Квадратный корень из числа. Понятие об иррациональном числе
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие арифметического квадратного корня и иррационального числа, научить находить значения корней из точных квадратов и классифицировать числа.
- Образовательная задача: Познакомить с определением арифметического квадратного корня, обозначением и условием его существования.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления через сопоставление рациональных и иррациональных чисел, используя диаграмму Венна.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и критического отношения к результатам вычислений.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению алгебре.
- Умение ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение арифметического квадратного корня и понимать смысл знака радикала.
- Уметь вычислять значения квадратных корней из чисел, являющихся точными квадратами.
- Владеть понятием иррационального числа как бесконечной непериодической десятичной дроби.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков анализа собственных достижений в изучении новой темы.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте учебника.
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (таблица квадратов от 1 до 20 с пропусками) — 15 шт.
- Подготовить слайд-презентацию с изображением квадрата площадью 2 кв. ед. на координатной сетке.
- Распечатать «Диаграмму Венна: Числовые множества» для заполнения в парах — 15 шт.
- Проверить наличие калькуляторов у учеников (или подготовить 5-6 запасных для групп).
- Подготовить на доске место для записи ключевых терминов: Радикал, Подкоренное выражение, Иррациональное число.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и вызвать интерес к новой математической проблеме через геометрическую задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте! Сегодня мы начинаем путешествие в мир чисел, которые долгое время пугали математиков своей бесконечностью. Но сначала — простая задача. Представьте, что вам нужно сделать квадратную клумбу площадью 25 квадратных метров. Какова будет длина её стороны? А если площадь 49? А теперь представьте, что дизайнер заказал клумбу площадью ровно 2 квадратных метра. Какой длины доски вам нужно купить для ограждения?» Учитель рисует квадрат на доске и пишет внутри S = 2. | Ученики быстро отвечают: «5 метров», «7 метров». На вопросе про площадь 2 метра наступает пауза. Ученики начинают подбирать числа: «Чуть больше одного», «1,5 — это много, будет 2,25», «1,4 — это 1,96». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы видим, что привычных нам целых чисел и даже простых десятичных дробей не хватает, чтобы точно назвать сторону такого квадрата. Сегодня мы узнаем, как называются такие числа и какой символ для них придумали».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить операцию возведения в квадрат и подготовить базу для введения обратной операции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Перед вами на столах карточки с пропущенными значениями квадратов. У вас есть ровно 2 минуты, чтобы заполнить их. Вспомните квадраты чисел от 11 до 20. Это наш фундамент на сегодня». Учитель проходит по рядам, контролируя процесс. «Теперь давайте проверим по цепочке. Я называю число, вы — его квадрат. 13? 16? 19? А теперь наоборот: какое число в квадрате дает 121? 225?» | Ученики заполняют карточки. Затем по цепочке отвечают: «169», «256», «361». На обратные вопросы отвечают: «11», «15». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают заголовок темы и краткую таблицу: 11²=121, 12²=144, 13²=169, 14²=196, 15²=225.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, операцию возведения в квадрат мы помним. Математика любит симметрию: если есть действие, должно быть и обратное ему. Как мы назовем действие поиска основания по известному квадрату?»
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: продемонстрировать невозможность точного представления корня из 2 в виде рационального числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Вернемся к нашему квадрату с площадью 2. Возьмите калькуляторы и попробуйте найти число, которое при умножении само на себя даст ровно 2. Пробуйте: 1,4... 1,41... 1,414... Что вы замечаете на экране?» Учитель записывает на доске последовательность приближений, которую диктуют дети. | Ученики вводят числа, возводят в квадрат. «Получается 1,96», «1,9881», «1,999396». Один из учеников восклицает: «Оно никогда не кончается! Калькулятор просто обрывает цифры!» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Это число — настоящий бунтарь. Его нельзя записать ни целым числом, ни обычной дробью. В Древней Греции открытие таких чисел считалось опасной тайной. Сегодня мы снимем с него гриф секретности».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение арифметического квадратного корня и понятие иррационального числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Запишем определение: Арифметическим квадратным корнем из числа 'a' называется неотрицательное число, квадрат которого равен 'a'. Обозначается знаком √. Этот знак называется радикал. Давайте разберем по косточкам: √a = b означает, что b ≥ 0 и b² = a. Почему под корнем не может стоять отрицательное число? Подумайте 30 секунд в парах». | Ученики записывают определение. Обсуждают в парах. Отвечают: «Потому что любое число в квадрате дает либо плюс, либо ноль. Мы не можем получить минус, умножая число само на себя». |
6 мин | «Теперь о нашем странном числе √2. Числа, которые можно представить в виде дроби m/n, мы называем рациональными. Но √2 нельзя! Такие числа называют ИРРАЦИОНАЛЬНЫМИ. В виде десятичной дроби они выглядят как бесконечные непериодические дроби. Представьте себе хвост кометы, который никогда не повторяется и не заканчивается. К таким числам относится и знаменитое число Пи». Учитель рисует на доске схему числовых множеств (N -> Z -> Q -> R). | Ученики зарисовывают схему множеств в тетрадь. Записывают примеры: Рациональные (5; -2; 0,5; 1/3) и Иррациональные (√2; √3; π). |
Эталон решения
\sqrt{0,49} = 0,7, так как 0,7 \ge 0 и 0,7^2 = 0,49.
