записи и перевод чисел между системами счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться объяснять свойства позиционной записи, переводить целые числа из системы счисления с основанием $P$ в десятичную и выполнять обратный перевод методом последовательного деления с проверкой результата.
- Сформировать понимание того, что значение цифры определяется её разрядом, а количество цифр и признак делимости связаны с основанием системы счисления.
- Отработать перевод чисел из $P$-ичной системы в десятичную через разложение по степеням основания и перевод из десятичной системы в $P$-ичную через деление с остатком.
- Развивать умение выбирать алгоритм решения, фиксировать промежуточные результаты в таблице и находить ошибки в вычислениях.
- Воспитывать аккуратность записи, ответственность за проверку результата и интерес к применению систем счисления в информатике, цифровой технике и программировании.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую роль систем счисления при представлении данных в компьютере и цифровых устройствах.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания и доводить вычисление до проверенного результата.
- Понимают значение точности, последовательности и самоконтроля для решения алгоритмических задач.
- Связывают изучаемый материал с будущей учебной или профессиональной деятельностью в области ИТ.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при переводе числа и контролируют каждый промежуточный шаг.
- Извлекают правило из примеров, сравнивают алгоритмы и объясняют различия между ними.
- Работают с таблицами, цифровым тренажёром и формулируют выводы на основе полученных данных.
- Аргументированно обсуждают решение в паре, задают уточняющие вопросы и корректируют ошибочные рассуждения.
Предметные
- Знать смысл основания позиционной системы счисления и формулу разложения целого числа по степеням основания.
- Уметь определять количество цифр в записи целого числа и применять признак делимости на основание.
- Уметь переводить числа из системы с основанием $P$ в десятичную систему.
- Уметь переводить целые десятичные числа в систему с основанием $P$ методом последовательного деления.
- Уметь выполнять обратную проверку перевода и обнаруживать ошибки в записи цифр и остатков.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель на урок и соотносят её с будущим применением информатики.
- Осознают ценность точного алгоритмического мышления.
- Проявляют настойчивость при исправлении вычислительной ошибки.
- Оценивают собственную готовность решать задачи повышенной сложности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют перевод числа по выбранному алгоритму.
- Проверяют результат обратным переводом или вычислением по степеням основания.
- Сопоставляют результат с критериями и вносят коррекцию.
Познавательные УУД
- Выделяют основание, цифры и разряды в позиционной записи.
- Строят математическую модель числа $a_na_{n-1}...a_0$ в виде суммы степеней основания.
- Устанавливают связь между последним остатком и старшей цифрой результата.
- Анализируют неверный алгоритм и объясняют, на каком шаге возникла ошибка.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли при парной проверке: решающий и контролёр.
- Формулируют объяснение алгоритма понятными шагами.
- Задают вопросы о выборе основания и порядке записи остатков.
- Аргументированно принимают или отклоняют предложенный способ решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с примерами записей $1011_2$, $243_5$, $7A_{16}$ и схемами двух алгоритмов перевода.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить отдельные карточки с ошибочными решениями для взаимопроверки — по одной на пару.
- Вывести на доску памятку: $a_na_{n-1}...a_0=sum a_iP^i$ и порядок деления с остатком.
- Подготовить таблицу для работы: «делимое — частное — остаток» и таблицу разрядов «цифра — степень основания — вклад».
- Проверить работу интерактивного тренажёра или небольшой программы на Python для перевода чисел.
- Подготовить маркеры, стикеры трёх цветов и листы для рефлексии.
- Организовать доступ к компьютерам или планшетам: по одному устройству на пару; при отсутствии техники использовать распечатанный алгоритм.
