Действительные числа: расширяем границы возможного
Цели и задачи
- Цель: сформировать понятие иррационального и действительного числа, научить классифицировать числа по принадлежности к числовым множествам (N, Z, Q, R).
- Образовательная задача: познакомить с представлением действительных чисел в виде бесконечных непериодических десятичных дробей.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление через выявление противоречий между известными знаниями о рациональных числах и новыми фактами.
- Воспитательная задача: способствовать формированию научной картины мира и пониманию преемственности математических открытий.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Формирование критичности мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Умение создавать и использовать знаково-символические средства (диаграммы Венна) для структурирования знаний.
- Навыки смыслового чтения при работе с текстом учебника о происхождении чисел.
Предметные
- Знать определение иррационального и действительного числа.
- Уметь представлять рациональное число в виде бесконечной периодической дроби.
- Уметь распознавать иррациональные числа среди предложенных выражений (корни, числа с особым законом построения).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (понимание значимости расширения числовых множеств для решения практических задач).
- Смыслообразование (связь математики с историей и геометрией).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Самоконтроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (классификация чисел).
- Выдвижение гипотез и их обоснование.
Коммуникативные УУД
- Умение работать в паре, аргументировать свою позицию.
- Участие в коллективном обсуждении проблемного вопроса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию со схемой числовых множеств (круги Эйлера-Венна).
- Распечатать карточки для работы в парах с набором чисел для классификации (15 шт).
- Подготовить модель квадрата со стороной 1 дм и линейку.
- Проверить работу калькуляторов на планшетах/смартфонах учеников для вычисления квадратных корней.
- Выписать на доске ключевые термины: 'рациональное число', 'иррациональное число', 'бесконечная непериодическая дробь'.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и заинтересовать учащихся парадоксом из истории математики.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: "Здравствуйте! Сегодня мы совершим путешествие, которое 2500 лет назад привело в ужас великого Пифагора и его учеников. Пифагорейцы верили, что 'числа правят миром', и под числами они понимали только целые и дроби. Но однажды они столкнулись с 'монстром', который не был ни тем, ни другим. Как вы думаете, может ли существовать число, которое нельзя записать в виде обычной дроби?" | Ученики слушают, вступают в диалог, высказывают предположения (многие могут сказать, что любое число можно записать дробью). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы выясним, что это за числа и почему без них современная математика просто невозможна."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить структуру множества рациональных чисел и способы их записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: "Давайте вспомним, какие числа мы называем рациональными. На доске записаны числа: 5; -3; 0,25; 1/3; -2(1/7). Представьте каждое из них в виде дроби m/n, где m — целое, n — натуральное. Как мы можем записать 1/3 в виде десятичной дроби? А 0,25?" | Ученики по цепочке выходят к доске или отвечают с места: 5 = 5/1, -3 = -3/1, 0,25 = 1/4. Для 1/3 записывают 0,333... или 0,(3). Делают вывод: любое рациональное число — это либо конечная, либо бесконечная периодическая дробь. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Q = {m/n | m ∈ Z, n ∈ N}. Рациональное число = бесконечная периодическая десятичная дробь.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы убедились, что все знакомые нам числа 'укладываются' в периодические дроби. Но всё ли так просто?"
