Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни
Цели и задачи
- Цель: сформировать навык преобразования выражений с квадратными корнями через вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня и приведение подобных слагаемых.
- Образовательная задача: научить распознавать в числовых выражениях возможности для упрощения, применяя свойства арифметического квадратного корня.
- Развивающая задача: развивать логическое мышление и умение анализировать структуру математического выражения для выбора оптимального пути решения.
- Воспитательная задача: способствовать формированию навыков самоконтроля и ответственного отношения к выбору уровня сложности задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору траектории обучения при выполнении дифференцированных заданий.
- Критичность мышления, умение отличать обоснованное решение от интуитивного догадывания.
- Развитие настойчивости в достижении цели при решении проблемных задач.
Метапредметные
- Умение определять понятия, создавать обобщения и устанавливать аналогии между действиями с корнями и действиями с многочленами.
- Способность выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Навык смыслового чтения при работе с текстом учебника и инструкциями к заданиям.
Предметные
- Знать и применять алгоритм вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня.
- Уметь выполнять сложение и вычитание выражений, содержащих радикалы, путём приведения подобных слагаемых.
- Владеть навыками упрощения сложных числовых выражений, содержащих квадратные корни.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование учебной мотивации через создание ситуации успеха при решении проблемного вопроса.
- Осознание ценности математических знаний как инструмента для решения практических задач.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно формулировать цели урока после обнаружения затруднения.
- Навык самоконтроля по эталону и коррекция своих действий в процессе выполнения самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (подобных радикалов).
- Синтез — составление целого алгоритма из отдельных шагов преобразования.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою позицию при обсуждении способов упрощения выражений в парах.
- Использование адекватных языковых средств для выражения своих мыслей в ходе фронтального опроса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с заданиями для актуализации знаний и эталонами для самопроверки.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы в трёх вариантах (уровни А, В, С) по количеству учеников в классе.
- Подготовить демонстрационные плакаты со свойствами корней: $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
- Проверить работоспособность проектора и интерактивной доски.
- Разместить на доске магнитные карточки с числами-квадратами (4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100) для визуальной опоры.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, создать эмоциональный контакт и заинтриговать темой через практический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, восьмиклассники! Рад вас видеть. Сегодня мы продолжаем погружение в мир иррациональных чисел. Математика — это не только строгие правила, но и искусство упрощения. Как сказал один известный ученый, задача математики — находить порядок в хаосе. Сегодня мы будем наводить порядок в числовых выражениях. Проверьте, чтобы у вас на столах были учебники, тетради и ваши главные инструменты — логика и внимание." | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебных принадлежностей, настраиваются на урок. |
2 мин | "Посмотрите на слайд. Перед вами план земельного участка, состоящий из двух квадратов. Площадь одного $18$ кв. метров, другого — $50$ кв. метров. Нам нужно купить забор, чтобы огородить их общую сторону и внешние границы. Как записать длину такого забора в виде одного числа? Оставим этот вопрос открытым на несколько минут." | Рассматривают слайд, пытаются составить выражение для периметра, сталкиваются с записью вида $\sqrt{18} + \sqrt{50}$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Интересная задача, правда? Но чтобы её решить красиво, нам нужно научиться 'приручать' такие выражения. Давайте вспомним, что мы уже умеем делать с корнями."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить свойства корней и навыки вынесения множителя, необходимые для изучения новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Проведем блиц-опрос. Я называю корень, а вы — его значение. $\sqrt{81}$? $\sqrt{1.44}$? $\sqrt{\frac{4}{25}}$? Отлично. Теперь вспомним свойства. Чему равно произведение $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$? А частное? Посмотрите на доску, там записано выражение: $\sqrt{72}$. Как можно представить его в виде произведения корней так, чтобы один из них извлекался нацело?" | Отвечают с места: "9", "1.2", "2/5". Формулируют свойства произведения и частного корней. Предлагают варианты для $\sqrt{72}$: "Это $\sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$". |
3 мин | "Применим прием 'Толстые и тонкие вопросы'. Тонкий вопрос: можно ли извлечь корень из отрицательного числа? Толстый вопрос: почему при вынесении множителя из-под корня мы ищем именно множитель-квадрат? Обсудите в парах 30 секунд." | Обсуждают в парах. Отвечают: "Нельзя в рамках действительных чисел". По толстому вопросу: "Потому что только из квадрата корень извлекается нацело, что позволяет упростить подкоренное выражение". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили базу. Теперь вернемся к нашему забору и выражению $\sqrt{18} + \sqrt{50}$."
