Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут давать определение квадратного уравнения, классифицировать его коэффициенты и самостоятельно выбирать алгоритм решения для всех видов неполных квадратных уравнений.
- Образовательная задача: Сформировать понятие квадратного уравнения, научить выделять коэффициенты a, b, c и решать неполные квадратные уравнения трёх типов.
- Развивающая задача: Развивать навыки абстрактного мышления и умение анализировать структуру математического объекта (уравнения).
- Воспитательная задача: Формировать культуру интеллектуального труда и потребность в поиске рациональных способов решения задач.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определение квадратного уравнения и его видов (полное, неполное, приведённое).
- Уметь определять коэффициенты квадратного уравнения.
- Владеть алгоритмами решения неполных квадратных уравнений вида ax^2=0, ax^2+c=0, ax^2+bx=0.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков сотрудничества в разных социальных ситуациях.
Регулятивные УУД
- Самостоятельная формулировка познавательной цели.
- Оценка правильности выполнения учебной задачи, собственные возможности её решения.
Познавательные УУД
- Выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте учебника.
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою точку зрения.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах с заданиями на классификацию уравнений (15 экз.).
- Подготовить презентацию со слайдами: коэффициенты уравнения, три типа неполных уравнений, эталон для самопроверки.
- Подготовить листы самооценки для каждого ученика.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Подобрать демонстрационную задачу на функциональную грамотность (расчёт площади вольера).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и актуализировать знания о линейных уравнениях и извлечении квадратного корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Здравствуйте, друзья! Сегодня мы начинаем изучение темы, которая является фундаментом всей алгебры старших классов. Но сначала — небольшая жизненная ситуация. Представьте, что вам нужно огородить прямоугольный вольер для собаки, площадь которого 36 квадратных метров, причём длина вольера равна его ширине. Как найти сторону вольера? Какое уравнение у вас получится?" | Ученики приветствуют учителя. Отвечают: "Получится уравнение x * x = 36 или x^2 = 36". Называют ответ: "x = 6, так как длина не может быть отрицательной". |
3 мин | "Верно. А если я скажу, что площадь вольера 50 кв.м, а одна сторона на 5 метров длиннее другой? Как будет выглядеть уравнение теперь? Запишите его в тетрадях. Умеем ли мы решать такие уравнения привычными способами?" | Записывают в тетрадях: x(x + 5) = 50, что при раскрытии скобок дает x^2 + 5x - 50 = 0. Осознают, что это уравнение нового типа, которое они пока не умеют решать системно. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы столкнулись с уравнением, в котором переменная стоит во второй степени. Такие уравнения называются квадратными. Это и есть тема нашего сегодняшнего урока."
Этап 2. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: дать определение квадратного уравнения, ввести понятие коэффициентов и классифицировать неполные уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Откройте учебники на странице 112. Прочитайте определение. Квадратным уравнением называется уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Число a называют первым коэффициентом, b — вторым, а c — свободным членом. Как вы думаете, почему обязательно условие a ≠ 0?" | Ученики читают определение. Отвечают: "Если a будет равно нулю, то слагаемое с x^2 исчезнет, и уравнение превратится в линейное вида bx + c = 0". |
4 мин | "Верно! Давайте потренируемся. На слайде вы видите уравнения. Назовите коэффициенты a, b и c для каждого: 1) 3x^2 - 5x + 2 = 0; 2) x^2 + 4x - 1 = 0; 3) 5x^2 - 7 = 0; 4) 2x^2 + 3x = 0. Заметили ли вы что-то особенное в последних двух уравнениях?" | Ученики по очереди называют коэффициенты. Для 3-го уравнения: "a=5, b=0, c=-7". Для 4-го: "a=2, b=3, c=0". Делают вывод: "В некоторых уравнениях коэффициенты b или c могут быть равны нулю". |
4 мин | "Именно такие уравнения называются неполными. Используя приём 'Мозговой штурм', попробуйте в парах предположить, как решить уравнения вида: 1) ax^2 = 0; 2) ax^2 + c = 0; 3) ax^2 + bx = 0. У вас есть 2 минуты на обсуждение." | Работают в парах. Предлагают варианты: "В первом x всегда 0", "Во втором нужно перенести c и поделить на a, а потом извлечь корень", "В третьем можно вынести x за скобки". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Определение: ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
Неполные уравнения:
1) ax^2 = 0 → x = 0.
2) ax^2 + c = 0 → x^2 = -c/a.
3) ax^2 + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x=0 или x=-b/a.
