ПЗ 5. Представление и арифметические действия с вещественными числами в разных системах счисления
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться переводить вещественные числа из десятичной системы счисления в систему с основанием 2, 8 или 16, выполнять сложение и проверять результат обратным переводом с точностью не менее чем в 3 из 4 практических заданий.
- Научиться представлять вещественное число в позиционной системе счисления с произвольным основанием и объяснять роль целой и дробной частей.
- Освоить алгоритм перевода целой части последовательным делением, а дробной части — последовательным умножением на основание системы счисления.
- Закрепить навыки выполнения арифметических действий в двоичной и шестнадцатеричной системах счисления на практических заданиях.
- Развивать самоконтроль, умение выбирать способ проверки результата и связывать информатику с математикой и компьютерными технологиями.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать связь темы с компьютерными технологиями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Проверьте, пожалуйста, тетрадь, ручку и готовность работать в паре. Сегодня мы не будем долго пересказывать правила: основную часть урока займут вычисления и проверка результатов. На экране вы видите запись 10,101₂. Как вы думаете, какое число она обозначает?" | Проверяют готовность, рассматривают запись и предполагают: "Это число с дробной частью в двоичной системе". |
2 мин | Учитель показывает на экране фрагмент двоичного представления данных и говорит: "Компьютер хранит информацию в двоичном виде, но программисту приходится переводить значения между системами. Сегодня наша задача — научиться переводить не только целые, но и вещественные числа, а затем выполнять действия с ними. Работать будем в парах: один вычисляет, второй контролирует каждый шаг." | Формулируют практическую значимость темы: "Это нужно для программирования, хранения данных и проверки вычислений"; объединяются в пары. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что запись числа зависит от основания системы. Теперь восстановим знания, без которых невозможно выполнить перевод вещественного числа."
Этап 2. Актуализация знаний и физкультминутка (5 мин)
Цель этапа: актуализировать правила позиционной записи и снять статическое напряжение перед практической работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран три коротких задания: определить допустимые цифры в системах с основаниями 2, 8 и 16; разложить число $1011_2$ по степеням основания; назвать значение символа $A$ в шестнадцатеричной системе. Учитель говорит: "Работаем в режиме быстрой проверки. Запишите ответы, затем сравните их с ответом партнёра и объясните расхождение, если оно появилось." | Индивидуально записывают: в двоичной системе допустимы 0 и 1, в восьмеричной — 0–7, в шестнадцатеричной — 0–9 и A–F; раскладывают $1011_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2+1$; отвечают: "$A_{16}=10_{10}$". |
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте. Если я называю целую часть, сделайте шаг вправо; если дробную — шаг влево. На слово «деление» поднимите руки вверх, на слово «умножение» опустите вниз. Выполним несколько команд и одновременно закрепим будущий алгоритм." | Выполняют движения по командам, проговаривают: "Целая часть — деление, дробная часть — умножение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разряды, основания и допустимые цифры. Но пока не ответили на главный вопрос: как перевести дробную часть, если после запятой нет целых десятичных цифр?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске задание: перевести $13,625_{10}$ в двоичную систему. Затем говорит: "Целую часть мы умеем переводить делением. Попробуйте в парах предложить способ перевода дробной части 0,625. Можно ли просто делить её на 2? Обоснуйте ответ." | Обсуждают в парах и приходят к выводу: "Для дробной части нужно получать целые цифры, поэтому удобнее последовательно умножать на основание". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы и спрашивает: "Какие шаги нам понадобятся сегодня? Как будем проверять, что не потеряли точность?" После ответов формулирует цель: "Перевести целую и дробную части, выполнить действие в новой системе и проверить результат обратным переводом или цифровым инструментом." | Формулируют план: перевести целую часть, перевести дробную часть, записать число, выполнить действие, проверить обратным переводом. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: целую часть и дробную часть переводят разными действиями. Сейчас вы проверите этот алгоритм на конкретном числе и сами объясните, почему цифры дробной части записываются именно в таком порядке."