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать невозможность прямого сложения корней с разными подкоренными выражениями.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Запишите в тетрадях: $\sqrt{18} + \sqrt{50}$. Кто-то хочет сказать, что это $\sqrt{68}$? Поднимите руки. А теперь проверьте на калькуляторе или прикиньте: $\sqrt{18}$ — это чуть больше $4$, $\sqrt{50}$ — чуть больше $7$. Сумма больше $11$. А $\sqrt{68}$ — это меньше $9$. Значит, правило $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}$ не работает! В чем же проблема?" | Записывают выражение. Убеждаются в ошибке прямого сложения. Формулируют проблему: "Мы не можем складывать корни с разными числами под знаком корня так же просто, как умножать их". |
2 мин | "Как вы думаете, какая сегодня цель нашего урока? Чему мы должны научиться, чтобы все-таки упростить это выражение? Сформулируйте тему урока." | Формулируют цель: "Научиться преобразовывать и складывать выражения с корнями". Записывают тему урока: "Преобразование числовых выражений, содержащих квадратные корни". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно. Нам нужен способ сделать подкоренные выражения одинаковыми. Давайте его найдем."
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения и реализация (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм приведения подобных слагаемых в иррациональных выражениях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Используем 'Сократовский диалог'. Ребята, посмотрите на $\sqrt{18}$. На какие множители разложим $18$, чтобы один был квадратом? Правильно, $9 \cdot 2$. Что получится после вынесения? Теперь проделайте то же самое с $\sqrt{50}$. Что общего появилось у этих выражений?" | Отвечают: "$18 = 9 \cdot 2$, значит $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$". Для второго: "$50 = 25 \cdot 2$, значит $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$". Замечают: "У обоих выражений теперь есть общий множитель $\sqrt{2}$". |
3 мин | "Вспомните 7 класс. Как мы упрощали $3x + 5x$? Мы складывали коэффициенты. Можем ли мы считать $\sqrt{2}$ таким же 'объектом', как переменная $x$? Попробуйте записать итоговую сумму нашего выражения." | Проводят аналогию: $3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = (3+5)\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Записывают решение в тетрадь. |
3 мин | "Давайте составим алгоритм. Что мы сделали первым шагом? Что вторым? Что третьим? Я запишу ваши идеи на доске." | Диктуют шаги: "1. Разложить подкоренные числа на множители. 2. Вынести множители из-под знака корня. 3. Найти подобные слагаемые (с одинаковыми корнями). 4. Сложить коэффициенты". |
Запись в тетрадях
Пример преобразования:
$\sqrt{18} + \sqrt{50} = \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
Определение: слагаемые вида $a\sqrt{c}$ и $b\sqrt{c}$ называются подобными.