- Разместить на доске проблемный вопрос: «Почему остатки при делении нужно читать снизу вверх?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследование и связать тему с представлением данных в компьютере.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Сегодня мы будем не просто переводить числа по готовому правилу, а восстановим, почему эти правила работают. Посмотрите на доску: рядом записаны $1011_2$, $243_5$ и $7A_{16}$. Все записи обозначают числа, но читаются по-разному. Где такие записи встречаются в информатике?" | Отвечают: "В памяти компьютера, программировании, адресах, цветах и кодах"; формулируют предположения о роли основания. |
2 мин | Учитель показывает на экране двоичное число и задаёт проблемный вопрос: "Как по записи понять, сколько в числе цифр, делится ли оно на основание и как получить привычное десятичное значение? Сегодня мы проверим гипотезы на примерах и выведем два рабочих алгоритма." | Записывают тему, называют личную цель: "Научиться переводить числа и проверять себя". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что запись числа зависит от основания и разрядов. Теперь проверим, какие свойства можно определить ещё до полного перевода числа."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия основания, цифры и разряда, зафиксировать ошибочные интуитивные представления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Самостоятельно определите основание систем $1101_2$, $304_5$, $98_{10}$. Затем сравните ответы с соседом. Объясните, почему цифра 8 допустима в десятичной, но недопустима в пятеричной системе." | Сначала записывают ответы индивидуально, затем обсуждают в парах и формулируют: "Основание показывает количество допустимых цифр: от 0 до $P-1$". |
2 мин | Учитель записывает $352_6$ и спрашивает: "Какой вклад в значение числа вносит каждая цифра? Не считайте всё число сразу — составьте выражение по разрядам." | Составляют: $3\cdot6^2+5\cdot6^1+2\cdot6^0$; называют разряды единиц, шестёрок и тридцати шестерок. |
2 мин | Учитель предлагает утверждение: "Если запись оканчивается на ноль, число всегда делится на основание. Верно ли это? Как доказать без полного перевода?" | Обсуждают и отвечают: "Да, потому что последний разряд имеет множитель $P^0$, а остальные разряды содержат множитель $P$; число равно $P$ умножить на целое число". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что разряды определяются степенями основания. Но пока не сформулировали общий способ перевода и не объяснили, почему при обратном переводе остатки читаются в обратном порядке. Это и станет нашей задачей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритмы исследования и критерии успешного решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает две записи: $132_4$ и $30_{10}$ и говорит: "Представьте, что вам нужно передать число программе, которая понимает только выбранное основание. Какие операции позволят перейти из одной системы в другую? Предложите гипотезы. Не бойтесь ошибиться: сегодня мы проверяем идеи." | Предлагают: "Разложить число по степеням основания"; "Делить на основание и записывать остатки"; фиксируют гипотезы на стикерах. |
2 мин | Учитель оформляет на доске план: "Сначала исследуем свойства записи, затем выведем перевод в десятичную систему, после этого — обратный перевод и проверку. К концу урока решение должно быть записано по шагам, а не только дан ответ." | Записывают план, формулируют критерии: допустимые цифры, правильный порядок разрядов, проверка результата. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: не запомнить два механических правила, а понять их основание и научиться контролировать результат. Переходим к открытию первого алгоритма."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (10 мин)
Цель этапа: вывести формулы и алгоритмы перевода через исследование примеров и связать их с математикой и архитектурой компьютера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель говорит: "Рассмотрим число $324_5$. Запишем его как сумму вкладов разрядов: цифра 4 умножается на $5^0$, цифра 2 — на $5^1$, цифра 3 — на $5^2$. Получаем $3\cdot5^2+2\cdot5+4$. Такой способ опирается на математическое представление числа и работает для любого основания." Учитель выводит формулу на доску: $a_na_{n-1}...a_0=\sum_{i=0}^{n}a_iP^i$. | Записывают формулу и вычисляют: $3\cdot25+2\cdot5+4=89$. Объясняют, что $324_5=89_{10}$. |
