Разложение квадратного трёхчлена на множители
Цели и задачи
- Цель: вывести формулу разложения квадратного трёхчлена на множители и научиться применять её для решения практических задач.
- Образовательная задача: сформировать навык нахождения корней квадратного трёхчлена и записи его в виде произведения линейных множителей.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать, сравнивать и классифицировать математические объекты, а также навыки самоконтроля.
- Воспитательная задача: способствовать формированию ответственного отношения к учению через осознание практической значимости темы для успешной сдачи ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие критического мышления при анализе правильности решения задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки, устанавливать причинно-следственные связи.
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
- Коммуникативные: умение работать в группе, аргументировать свою точку зрения.
Предметные
- Знать определение квадратного трёхчлена и его корней.
- Знать и уметь применять формулу $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
- Уметь сокращать дробно-рациональные выражения, используя разложение на множители.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование мотивации к изучению нового через решение проблемных ситуаций.
- Осознание ценности математических знаний как инструмента для решения жизненных задач.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное формулирование темы и целей урока.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Использование знаково-символических средств для решения задач.
- Поиск и выделение необходимой информации из учебника и ИКТ-ресурсов.
Коммуникативные УУД
- Учет разных мнений и стремление к координации различных позиций в сотрудничестве.
- Адекватное использование речевых средств для решения различных коммуникативных задач.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать психологический настрой на работу и вызвать интерес к теме через связь с будущими экзаменами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте! Рад вас видеть. Сегодня мы начинаем тему, которая является 'золотым ключиком' ко многим заданиям ОГЭ и ЕГЭ. Без неё невозможно быстро сокращать дроби или решать сложные неравенства. Как вы думаете, что общего у архитектора, программиста и инженера? Все они работают со сложными структурами, разбирая их на простые детали. Мы сегодня сделаем то же самое с квадратным трёхчленом." | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников, тетрадей и планшетов на столах. |
2 мин | "Посмотрите на слайд. Перед вами дробь $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}$. Кто может прямо сейчас сократить её в уме? (Пауза). Вижу затруднение. К концу урока вы будете делать это за 10 секунд. Готовы узнать секрет?" | Смотрят на экран, пытаются сообразить, признают, что пока не знают способа сокращения такой дроби. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы научиться сокращать такие дроби, нам нужно научиться раскладывать числитель на множители. Запишем тему урока: 'Разложение квадратного трёхчлена на множители'."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия (квадратное уравнение, корни, теорема Виета), необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним базу. На экране три выражения. Определите, какие из них являются квадратными трёхчленами, и назовите коэффициенты $a, b, c$. 1) $2x^2 - 3x + 1$; 2) $x^2 + 5x$; 3) $4x - 7$. Также вспомним: что мы называем корнем трёхчлена?" | Отвечают с места: "Первое и второе — квадратные трёхчлены. В первом $a=2, b=-3, c=1$. Корень — это значение переменной, при котором выражение равно нулю". |
2 мин | "Примените теорему Виета для уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. Чему равна сумма корней и их произведение? Назовите сами корни." | Устно вычисляют: "Сумма 5, произведение 6. Корни: 2 и 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, считать мы умеем. Эти корни — 2 и 3 — и есть те самые 'детали', на которые мы разложим наш трёхчлен."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести формулу разложения трёхчлена через метод группировки и обобщить результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Вернёмся к нашему примеру $x^2 - 5x + 6$. Мы нашли корни 2 и 3. Попробуем представить среднее слагаемое $-5x$ как $-2x - 3x$. Запишите в тетрадях: $x^2 - 2x - 3x + 6$. Теперь сгруппируйте попарно и вынесите общий множитель. Что получилось?" | Записывают: $x(x-2) - 3(x-2) = (x-2)(x-3)$. Диктуют результат учителю. |
4 мин | "Смотрите! Мы разложили сумму на произведение. А теперь посмотрите на корни: 2 и 3. Видите связь? Теперь попробуем для общего вида $ax^2 + bx + c$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни, то формула выглядит так: $a(x - x_1)(x - x_2)$. Запишите её в рамку. Важный вопрос: а если дискриминант равен нулю, как будет выглядеть формула?" | Записывают формулу. Предполагают: "Если корень один, то будет $(x-x_1)^2$". Учитель подтверждает: $a(x-x_1)^2$. |
2 мин | "А если дискриминант меньше нуля? Можно ли разложить на множители?" | Отвечают: "Нет, так как нет корней среди действительных чисел". |
Запись в тетрадях
Теорема: Если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$, то $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.
Алгоритм:
1. Найти корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Подставить корни и коэффициент $a$ в формулу.
