Квадратный трёхчлен и его корни
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие квадратного трёхчлена, научить находить его корни и выделять полный квадрат двучлена из квадратного трёхчлена.
- Предметная задача: Познакомить с определением квадратного трёхчлена и алгоритмом нахождения его корней через дискриминант.
- Развивающая задача: Развивать навыки критического мышления через сопоставление квадратного уравнения и квадратного трёхчлена.
- Воспитательная задача: Формировать культуру математической речи и умение работать в условиях выбора уровня сложности задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение.
- Способность формулировать гипотезы и проверять их.
- Навык смыслового чтения при работе с математическим текстом.
Предметные
- Знать определение квадратного трёхчлена и его корней.
- Уметь находить корни квадратного трёхчлена.
- Владеть методом выделения полного квадрата двучлена.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к познанию.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками.
Регулятивные УУД
- Самостоятельно формулировать цели урока после предварительного обсуждения.
- Планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.
Познавательные УУД
- Анализировать объекты с целью выделения признаков.
- Преобразовывать информацию из одной формы в другую (текст в формулу).
Коммуникативные УУД
- Высказывать и обосновывать свою точку зрения.
- Слушать и слышать других, быть готовым корректировать свою позицию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями параболических конструкций (мост Золотые Ворота, фонтаны) для этапа мотивации.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности: А, Б, В) — по 15 экземпляров каждого уровня.
- Подготовить набор магнитных карточек с коэффициентами a, b, c и переменными x^2, x для сборки трёхчлена на доске.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подготовить листы самооценки «Светофор» (красный, желтый, зеленый кружки) для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать положительный эмоциональный настрой и вызвать интерес к теме через визуальный «крючок».
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, друзья! Рад вас видеть. Сегодня мы продолжаем погружение в мир алгебры, который, как ни странно, окружает нас повсюду. Посмотрите на экран. Что объединяет эти объекты: траекторию струи фонтана, форму подвесного моста и полет баскетбольного мяча?" | Приветствуют учителя, рассматривают слайды на экране. Отвечают: "Все они имеют форму дуги", "Это параболы", "Это кривые линии". |
2 мин | "Верно, это параболы. Мы уже знаем, что парабола — это график функции y = ax^2 + bx + c. Но сегодня мы посмотрим на правую часть этого равенства не как на функцию, а как на самостоятельный объект. Мы научимся разбирать его 'на запчасти' и находить его 'сердце'. Как вы думаете, как называется выражение такого вида?" | Выдвигают предположения: "Квадратное выражение", "Многочлен второй степени". Пытаются сформулировать тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ваши догадки близки к истине. Официальное имя этого объекта — квадратный трёхчлен. Запишем тему урока в тетради: 'Квадратный трёхчлен и его корни'."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить навыки решения квадратных уравнений, которые станут базой для новой темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Прежде чем идти вперед, проверим нашу 'экипировку'. На доске записаны три уравнения. Ваша задача — за 2 минуты определить количество корней в каждом, не решая их полностью. 1) x^2 - 5x + 6 = 0; 2) x^2 + 4x + 4 = 0; 3) x^2 + x + 1 = 0. Как мы это определяем?" | Ученики работают в тетрадях. Отвечают: "С помощью дискриминанта". Для первого уравнения: D=1 > 0 (2 корня), для второго: D=0 (1 корень), для третьего: D=-3 < 0 (корней нет). |
2 мин | "Отлично. Вспомните формулу дискриминанта и корней. Кто готов записать их на доске? Нам это сейчас очень пригодится." | Один ученик выходит к доске и записывает формулы: D = b^2 - 4ac, x = (-b ± √D) / 2a. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Инструменты готовы. Теперь давайте выясним, чем же трёхчлен отличается от уравнения."
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: дать определение квадратного трёхчлена и его корней, познакомить с методом выделения полного квадрата.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Итак, запишем определение: Квадратным трёхчленом называется многочлен вида ax^2 + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0. Обратите внимание: здесь нет знака равенства нулю! Это просто выражение. Но мы можем найти значения x, при которых это выражение обращается в нуль. Как вы думаете, как мы назовем такие значения?" | Записывают определение. Предполагают: "Корни трёхчлена". Формулируют определение корня: это значение переменной, при котором трёхчлен равен нулю. |
4 мин | "Верно. Чтобы найти корни трёхчлена, нам нужно... приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение. Давайте найдем корни трёхчлена x^2 - 2x - 8. Работаем самостоятельно, один человек у доски." | Решают уравнение x^2 - 2x - 8 = 0. Находят D = 4 + 32 = 36. Корни: x1 = 4, x2 = -2. Сверяют результаты с доской. |
4 мин | "Иногда для анализа трёхчлена удобно представить его в другом виде — выделить полный квадрат. Это приём 'Шпаргалка-напоминание'. Вспомните формулы (a+b)^2 и (a-b)^2. Давайте попробуем преобразовать x^2 - 6x + 10. Мы видим x^2 и -6x. Что нужно добавить, чтобы получился квадрат?" | Обсуждают в парах. Выдвигают идею: "Нужно +9, так как 6x это 2 * 3 * x". Записывают: x^2 - 6x + 9 + 1 = (x - 3)^2 + 1. |
Запись в тетрадях
Корнем квадратного трёхчлена называется значение переменной, при котором значение этого трёхчлена равно нулю.