3 мин | Учитель демонстрирует обратный переход для $89_{10}$: "Делим число на 5, фиксируем остаток, затем делим частное. Остаток показывает младшую цифру, потому что число представляется как $5q+r$. Повторяем, пока частное не станет нулём." На доске заполняется таблица: $89:5=17$ остаток 4; $17:5=3$ остаток 2; $3:5=0$ остаток 3. | Заполняют таблицу, делают вывод: остатки получены справа налево, поэтому читаются снизу вверх: $324_5$. |
3 мин | Учитель связывает тему с ИКТ: "В компьютере двоичная запись удобна потому, что два устойчивых состояния элемента можно обозначить 0 и 1. Шестнадцатеричная система сокращает длинные двоичные записи: одна шестнадцатеричная цифра соответствует четырём двоичным разрядам. Сейчас в паре проверьте перевод $2F_{16}$ в десятичную систему." | В парах вычисляют $2\cdot16+15=47$, проговаривают: "Цифра F обозначает 15". Сравнивают ответ с результатом цифрового калькулятора или небольшой программы. |
Запись в тетрадях
Записывают: $a_na_{n-1}...a_0=\sum_{i=0}^{n}a_iP^i$; перевод из $P$-ичной системы выполняется разложением по степеням $P$; перевод из десятичной — последовательным делением на $P$ с записью остатков и чтением остатков снизу вверх. Если число оканчивается цифрой 0, оно делится на основание $P$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два взаимно обратных алгоритма и увидели их связь с математикой и цифровым представлением информации. Теперь проверим алгоритмы на коротких заданиях с обязательным проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить оба алгоритма и отработать взаимную проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня: "Первая задача — переведите $213_4$ в десятичную систему. Вторая — переведите $37_{10}$ в троичную. Один ученик решает, второй проверяет соответствие алгоритму, затем поменяйтесь ролями." | Решают: $2\cdot4^2+1\cdot4+3=39$; $37:3=12$ ост. 1, $12:3=4$ ост. 0, $4:3=1$ ост. 1, $1:3=0$ ост. 1, значит $1101_3$. Проверяют записи. |
2 мин | Учитель предлагает приём "Найди ошибку": показывает решение $25_{10}=121_2$ и спрашивает: "На каком шаге нарушен алгоритм? Исправьте запись и объясните причину." | Находят ошибку: $25:2$ даёт остаток 1, затем $12$ остаток 0, $6$ остаток 0, $3$ остаток 1, $1$ остаток 1; правильный ответ $11001_2$. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решение: "Говорите не только ответ, но и почему последняя цифра получается первой при делении." | Представляют решение; объясняют связь $N=Pq+r$ и положение остатка в младшем разряде. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает только при точной записи частных и остатков. Теперь каждый самостоятельно покажет, может ли выбрать подходящий способ без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и ИКТ (9 мин)
Цель этапа: индивидуально применить знания на заданиях трёх уровней и выполнить самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Базовый уровень обязателен для всех. Средний требует двух последовательных переводов и проверки. Продвинутый предлагает исследовать свойство записи. Выберите уровень осознанно и подпишите его на листе." | Выбирают карточку, записывают уровень и критерии проверки. |
4 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый: перевести $142_5$ в десятичную и $26_{10}$ в двоичную. Средний: перевести $3B_{16}$ в десятичную, затем результат в восьмеричную. Продвинутый: найти все двузначные числа в троичной системе, делящиеся на 3, и объяснить закономерность. | Индивидуально решают, оформляют таблицу деления или разложение по степеням. Продвинутые учащиеся получают числа $10_3$, $20_3$ и объясняют, что признак делимости на 3 определяется последней цифрой 0. |
3 мин | Учитель предлагает цифровую проверку: "Введите исходное число и основание в подготовленный тренажёр или выполните короткую программу. Если ответ не совпал, не исправляйте его сразу: найдите первый несовпадающий шаг в своей записи." | Сверяют результат с программой, отмечают зелёным верные шаги, жёлтым — место сомнения, исправляют ошибку и подписывают её причину. |
Эталон решения