3. Если нужно, внести коэффициент $a$ в одну из скобок.
Алгоритм:
1. Найти корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Подставить корни и коэффициент $a$ в формулу.
3. Если нужно, внести коэффициент $a$ в одну из скобок.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели инструмент. Теперь давайте проверим его в деле."
Этап 4. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять физическое напряжение и переключить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встаньте, пожалуйста. Игра 'Верно-неверно'. Если я называю верное утверждение — руки вверх и потянулись. Если ложное — приседаем. 1) У квадратного уравнения всегда два корня. (Ложь). 2) Дискриминант $x^2 - 4x + 4$ равен нулю. (Верно). 3) В формуле разложения буква 'а' перед скобками не важна. (Ложь). 4) Математика — царица наук. (Верно!)" | Выполняют упражнения: приседают на 1-й и 3-й фразы, тянутся вверх на 2-й и 4-й. |
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработать применение формулы на типовых примерах у доски и в тетрадях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Разложим на множители трёхчлен $2x^2 - 5x + 2$. Вызываю к доске (Имя). Остальные работают в тетрадях. Помните про коэффициент $a=2$!" | Ученик у доски: $D = 25 - 16 = 9$. $x_1 = 2, x_2 = 0,5$. Разложение: $2(x - 2)(x - 0,5)$. Учитель просит внести 2 во вторую скобку. Итог: $(x - 2)(2x - 1)$. |
4 мин | "А теперь та самая дробь из начала урока: $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3}$. Мы уже знаем, что числитель — это $(x-2)(x-3)$. Запишите сокращение." | Записывают: $\frac{(x-2)(x-3)}{x-3} = x - 2$. Радуются быстрому результату. |
Эталон решения
$3x^2 - 10x + 3 = 0$
$D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$x_1 = \frac{10+8}{6} = 3; x_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{1}{3}$
$3x^2 - 10x + 3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1)$
$D = 100 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$
$x_1 = \frac{10+8}{6} = 3; x_2 = \frac{10-8}{6} = \frac{1}{3}$
$3x^2 - 10x + 3 = 3(x - 3)(x - \frac{1}{3}) = (x - 3)(3x - 1)$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились. Теперь проверим, как вы работаете самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с ИКТ-поддержкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы с использованием интерактивного тренажера.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Возьмите планшеты или откройте ноутбуки. Перейдите по QR-коду на доске на сайт LearningApps. Вам нужно выполнить задание 'Собери пары: трёхчлен и его разложение'. У кого возникнут трудности — поднимайте руку, я подойду. Кто закончит быстрее — на столе лежат карточки 'Уровень С' (повышенный)." | Работают индивидуально в интерактивном приложении. Сопоставляют выражения. Те, кто закончил, переходят к решению усложненных задач на сокращение дробей в тетради. |
3 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — я вывел правильные ответы. Оцените себя: если всё верно — поставьте на полях '5', если одна ошибка — '4'." | Сверяют свои результаты с эталоном на экране, проводят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу много пятерок в классе, это радует! Значит, алгоритм усвоен."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, зафиксировать новые знания и наметить план на следующий урок.
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая формула была сегодня главной 'звездой' урока? | Проверка запоминания ключевой формулы. |
В каком шаге алгоритма чаще всего можно допустить ошибку? | Осознание слабых мест (забывают коэффициент 'а' или путают знаки в скобках). |
Где нам пригодится это умение, кроме сокращения дробей? | Развитие прогностического мышления (построение графиков, решение неравенств). |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания онлайн-тренажера и решена дополнительная задача на сокращение дроби.
- "4" — допущена 1 ошибка в вычислениях корней, но формула разложения применена верно.
- "3" — верно найдены корни трёхчлена, но допущены ошибки в записи формулы или знаках.
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы научились разбирать сложный квадратный трёхчлен на простые линейные множители. Это фундаментальный навык. Помните, что математика не терпит невнимательности к деталям — один забытый коэффициент 'а' может испортить всё решение. На следующем уроке мы будем использовать этот навык для решения задач повышенной сложности из второй части ОГЭ. Вы сегодня отлично поработали, спасибо за активность!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 76 (а, б, в), № 77 (а). | Отработка стандартного алгоритма разложения трёхчлена на множители. |
Средний (повышающий) | № 81, № 83. | Задания на сокращение дробей, где требуется предварительное разложение. |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка на платформе Учи.ру. | Интерактивные задачи на нахождение неизвестного коэффициента трёхчлена по его разложению. |
Контрольный вопрос: Чему равно разложение трёхчлена $x^2 + 2x + 1$? (Ожидаемый ответ: $(x+1)^2$).