Выделение полного квадрата: x^2 + bx + c = (x + b/2)^2 - (b/2)^2 + c.
Выделение полного квадрата: x^2 + bx + c = (x + b/2)^2 - (b/2)^2 + c.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились находить корни и трансформировать трёхчлен. Теперь проверим, как это работает на практике."
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм нахождения корней и выделения полного квадрата на типовых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем с учебником. Номер 441 (а, в). Нужно найти корни трёхчленов. К доске вызываются два человека для параллельной работы. Остальные — в тетрадях. Помните про дискриминант!" | Двое учеников решают у доски: а) 10x^2 + 5x - 5; в) x^2 - 11x + 30. Класс сверяет решение. Ответы: а) -1; 0,5; в) 5; 6. |
3 мин | "А теперь блиц-опрос по выделению квадрата. Я называю начало, вы — что нужно добавить. x^2 + 4x... x^2 - 10x... x^2 + 2x..." | Хором или по поднятой руке отвечают: "+4", "+25", "+1". Обосновывают ответы правилом удвоенного произведения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что алгоритм понятен. Пришло время для испытания посерьезнее."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы с возможностью выбора уровня сложности (дифференциация).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Перед вами карточки трех цветов. Зеленая (Уровень А) — базовые задачи на корни. Желтая (Уровень Б) — задачи на выделение полного квадрата. Красная (Уровень В) — задачи с параметром или поиском ошибок. Выберите ту, которая вам по силам, и приступайте. У вас 6 минут." | Ученики выбирают карточку. Работают самостоятельно. Учитель проходит по рядам, оказывая индивидуальную помощь. |
2 мин | "Время вышло. Переверните карточки — на обратной стороне напечатаны эталоны решений. Проверьте себя. Если всё верно — поставьте себе '+' на полях." | Сверяют свои решения с эталоном. Анализируют ошибки, если они есть. |
Эталон решения (Уровень Б)
Задание: Выделить полный квадрат из x^2 + 8x + 15.
Решение:
1) Находим половину коэффициента при x: 8 / 2 = 4.
2) Квадрат этого числа: 4^2 = 16.
3) Прибавляем и вычитаем 16: x^2 + 8x + 16 - 16 + 15.
4) Сворачиваем формулу: (x + 4)^2 - 1.
Решение:
1) Находим половину коэффициента при x: 8 / 2 = 4.
2) Квадрат этого числа: 4^2 = 16.
3) Прибавляем и вычитаем 16: x^2 + 8x + 16 - 16 + 15.
4) Сворачиваем формулу: (x + 4)^2 - 1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите зеленые карточки те, кто выполнил задание без ошибок. Желтые — у кого одна ошибка. Красные — кому было очень трудно. Спасибо за честность."
Этап 6. Включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: показать связь новой темы с будущими разделами алгебры (разложение на множители).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Зачем нам нужны корни трёхчлена? Кроме графиков, они помогают раскладывать выражения на множители. Посмотрите: если корни x^2 - 5x + 6 это 2 и 3, то сам трёхчлен можно записать как (x-2)(x-3). Проверьте это раскрытием скобок в парах. Как вы думаете, это всегда работает?" | Работают в парах. Раскрывают скобки: x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6. Удивляются совпадению. Выдвигают гипотезу, что корни напрямую связаны со структурой трёхчлена. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Эту тайну мы подробно раскроем на следующем уроке. А пока подведем итоги сегодняшнего открытия."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности и постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Достаньте ваши 'Билеты на выход'. Напишите на них один самый важный вывод, который вы сделали сегодня, и один вопрос, который остался непонятным." | Заполняют короткие анкеты (билеты на выход). Сдают их учителю при выходе из класса. |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Выберите тот, который поможет вам закрепить сегодняшний успех." | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно найдены корни в 3-х и более примерах, безошибочно выделен полный квадрат, работа выполнена аккуратно.
- "4" — верно найдены корни, но допущены вычислительные ошибки при выделении полного квадрата, или наоборот.
- "3" — ученик понимает алгоритм нахождения корней через дискриминант, но допускает ошибки в знаках или формулах, затрудняется в выделении квадрата.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Чем квадратный трёхчлен отличается от квадратного уравнения? | Проверка понимания математических понятий и их различий. |
Какой этап выделения полного квадрата был самым трудным? | Диагностика типичных затруднений в алгоритме. |
Где в жизни нам могут встретиться формы, описываемые трёхчленом? | Оценка связи обучения с реальным миром (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отлично поработали в роли исследователей. Мы не просто решали примеры, мы учились видеть структуру математического объекта. Помните, что квадратный трёхчлен — это фундамент для всей дальнейшей алгебры 8 и 9 классов. Если сегодня что-то осталось неясным — не бойтесь спрашивать на следующем уроке. Мы только начали этот путь. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 442, 444 | Нахождение корней трёхчлена стандартным способом. |
Средний (повышающий) | Учебник, № 448, 450 | Выделение полного квадрата и работа с дробями. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти и сфотографировать пример параболы в архитектуре города, составить для неё примерный вид трёхчлена. |
Контрольный вопрос: Может ли квадратный трёхчлен не иметь корней? Приведите пример.