Для $142_5$: $1\cdot5^2+4\cdot5+2=25+20+2=47$, поэтому $142_5=47_{10}$. Для $26_{10}$ в двоичную систему: $26:2=13$, остаток 0; $13:2=6$, остаток 1; $6:2=3$, остаток 0; $3:2=1$, остаток 1; $1:2=0$, остаток 1. Читаем остатки снизу вверх: $11010_2$. Проверка: $1\cdot16+1\cdot8+0\cdot4+1\cdot2=26$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритмы на разных уровнях и проверили вычисления цифровым инструментом. Важно, что программа не заменяет рассуждение: она помогает обнаружить, на каком шаге нужно искать ошибку. Завершим урок осмыслением результата."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели, выявить затруднения и определить дальнейшую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно выполнить оба перевода и проверить результат; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока путаете порядок действий. Одним предложением объясните выбор." | Поднимают карточки и формулируют: "Мне уверенно даётся перевод в десятичную, но нужно потренировать чтение остатков снизу вверх". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите перевод $1011_2$ в десятичную систему и ответьте: почему число, оканчивающееся нулём, делится на основание?" | Решают: $1\cdot8+0\cdot4+1\cdot2+1=11$; объясняют признак делимости через вынесение множителя $P$. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и говорит: "Выберите обязательный уровень, затем при желании добавьте повышающий или дополнительный. В каждом решении записывайте промежуточные шаги и одну проверку." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, отмечают выбранный уровень. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы вывели свойства позиционной записи, освоили два взаимно обратных алгоритма и научились проверять результат. Если вы умеете объяснить каждый шаг, а не только назвать ответ, цель урока достигнута."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — правильно выполнены все задания выбранного уровня, корректно записаны степени или таблица деления, выполнена проверка и объяснён признак делимости на основание.
- "4" — правильно решено большинство заданий, алгоритм выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при самопроверке.
- "3" — выполнено обязательное задание с существенными подсказками; есть понимание основания системы, но допущены ошибки в порядке остатков, разрядах или вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой алгоритм сегодня стал для вас понятнее: разложение по степеням или последовательное деление? | Определение субъективной уверенности в двух способах перевода. |
Почему остатки при переводе из десятичной системы читаются снизу вверх? | Проверка понимания разрядного смысла остатков, а не механического запоминания. |
На каком шаге решения вы обнаружили или могли бы обнаружить ошибку? | Выявление точек затруднения и сформированности самоконтроля. |
Где в информатике полезны двоичная и шестнадцатеричная системы? | Связь предметного знания с цифровыми технологиями и будущей профессиональной деятельностью. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что позиционная запись — это не набор условных символов, а точная система разрядов и степеней основания. Мы научились переводить числа в десятичную систему разложением и выполнять обратный перевод последовательным делением. Самая частая ошибка — записать остатки в том порядке, в котором они получены, поэтому всегда выполняйте обратную проверку. На следующем уроке мы применим эти идеи к операциям и сравнению чисел в разных системах счисления."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: перевести два целых числа из двоичной, троичной или пятеричной системы в десятичную и два десятичных числа в одну из этих систем методом последовательного деления. Для каждого задания записать промежуточные шаги. | Закрепляет оба алгоритма; при проверке смотреть на допустимость цифр, порядок разрядов и чтение остатков снизу вверх. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 составных задания: перевести число из шестнадцатеричной системы в десятичную, затем результат в двоичную; проверить один перевод обратным способом; объяснить признак делимости на основание для двух записей. | Развивает перенос алгоритма на новые основания и умение аргументировать проверку. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу, в которой требуется перевести число из десятичной системы в систему с основанием от 3 до 9, затем доказать правильность обратным переводом и кратко описать, как такую операцию можно реализовать в программе. | Формирует исследовательское и алгоритмическое мышление; при проверке смотреть на корректность постановки, кода или псевдокода и доказательство результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что показывает основание системы счисления? Как представить число $a_na_{n-1}...a_0$ через степени основания? Какой остаток появляется первым при делении? Почему запись, оканчивающаяся нулём, делится на основание?»