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: через геометрическую задачу прийти к необходимости введения новых чисел (межпредметная связь с геометрией).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель: "Перед вами квадрат со стороной 1 см. Чему равна его диагональ? По теореме Пифагора d² = 1² + 1², значит d² = 2. Чему равно d? Это √2. Попробуйте на калькуляторах найти значение √2. Есть ли у этой дроби период? Можно ли её представить в виде m/n?" | Ученики вычисляют: 1,41421356... Замечают, что цифры не повторяются циклом. Пытаются найти период, но терпят неудачу. Сталкиваются с затруднением: число существует (длина отрезка), но оно не рациональное. |
Эталон решения
d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1,41421356237... (бесконечная непериодическая дробь).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы нашли число, которое нельзя записать как периодическую дробь. Такие числа называют иррациональными (от лат. 'irratio' — неразумный)."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определения, классифицировать числа и построить схему множеств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель вводит понятие иррациональных чисел (I) как бесконечных непериодических дробей. Приводит примеры: √3, √5, число π. Демонстрирует на слайде круги Эйлера: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Объясняет, что Q и I вместе образуют множество действительных чисел R. Использует приём 'Диаграмма Венна'. | Ученики рисуют в тетрадях схему вложенности множеств. Обсуждают вопрос: 'Является ли число 0,1010010001... (где количество нулей растет) иррациональным?' Приходят к выводу, что да, так как периода нет. |
5 мин | Учитель предлагает поработать с учебником (смысловое чтение): "Найдите в параграфе, как связаны действительные числа и точки на координатной прямой. Каждому ли числу соответствует точка?" | Ученики читают текст, формулируют вывод: каждой точке на прямой соответствует действительное число, и наоборот. Заполняют пропуски в утверждении на карточке. |
Запись в тетрадях
- Иррациональные числа — бесконечные непериодические десятичные дроби.
- R = Q ∪ I (Множество действительных чисел).
- Примеры I: √2, -√7, π, 0,121221222...
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь наша числовая вселенная стала полной. В ней нет пустых мест на прямой."
Этап 5. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и переключить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель: "Встаньте, пожалуйста. Я буду называть числа. Если число натуральное — хлопок над головой, если целое отрицательное — приседание, если иррациональное — наклон вперед. Числа: 10; -5; √2; 100; -1; π; √9 (ловушка!)." | Ученики выполняют упражнения. На √9 должны хлопнуть (так как это 3), обсуждают ошибку, если кто-то наклонился. |
Этап 6. Первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: отработать навык классификации чисел в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель организует приём 'Think-Pair-Share'. Раздает карточки с набором: -15; 0; √11; 4,(5); √16; -√3; 2/7. Задание: распределить числа по четырем 'домикам' (N, Z, Q, R). Учитель проходит по рядам, консультирует. | Ученики работают в парах: сначала думают сами, потом обсуждают с соседом, затем одна пара представляет результат классу. Аргументируют: '√16 — это 4, значит оно натуральное, целое, рациональное и действительное'. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Важно помнить, что каждое натуральное число также является и действительным. Это как матрешка."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает мини-тест на 5 вопросов (верно/неверно). 1. Любое целое число является рациональным. 2. Число π — рациональное. 3. √5 — иррациональное. 4. 0 — действительное число. 5. Сумма двух рациональных чисел всегда рациональна. | Ученики самостоятельно записывают ответы (+ или -). |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран: 1+, 2-, 3+, 4+, 5+. | Ученики проверяют свои работы, ставят себе оценку по критериям. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — 5 верных ответов в тесте, правильно заполненная схема множеств в тетради.
- "4" — 4 верных ответа, допущены незначительные ошибки в классификации корней.
- "3" — 3 верных ответа, есть путаница между понятиями 'рациональное' и 'иррациональное'.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое открытие пифагорейцев мы сегодня повторили? | Осознание исторического контекста и значимости темы. |
В чем главное отличие рационального числа от иррационального при записи дробью? | Проверка усвоения ключевого признака (периодичность). |
Какое задание вызвало 'скрип мозгов'? | Выявление субъективных трудностей для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы раздвинули границы нашего числового мира. Теперь вы знаете, что между 1 и 2 прячется бесконечное множество иррациональных чисел, таких как √2 или √3. На следующем уроке мы научимся сравнивать эти числа и выполнять с ними действия. Помните: математика не терпит пустоты, и сегодня мы заполнили одну из самых важных лакун в ваших знаниях. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 278, 280 (учебник Макарычева) | Классификация чисел по множествам, запись в виде десятичной дроби. |
Средний (повышающий) | № 285, 287 | Сравнение действительных чисел, нахождение приближенных значений. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование | Найти информацию о 'золотом сечении' и доказать, что это число иррационально. |
Контрольный вопрос: 'Может ли иррациональное число быть отрицательным? Приведите пример'.