Понятие об иррациональном числе: расширение числовых горизонтов
Цели и задачи
- Цель: Сформировать представление об иррациональном числе как о бесконечной непериодической десятичной дроби и научить отличать их от рациональных чисел.
- Образовательная задача: Познакомить с историей возникновения иррациональных чисел и понятием множества иррациональных чисел (I).
- Развивающая задача: Развивать навыки классификации объектов, логическое мышление и умение работать с ИКТ-инструментами для проверки гипотез.
- Воспитательная задача: Формировать культуру интеллектуального труда через работу в парах и уважение к истории науки.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Осознание ценности математического знания как фундамента для научного понимания мира.
- Умение вести конструктивный диалог в паре, признавая право другого на иное мнение.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки иррациональных чисел, сравнивать их с рациональными, использовать ИКТ для поиска информации.
- Регулятивные: способность ставить учебные цели, планировать пути их достижения и проводить самооценку результатов.
- Коммуникативные: владение устной речью для аргументации своей позиции при решении проблемных задач.
Предметные
- Знать определение иррационального числа.
- Уметь приводить примеры иррациональных чисел (корень из 2, число Пи).
- Владеть навыком распознавания вида десятичной дроби (конечная, бесконечная периодическая, бесконечная непериодическая).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между геометрической задачей (диагональ квадрата) и появлением новых чисел.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
Познавательные УУД
- Логические: построение логической цепи рассуждений при попытке представить корень из 2 в виде обыкновенной дроби.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера: контроль, коррекция и оценка действий партнера при классификации чисел.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать комплект карточек для игры «Числовое лото» (15 наборов — по одному на парту).
- Подготовить презентацию с исторической справкой о Пифагоре и Гиппасе из Метапонта.
- Проверить работу онлайн-сервиса (или калькулятора), отображающего до 50 знаков числа Пи и корня из 2.
- Подготовить чертежные инструменты (линейка, угольник) для построения квадрата на доске.
- Распечатать листы самооценки для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и заинтриговать учеников историческим парадоксом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы отправимся в Древнюю Грецию, в школу Пифагора. Знаете ли вы, что за открытие одного числа человека, по легенде, выбросили в море? Сегодня мы узнаем, что это за 'опасное' число и почему оно перевернуло мир математики." | Слушают учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие учебников и тетрадей. |
2 мин | Учитель рисует на доске квадрат со стороной 1 единица. "Ребята, представьте, что это плитка пола. Чему равна её площадь? А чему равна длина её диагонали по теореме Пифагора? Попробуйте вычислить." | Отвечают: "Площадь равна 1". Считают в тетрадях: "Диагональ в квадрате равна 1^2 + 1^2 = 2. Значит, диагональ равна корню из 2". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы получили число корень из 2. Пифагорейцы верили, что любое число можно представить в виде красивой дроби m/n. Давайте проверим, получится ли это у нас."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятие рационального числа и его представление в виде десятичной дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Вспомним, какие числа мы называем рациональными. На доске записаны числа: 5; -2; 0,25; 1/3. Представьте каждое из них в виде бесконечной десятичной дроби. Что вы заметили?" | Записывают: 5 = 5,00...; -2 = -2,00...; 0,25 = 0,2500...; 1/3 = 0,333... Отвечают: "Все они либо конечные, либо бесконечные периодические". |
2 мин | "Верно! Любое рациональное число — это либо целое число, либо дробь, которую можно превратить в периодическую десятичную дробь. Это наш 'старый багаж'. Но подходит ли корень из 2 под это правило?" | Формулируют вывод: "Рациональные числа — это дроби m/n, где m — целое, n — натуральное". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что рациональные числа всегда предсказуемы — у них есть период. Теперь посмотрим на нашего 'бунтаря'."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: продемонстрировать невозможность представления корня из 2 в виде периодической дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран онлайн-калькулятор с высокой точностью. "Давайте вычислим корень из 2. Посмотрите на экран: 1,41421356237... Попробуйте найти здесь период. Обсудите в парах 1 минуту: видите ли вы повторяющуюся группу цифр?" | Работают в парах, внимательно изучают последовательность цифр на экране. Отвечают: "Периода нет, цифры идут хаотично". |
2 мин | "Значит, это число нельзя представить в виде дроби m/n. В математике такие числа называют 'иррациональными'. Слово 'ratio' — это разум или отношение, а приставка 'ir' — отрицание. Как мы можем перевести это название?" | Предполагают: "Неразумные числа", "Те, которые нельзя представить как отношение". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, проблема в том, что нам не хватает рациональных чисел, чтобы измерить диагональ даже самого простого квадрата. Нам нужно новое определение."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: сформулировать определение иррационального числа и рассмотреть примеры.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Запишем определение: Иррациональное число — это бесконечная десятичная непериодическая дробь. Множество таких чисел обозначается буквой I. Вместе рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел R." | Записывают определение в тетрадь, рисуют схему вложенности множеств (N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, I ⊂ R). |
4 мин | "Давайте сконструируем иррациональное число сами. Напишите 0, затем 1, потом 01, потом 001, 0001 и так далее. Будет ли у этой дроби период? Она бесконечна?" | Пишут в тетрадях: 0,1010010001... Отвечают: "Она бесконечна, закономерность есть, но это не период, так как количество нулей меняется. Значит, оно иррациональное". |
4 мин | "А теперь вспомним геометрию и число Пи. Вы знаете, что это отношение длины окружности к диаметру. С помощью ИКТ (сайта 1000000digits.com) посмотрим на первые 50 знаков Пи. Видите ли вы там период?" | Смотрят на экран, убеждаются в отсутствии периода в числе Пи. Делают вывод, что Пи — тоже иррациональное число. |
Запись в тетрадях
Иррациональное число — бесконечная десятичная непериодическая дробь.