Этап 4. Открытие нового знания через практику (9 мин)
Цель этапа: вывести и применить алгоритм перевода вещественного числа из десятичной системы в двоичную и шестнадцатеричную.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает пример и говорит: "Переведём $13,625_{10}$ в двоичную систему. Для целой части делим 13 на 2 и записываем остатки: $13:2=6$ остаток 1, $6:2=3$ остаток 0, $3:2=1$ остаток 1, $1:2=0$ остаток 1. Остатки читаем снизу вверх и получаем $1101_2$. Для дробной части умножаем 0,625 на 2: получаем 1,25, затем 0,25 умножаем на 2 и получаем 0,5, затем 1,0. Целые части читаем сверху вниз: 101. Почему порядок отличается?" | Записывают алгоритм и отвечают: "При делении первый остаток соответствует младшему разряду, поэтому читаем снизу вверх; при умножении первый полученный целый разряд является старшим после запятой, поэтому читаем сверху вниз". |
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре число $10,625_{10}$ и говорит: "Один участник выполняет перевод, второй вслух проверяет остатки и произведения. Через две минуты поменяйтесь ролями и сравните запись с эталоном на экране." | В парах переводят $10,625_{10}$: $10_{10}=1010_2$, $0,625_{10}=0,101_2$, получают $10,101_2$; взаимно проверяют порядок цифр. |
2 мин | Учитель показывает обобщение: "Для основания $p$ целую часть делим на $p$, дробную часть умножаем на $p$. Если дробь не заканчивается, заранее задаём точность, например три знака после запятой. В шестнадцатеричной системе после 9 используем A, B, C, D, E, F." | Записывают обобщённый алгоритм и в парах переводят $15,5_{10}$ в шестнадцатеричную систему: $F,8_{16}$. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Записать: «Для перевода целой части из 10 СС в систему с основанием $p$ последовательно делим число на $p$, остатки читаем снизу вверх. Для дробной части последовательно умножаем дробь на $p$, целые части произведений читаем сверху вниз. При бесконечной дроби фиксируем точность».
Эталон решения
$13,625_{10}=1101,101_2$. Проверка: $1\cdot2^3+1\cdot2^2+0\cdot2^1+1\cdot2^0+1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}=8+4+1+0,5+0,125=13,625$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили единый алгоритм для любого основания, но применяли его пока к отдельным переводам. Теперь проверим, умеем ли мы выполнять арифметическое действие непосредственно в другой системе счисления."
Этап 5. Первичное закрепление: арифметика в разных системах счисления (8 мин)
Цель этапа: закрепить сложение в двоичной системе и научиться контролировать переносы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: $1011,1_2+110,01_2$. Он говорит: "Выровняйте запятые, как в десятичной записи. Складываем справа налево. В двоичной системе $1+1=10_2$, поэтому единицу переносим в следующий разряд. Не переходите к десятичной системе сразу: сначала выполните действие в исходной системе." | В тетрадях выравнивают разряды и решают: $1011,10_2+0110,01_2=10001,11_2$; проговаривают перенос: "$1+1$ даёт $0$ и перенос $1$". |
3 мин | Учитель выдаёт каждому ученику индивидуальное число: $1101,1_2+101,01_2$ или $A,8_{16}+2,4_{16}$. Затем говорит: "Выполните сложение и обратную проверку результата. Контролёр не сообщает ответ, а задаёт вопрос: в каком разряде возник перенос?" | Индивидуально решают выданное задание: $1101,10_2+0101,01_2=10010,11_2$ или $A,8_{16}+2,4_{16}=D,2_{16}$; проверяют ответ переводом в десятичную систему и обсуждают шаги с партнёром. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решение и задаёт вопросы: "Почему запятая не перемещается? Что произойдёт, если в шестнадцатеричной системе сумма цифр превысит 15?" Корректирует типичную ошибку — отсутствие выравнивания разрядов. | Представляют решение у доски, отвечают: "Запятая задаёт границу разрядов и остаётся на месте"; "При превышении 15 выполняется перенос в следующий разряд". |
Эталон решения
Для $1101,1_2+101,01_2$ выравниваем дробные разряды: $1101,10_2+0101,01_2$. Справа налево: $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=10_2$ — пишем 0, переносим 1; далее $0+1+1=10_2$; в целой части выполняем переносы. Получаем $10010,11_2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы выполнили сложение в двоичной и шестнадцатеричной системах и увидели, что правило переноса сохраняется, меняется только основание. Теперь каждый индивидуально проверит, может ли он пройти весь алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с ИКТ-проверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение переводом и арифметикой, используя цифровой инструмент только для самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель выдает каждому по три своих числа, которые они должны перевести в другую систему | Индивидуально выполняют задания. Минимум: перевести $7,25_{10}$ в двоичную систему и $12,5_{10}$ в шестнадцатеричную. Базовый уровень: вычислить $101,1_2+11,01_2$ и проверить переводом. Повышенный уровень: перевести $23,375_{10}$ в двоичную систему и объяснить конечность дробной записи. |
2 мин | Учитель выводит эталоны: $7,25_{10}=111,01_2$; $12,5_{10}=C,8_{16}$; $101,1_2+11,01_2=1000,11_2$; $23,375_{10}=10111,011_2$. Говорит: "Сверьте не только ответ, но и каждый промежуточный шаг. Если ответ неверен, определите: ошибка в делении, умножении, порядке чтения или переносе." | Сверяют решения по шагам, отмечают зелёным верный алгоритм, жёлтым — вычислительную ошибку, красным — непонятый шаг; исправляют одну ошибку. |
2 мин | Учитель предлагает короткую взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями с партнёром. По листу критериев поставьте две отметки: «алгоритм соблюдён» и «результат проверен». Одно замечание сформулируйте доброжелательно и конкретно." | Проверяют работу партнёра, записывают: "Сильная сторона — ...; совет — ..."; возвращают тетрадь и задают уточняющий вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что общий алгоритм уже работает. Осталось связать его с математическим разложением и сформулировать, какие ошибки нужно предупреждать при следующих вычислениях."