$\sqrt{18} + \sqrt{50} = \sqrt{9 \cdot 2} + \sqrt{25 \cdot 2} = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$
Определение: слагаемые вида $a\sqrt{c}$ и $b\sqrt{c}$ называются подобными.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично! Мы открыли способ сложения корней. Но преобразования — это не только сложение. Посмотрим, что еще можно делать."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм на типовых примерах с проговариванием вслух.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем с учебником. Номер 412 (а, б). Один человек у доски, остальные в тетрадях. Условие: $7\sqrt{2} - \sqrt{50} + \sqrt{98}$. Комментируй каждый шаг, используя наш алгоритм." | Ученик у доски: "Оставляю $7\sqrt{2}$. Раскладываю $50$ как $25 \cdot 2$, выношу $5$. Раскладываю $98$ как $49 \cdot 2$, выношу $7$. Получаю: $7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$". |
3 мин | "Применим прием 'Подумай — обсуди в паре'. Посмотрите на выражение $(\sqrt{3} + 2)^2$. Можно ли здесь применить формулы сокращенного умножения? Обсудите с соседом, как бы вы это решали." | Обсуждают. Вспоминают формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Пробуют применить: $(\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}$. |
Эталон решения
$7\sqrt{2} - \sqrt{50} + \sqrt{98} = 7\sqrt{2} - \sqrt{25 \cdot 2} + \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = (7-5+7)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, вы уловили суть. Теперь проверим, как вы справитесь самостоятельно."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы, дифференциация по уровню сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Ребята, на столах лежат карточки трех цветов. Зеленая (Уровень А) — базовые задания на вынесение и сложение. Желтая (Уровень В) — задания с использованием формул сокращенного умножения. Красная (Уровень С) — сложные выражения, где нужно внести множитель и сравнить числа. Выберите тот уровень, в котором вы чувствуете себя уверенно. У вас 5 минут." | Выбирают карточку подходящего уровня сложности и приступают к решению. |
5 мин | Учитель проходит по классу, оказывает индивидуальную помощь тем, кто выбрал уровень А, следит за ходом решения. По истечении времени выводит эталоны ответов на экран. | Выполняют задания. По завершении сверяют свои решения с эталоном на экране, отмечают ошибки, ставят себе предварительный балл. |
2 мин | "Поднимите руки те, кто выполнил всё без ошибок. У кого одна ошибка? Посмотрите на эталон, где именно вы ошиблись: в арифметике или в алгоритме?" | Анализируют свои ошибки, задают вопросы учителю по сложным моментам. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ошибки — это наши точки роста. Главное, что вы их увидели."
Этап 7. Включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: показать применение темы в геометрии и функциональной грамотности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте решим задачу из ОГЭ. Найти площадь прямоугольника, стороны которого равны $3\sqrt{2} + 1$ и $3\sqrt{2} - 1$. Как вы думаете, какой прием здесь сработает быстрее всего? Подсказка: посмотрите на структуру выражения." | Ученики замечают формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Решают: $(3\sqrt{2})^2 - 1^2 = 9 \cdot 2 - 1 = 17$. Удивляются, что иррациональное выражение в итоге дало целое число. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Как видите, корни 'прячутся' даже в задачах на площадь. Умение их преобразовывать экономит массу времени."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Заполните, пожалуйста, 'Билет на выход': на маленьком листочке напишите одну вещь, которую вы сегодня поняли лучше всего, и один вопрос, который у вас остался. Передайте их мне. Запишите домашнее задание." | Заполняют короткие рефлексивные анкеты, сдают их учителю, записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, В или С), продемонстрировано полное владение алгоритмом преобразования, работа оформлена аккуратно.
- "4" — верно выполнено более 75% заданий, допущены 1-2 негрубые ошибки в вычислениях при верном алгоритме действий.
- "3" — верно выполнено не менее 50% заданий базового уровня (А), допущены ошибки в применении свойств корней или приведении подобных.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой этап преобразования корней показался самым 'скользким'? | Выявление трудностей в алгоритме (например, разложение на множители). |
Где в реальной жизни нам могут встретиться такие вычисления? | Оценка осознания межпредметных связей и функциональной грамотности. |
Если бы ты объяснял эту тему другу, на что бы ты посоветовал обратить внимание? | Проверка глубины понимания и выделение ключевых опорных точек. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отлично поработали и доказали, что квадратные корни — это не препятствие, а просто еще один инструмент в вашем математическом арсенале. Мы научились видеть общее там, где на первый взгляд его нет. Помните, что в алгебре, как и в жизни, умение упрощать сложное — это признак мастерства. На следующем уроке мы научимся избавляться от иррациональности в знаменателе дроби. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 411, № 413 (а, в) | Отработка навыка вынесения множителя и сложения подобных радикалов. |
Средний (повышающий) | № 418, № 421 | Применение формул сокращенного умножения к выражениям с корнями. |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка с задачей 'Золотое сечение' | Доказать, что число $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ обладает уникальными свойствами при возведении в квадрат. |
Контрольный вопрос для самопроверки: 'Можно ли упростить выражение $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ и какой общий корень у них получится?'