Примеры: √2 ≈ 1,414...; π ≈ 3,1415...; 0,121121112...
Множество R = Q ∪ I (Действительные числа).
Примеры: √2 ≈ 1,414...; π ≈ 3,1415...; 0,121121112...
Множество R = Q ∪ I (Действительные числа).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы знаем врага в лицо. Но умеем ли мы отличать его от друзей — рациональных чисел? Проверим это в игре."
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Числовой сортер» (7 мин)
Цель этапа: закрепить навык классификации чисел через игровую деятельность в парах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "У вас на партах конверты с числами. Ваша задача в парах — распределить их в две корзины: 'Рациональные' и 'Иррациональные'. Будьте внимательны, там есть ловушки!" | Берут конверты, раскладывают карточки на две группы. |
4 мин | Учитель ходит между рядами, помогает. Числа на карточках: 0,7; √9; √5; -2(3); π/2; 0,12345...; 1/7; √0,16. | Обсуждают: "√9 — это 3, значит рациональное. √5 — не извлекается нацело, значит иррациональное. 0,12345... — нет периода, иррациональное". |
2 мин | "Давайте проверим. Кто нашел ловушку с √9 и √0,16? Почему они рациональные?" | Отвечают: "Потому что √9 = 3, а √0,16 = 0,4. Это конечные дроби, их можно представить как m/n". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, большинство из вас не попались в ловушки корней. Пора проверить свои силы индивидуально."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная диагностика усвоения темы на разных уровнях сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель выводит на слайд задания трех уровней. "Выберите уровень, который вам по силам. Уровень А — базовый, Б — средний, В — для тех, кто хочет бросить себе вызов." | Выбирают задания и решают их в тетрадях. |
2 мин | Учитель открывает ответы на слайде. "Сверьтесь с эталоном. Поставьте себе плюс за каждое верно выполненное задание." | Проверяют свои работы, фиксируют количество баллов в листах самооценки. |
Задания для самостоятельной работы
Уровень А: Выпишите иррациональные числа из списка: 4,5; √7; -1/2; √100; 0,333...; π.
Уровень Б: Между какими двумя последовательными целыми числами находится число √15? Является ли оно иррациональным?
Уровень В: Приведите пример иррационального числа, которое больше 2, но меньше 2,1.
Уровень Б: Между какими двумя последовательными целыми числами находится число √15? Является ли оно иррациональным?
Уровень В: Приведите пример иррационального числа, которое больше 2, но меньше 2,1.
Эталон решения
А: √7, π. (√100 = 10 — рациональное; 0,333... — периодическое).
Б: 3 < √15 < 4 (так как 9 < 15 < 16). Да, иррациональное.
В: Например, 2,010110111... или 2,050550555... или √4,1.
Б: 3 < √15 < 4 (так как 9 < 15 < 16). Да, иррациональное.
В: Например, 2,010110111... или 2,050550555... или √4,1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Посмотрите на свои результаты. Если у вас есть ошибки в уровне А — нужно еще раз перечитать определение. Если решили В — вы настоящие математические детективы!"
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознание пройденного пути и постановка задач на будущее.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вернемся к нашему бедному Гиппасу. Почему его открытие так напугало Пифагора? Пифагор считал, что миром правят целые числа и их отношения. Иррациональные числа разрушили эту гармонию. Что для вас сегодня стало самым удивительным?" | Высказывают мнения: "Удивило, что в обычном квадрате прячется бесконечность", "Что корни не всегда извлекаются нацело". |
3 мин | Учитель диктует домашнее задание, поясняя уровни. "Запишите задание в дневники. Обратите внимание на творческое задание — оно поможет вам увидеть математику в искусстве." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик безошибочно классифицировал все числа в игре, верно выполнил задание уровня Б или В в самостоятельной работе.
- «4» — допущена 1 ошибка в классификации корней (например, √16 отнесен к иррациональным), выполнен уровень А и Б самостоятельно.
- «3» — ученик понимает определение, но затрудняется в приведении примеров, выполнил только уровень А с подсказками.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое число сегодня на уроке 'сломало' систему рациональных чисел? | Проверка усвоения ключевого проблемного момента урока. |
Сможете ли вы объяснить другу, чем 0,333... отличается от 0,101101110...? | Выявление понимания разницы между периодической и непериодической дробью. |
В какой момент урока вы чувствовали себя наиболее уверенно? | Эмоциональная самодиагностика и поиск зон комфорта в предмете. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили настоящий интеллектуальный прорыв — вышли за пределы рационального мира. Мы узнали, что бесконечность бывает разной: упорядоченной в периодах и хаотичной в иррациональных числах. Не бойтесь 'неправильных' чисел — именно они позволяют нам строить идеальные круги и вычислять траектории спутников. На следующем уроке мы научимся сравнивать эти числа между собой. Спасибо за работу!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 284, 286. | Классификация чисел и представление дробей в десятичном виде. |
Средний (повышающий) | Исследование: найти 10 знаков √3. | Используя метод подбора (2^2=4, 1^2=1...), найти как можно больше знаков после запятой без калькулятора. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое эссе или презентация. | Тема: 'Золотое сечение — самое красивое иррациональное число'. Найти примеры в природе или архитектуре. |
Контрольный вопрос перед выходом: "Любое ли число с корнем является иррациональным?" (Ожидаемый ответ: "Нет, только если корень не извлекается нацело").