\sqrt{121} = 11, так как 11 \ge 0 и 11^2 = 121.
\sqrt{-9} - не существует в действительных числах.
\sqrt{121} = 11, так как 11 \ge 0 и 11^2 = 121.
\sqrt{-9} - не существует в действительных числах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы ввели новый символ и новое семейство чисел. Теперь проверим, как этот символ работает на практике».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык извлечения корня и применения определения через фронтальный опрос и работу у доски.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Откройте учебник на странице 78, номер 315. Давайте решим примеры а, в, д, ж. Кто хочет пойти к доске и прокомментировать решение, используя наше новое определение? Помните про магическую фразу: 'Корень из... равен..., потому что...'». Учитель вызывает по одному ученику на каждый пример. | Ученики выходят к доске. Комментируют: «Корень из 81 равен 9, потому что 9 больше нуля и 9 в квадрате равно 81». Остальные записывают в тетрадях, проверяя правильность оформления. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отлично справляетесь с точными квадратами. А теперь попробуйте сделать это самостоятельно, без моей подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала и умения классифицировать числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На экране три задания. 1) Вычислите корень из 400, 0,04 и 16/25. 2) Найдите значение выражения 2√9 + 3. 3) Выпишите иррациональные числа из списка: 0,7; √5; -4; √16; π; 1/9. Работаем индивидуально». Учитель выводит ответы на экран через 5 минут. | Ученики решают задачи в тетрадях. Затем меняются тетрадями с соседом для взаимопроверки по эталону на экране. |
2 мин | «Поднимите руки те, кто не допустил ни одной ошибки. У кого возникли сложности с третьим заданием? Помните, что √16 — это не иррациональное число, так как оно равно 4!» | Ученики проводят самоанализ, задают уточняющие вопросы по классификации чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что большинство разобралось. Главная ловушка — корень, который можно вычислить. Не попадайтесь в неё!»
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень понимания и дать дифференцированное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Мы сегодня приручили радикалы. Давайте используем приём 'Билет на выход'. Напишите на маленьком листке одно утверждение: 'Сегодня я понял, что...' и один вопрос, который у вас остался. Сдайте их мне на выходе. Домашнее задание записано на доске». | Ученики пишут рефлексивные фразы («Понял, что иррациональные числа бесконечны», «Как извлечь корень из очень большого числа без калькулятора?»), записывают ДЗ в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания самостоятельной работы, при вычислении корней соблюдена логика определения (b ≥ 0, b² = a), правильно классифицированы все числа.
- «4» — Допущена 1 ошибка в вычислениях или 1 ошибка в классификации иррациональных чисел при верном понимании сути квадратного корня.
- «3» — Верно выполнены задания на извлечение корней из целых чисел, но допущены ошибки в дробях и классификации множеств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие в определении корня кажется вам самым важным? | Проверка усвоения ограничения на неотрицательность результата. |
Сможете ли вы объяснить младшему брату, чем √2 отличается от 1,41? | Осознание бесконечности и непериодичности иррационального числа. |
В какой момент урока вы почувствовали себя 'первооткрывателем'? | Выявление эмоционально значимых этапов урока для коррекции мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сделали важный шаг — вышли за пределы привычного мира рациональных чисел. Иррациональность — это не хаос, это новая глубина математики. На следующем уроке мы научимся не просто находить эти корни, но и выполнять с ними действия, превращая их в послушные инструменты для решения сложных задач. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 316, 318 (а-г) | Отработка навыка извлечения корня из целых чисел и простых десятичных дробей. |
Средний (повышающий) | Учебник: № 322, 325 | Решение уравнений вида x² = a и нахождение значений выражений с корнями. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование | Найти и записать в тетрадь 5 интересных фактов об истории открытия иррациональных чисел школой Пифагора. |
Контрольный вопрос: «Существует ли число, квадрат которого равен -16? Обоснуйте свой ответ, опираясь на определение, изученное сегодня».