Квадратный корень. Понятие действительного числа
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и подготовить учащихся к восприятию новой темы через игровую ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, восьмиклассники! Сегодня мы отправимся в Древнюю Грецию, в школу самого Пифагора. Но чтобы войти в его тайное общество, нужно пройти испытание на внимательность. Посмотрите на свои столы: всё ли готово к штурму новых знаний?» | Проверяют наличие учебников, тетрадей и письменных принадлежностей. Настраиваются на работу. |
2 мин | «Представьте, что вы — архитекторы. Вам нужно вымостить квадратный пол плиткой. Если площадь пола 25 квадратных метров, какова длина его стороны? А если 49? А если 2?» Учитель фиксирует ответы на доске, делая паузу после вопроса про число 2. | Отвечают: «5 метров», «7 метров». На вопросе про число 2 задумываются, предлагают варианты: «Чуть больше 1», «1,5», «Нет такого целого числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы столкнулись с загадкой, которая когда-то потрясла античный мир. Чтобы её решить, нам понадобится новый математический инструмент — квадратный корень».
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Математическое домино» (5 мин)
Цель этапа: повторить таблицу квадратов и подготовить базу для введения понятия корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «У вас на партах карточки домино. С одной стороны — число, с другой — квадрат какого-то числа. Ваша задача в парах собрать цепочку так, чтобы число соответствовало своему квадрату. Например, 6 и 36. Начали!» Учитель обходит класс, помогая парам. | Работают в парах, сопоставляют числа и их квадраты (от 1 до 20). Те, кто закончил раньше, помогают соседям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, таблицу квадратов мы вспомнили. Теперь мы готовы совершить обратное действие — извлечь корень».
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать проблему невозможности представить корень из 2 в виде рационального числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вернемся к нашему квадрату с площадью 2. Мы ищем число x, такое что x² = 2. Попробуйте на калькуляторах подобрать такое число. Умножьте 1,4 на 1,4. Теперь 1,41 на 1,41. Что вы замечаете?» | Вычисляют: 1,4² = 1,96; 1,41² = 1,9881; 1,414² = 1,999396. Отвечают: «Мы приближаемся к 2, но точно 2 не получается». |
2 мин | «Межпредметная связь: в геометрии это длина диагонали квадрата со стороной 1. Пифагорейцы верили, что всё в мире можно описать целыми числами или их отношениями (дробями). Но это число — бунтарь. Оно не является дробью. Как же нам его называть?» | Выдвигают гипотезы. Слушают историческую справку о том, что такие числа назвали иррациональными (неразумными). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, существующих чисел нам не хватает. Нам нужно открыть новую страну на числовой карте — иррациональные числа».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение арифметического квадратного корня и структуру множества действительных чисел.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Запишем определение: Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a. Обозначается знаком радикала. Почему корень из -9 не существует в нашей системе?» | Записывают определение и символ √. Отвечают: «Потому что квадрат любого числа не может быть отрицательным». |
8 мин | Учитель рисует на доске круги Эйлера («Матрешку»): «Смотрите, сначала были натуральные числа (N), потом добавились целые (Z), затем рациональные (Q). А теперь рядом появляются иррациональные (I) — бесконечные непериодические дроби. Вместе они образуют множество действительных чисел (R). Давайте распределим числа: 5, -3, 1/2, 0, √2, π по этим домикам». | Рисуют схему в тетрадях. По очереди выходят к доске и «расселяют» числа по множествам. Обсуждают, почему π тоже иррационально. |
Запись в тетрадях
- √a = b, если b² = a и b ≥ 0.
- N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
- I (иррациональные) — бесконечные непериодические десятичные дроби.
- R = Q ∪ I (Действительные числа).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь наша числовая Вселенная стала полной. В ней нет пустот — каждой точке на прямой соответствует действительное число».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык извлечения корня и классификации чисел на заданиях разного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Выбираем задания по силам. Уровень А — вычислить простые корни. Уровень Б — найти сторону квадрата по площади (дробные числа). Уровень В — определить, является ли число рациональным. Задания на слайде». Учитель консультирует индивидуально. | Выбирают уровень сложности и решают задачи в тетрадях. Сверяют ответы с эталоном на экране. |
Эталон решения (Уровень Б)
Задача: Найти сторону квадрата, если S = 1,44 дм².
Решение: x² = 1,44; x = √1,44; так как 12² = 144, то 1,2² = 1,44. Ответ: 1,2 дм.
Решение: x² = 1,44; x = √1,44; так как 12² = 144, то 1,2² = 1,44. Ответ: 1,2 дм.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что большинство справилось с уровнем Б. Это отличный результат для первого урока по теме!»
Этап 6. Творческое задание «Числовой паспорт» (7 мин)
Цель этапа: закрепить понимание характеристик чисел через творческую форму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Представьте, что числа — это граждане страны Математика. Заполните для выбранного вами числа (например, √5 или -2) паспорт: Имя (символ), Место жительства (множество), Характер (рациональное/иррациональное, положительное/отрицательное), Друзья (ближайшие целые числа)». | Креативно оформляют «паспорта». Например: «Имя: √3. Место жительства: Множество I. Характер: скрытный, бесконечный. Друзья: 1 и 2». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваши паспорта помогут числам не потеряться в огромном мире математики. Самые оригинальные работы мы повесим на стенд».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности и постановка задач на будущее.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте заполним "Билет на выход". Ответьте на вопросы в таблице рефлексии». | Заполняют листы рефлексии, сдают учителю. |
3 мин | «Запишите домашнее задание. Оно тоже разделено по уровням. Выберите тот, который вам сегодня покорился, или попробуйте шагнуть выше». | Записывают ДЗ в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания
- «5» — Верно выполнены все задания уровня Б и В, «Числовой паспорт» заполнен без ошибок.
- «4» — Верно выполнен уровень А и Б, допущены мелкие ошибки в классификации чисел.
- «3» — Верно выполнен только уровень А, есть понимание определения корня, но затруднения в вычислениях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое число сегодня было для тебя самым «странным»? | Выявление эмоционального отношения к иррациональным числам. |
В чем главное отличие рационального числа от иррационального? | Проверка усвоения ключевого теоретического понятия. |
На каком этапе ты почувствовал себя «Пифагором» (первооткрывателем)? | Оценка уровня вовлеченности и мотивации. |
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый | № 280, 282 (учебник) | Вычисление значений квадратных корней из целых чисел и дробей. |
Средний | № 295, 301 | Решение уравнений вида x² = a и классификация чисел по множествам. |
Продвинутый | Мини-эссе | «Почему число √2 нельзя представить в виде обыкновенной дроби?» (поиск доказательства). |
Контрольный вопрос: Существует ли такое действительное число, которое не является ни рациональным, ни иррациональным?