Этап 7. Межпредметное включение и рефлексия (6 мин)
Цель этапа: связать алгоритмы информатики с математической моделью числа и осознать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на экране две записи: $10,101_2$ и $13,625_{10}$ и говорит: "Математически мы можем доказать равенство через разложение по степеням основания. Запишите выражение и объясните, почему дробная часть содержит степени $2^{-1}$, $2^{-2}$ и $2^{-3}$. Это связь информатики с математикой, а не дополнительная формальность." | Записывают: $10,101_2=1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^{-1}+0\cdot2^{-2}+1\cdot2^{-3}$; объясняют: "После запятой используются отрицательные степени основания". |
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор» и говорит: "Покажите индивидуальный номер: 3 — если можете самостоятельно перевести целую и дробную части; 2 — если нужен образец; 1 — если пока не понимаете один из шагов. На стикере допишите: «Сегодня я научился...» и «Мне нужно повторить...»." | Показывают выбранный индивидуальный номер, заполняют стикер: например, "Научился переводить дробную часть умножением"; "Нужно повторить перенос при сложении". Прикрепляют стикеры к доске в соответствующую зону. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто получили ответы, а построили и проверили общий алгоритм. Теперь зафиксируем критерии оценки и выберем домашнюю практику, которая поможет устранить именно ваше затруднение."
Этап 8. Подведение итогов и домашнее задание (0 мин)
Цель этапа: обозначить критерии результата и домашнюю траекторию; этап совмещён с рефлексивным завершением предыдущего этапа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
0 мин | Учитель говорит: "Запишите домашнее задание, выбрав уровень. Перед выходом ответьте себе на три контрольных вопроса: что делаем с целой частью, что делаем с дробной частью, как проверяем арифметический результат?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания и устно формулируют ответы: "Целую часть делим, дробную умножаем, результат проверяем обратным переводом". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания по выданным индивидуальным числам, правильно переведены целая и дробная части, переносы при сложении оформлены, выполнена обратная проверка и приведено объяснение алгоритма.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий; допущена одна вычислительная ошибка, но алгоритм перевода и запись разрядов соблюдены.
- «3» — верно выполнено не менее 50% обязательных заданий; алгоритм в целом узнаваем, но есть ошибки в порядке чтения остатков, округлении или переносе.
- Ниже уровня «3» — результат требует доработки: ученик вместе с учителем повторяет различие между делением целой части и умножением дробной части.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о переводе дробной части числа? | Выявление осознания различия между алгоритмами для целой и дробной частей. |
На каком шаге решения появилась наибольшая трудность? | Выявление точек затруднения: вычисление, порядок записи или перенос. |
Как вы проверяли свой результат и почему выбрали именно этот способ? | Оценка сформированности навыка самоконтроля и цифровой грамотности. |
Какое задание вы готовы решить самостоятельно на следующем уроке? | Субъективная оценка уровня освоения и планирование дальнейшей работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что вещественное число в любой позиционной системе складывается из целой и дробной частей, но переводятся они разными действиями. Особенно внимательно следите за порядком чтения остатков и цифр, полученных при умножении, — это самая частая причина ошибок. Вы также проверили, что арифметические правила сохраняются, меняется только основание системы. На следующем уроке мы продолжим работу с преобразованиями и рассмотрим более сложные вычислительные цепочки."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 перевода вещественных чисел, выданных индивидуально, из десятичной системы в двоичную и шестнадцатеричную: два числа с конечной двоичной дробью и два числа с точностью до трёх знаков после запятой. Для каждого записать промежуточные деления и умножения. | Закрепляет два алгоритма перевода; при проверке смотреть на порядок чтения остатков, цифр дробной части и указанную точность. |
Средний (повышающий) | Решить 3 примера на сложение вещественных чисел в двоичной системе, выданных индивидуально, и выполнить обратную проверку одного результата переводом в десятичную систему. | Закрепляет выравнивание разрядов и перенос; при проверке смотреть, совпадает ли положение запятой и подтверждён ли результат. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать перевод одного индивидуально выданного числа, например $5,3_{10}$, в двоичную систему до шести знаков после запятой; сравнить округлённую запись с исходным значением и оценить абсолютную погрешность. | Развивает исследовательское мышление и понимание бесконечной дроби; при проверке смотреть на корректность округления и объяснение погрешности. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как переводится целая часть числа в систему с основанием $p$? Как переводится дробная часть? В каком направлении читаются полученные цифры? Что необходимо сделать перед сложением двоичных дробей? Как проверить ответ без повторения всей работы?»