Неполные уравнения:
1) ax^2 = 0 → x = 0.
2) ax^2 + c = 0 → x^2 = -c/a.
3) ax^2 + bx = 0 → x(ax + b) = 0 → x=0 или x=-b/a.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы сами вывели алгоритмы решения. Теперь проверим, как они работают на практике."
Этап 3. Первичное закрепление (10 мин)
Цель этапа: отработать навыки решения неполных квадратных уравнений с проговариванием алгоритма.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Решим у доски три уравнения разных типов. Кто хочет попробовать? Уравнения: а) 4x^2 = 0; б) 3x^2 - 27 = 0; в) 5x^2 + 10x = 0. Пожалуйста, комментируйте каждый свой шаг." | Три ученика выходят к доске. Ученик (б) комментирует: "Переношу -27 в правую часть с противоположным знаком, получаю 3x^2 = 27. Делю на 3, получаю x^2 = 9. Значит, x = 3 или x = -3". |
5 мин | "А теперь внимание на уравнение 2x^2 + 8 = 0. Решите его самостоятельно в тетрадях. Какой ответ получился? Почему?" | Ученики решают: 2x^2 = -8, x^2 = -4. Отвечают: "Корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом". |
Эталон решения
в) 5x^2 + 10x = 0
x(5x + 10) = 0
x_1 = 0 или 5x + 10 = 0
5x = -10
x_2 = -2
Ответ: 0; -2.
x(5x + 10) = 0
x_1 = 0 или 5x + 10 = 0
5x = -10
x_2 = -2
Ответ: 0; -2.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что неполные уравнения могут иметь два корня, один корень (ноль) или не иметь корней вовсе. Переходим к самостоятельной проверке сил."
Этап 4. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы и коррекция ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "На карточках у вас 4 уравнения. Решите их самостоятельно. Первые два — базовый уровень, вторые два — чуть сложнее. Время пошло!" Учитель проходит по рядам, оказывая индивидуальную помощь. | Ученики самостоятельно решают уравнения в тетрадях: 1) x^2 - 64 = 0; 2) 7x^2 = 0; 3) x^2 - 5x = 0; 4) 3x^2 + 12 = 0. |
3 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там эталон решения. Возьмите зелёную ручку и проверьте себя. Если всё верно — поставьте '+', если ошибка — обведите её и запишите верный шаг." | Сверяют свои решения с эталоном на слайде. Подсчитывают количество верных ответов и фиксируют результат в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите руки те, кто решил все 4 уравнения верно? Отлично! У кого возникли трудности с уравнением №4? Помните, что x^2 не может быть равен отрицательному числу."
Этап 5. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности, постановка задач на будущее.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте воспользуемся приёмом 'Билет на выход'. На маленьких листочках ответьте на один вопрос: 'Какой из трёх типов неполных уравнений показался вам самым простым, а какой — самым коварным и почему?'. Сдайте листочки, когда будете выходить." | Ученики анализируют свою работу, пишут ответы. Например: "Самый простой — ax^2=0, самый коварный — ax^2+bx=0, потому что можно забыть вынести x за скобки". |
4 мин | "Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное — выберите тот уровень, который вам по силам, но я советую попробовать заглянуть на уровень выше." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы по условиям задач. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Верно решены все 4 уравнения самостоятельной работы, коэффициенты определены без ошибок, записи аккуратны.
- "4" — Верно решены 3 уравнения, допущена одна вычислительная ошибка или ошибка в знаке при переносе слагаемых.
- "3" — Верно решены 2 уравнения базового уровня, ученик понимает принцип выделения коэффициентов, но путается в алгоритмах решения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие в определении квадратного уравнения самое важное? | Проверка понимания структуры уравнения (a ≠ 0). |
В каком случае уравнение ax^2 + c = 0 не имеет корней? | Выявление понимания области значений квадратичной функции. |
Что нового ты узнал о способах решения уравнений сегодня? | Осознание перехода от линейного мышления к квадратичному. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отлично поработали и сами 'открыли' способы решения неполных квадратных уравнений. Это был важный шаг. На следующем уроке мы узнаем, что делать, если в уравнении есть все три коэффициента — как найти 'золотой ключ' к любому полному квадратному уравнению через дискриминант. Спасибо за урок, до свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №512, №515 (а, б) | Решить стандартные неполные уравнения по алгоритму из тетради. |
Средний (повышающий) | №521 + составить 2 своих примера | Решить уравнения, требующие предварительного раскрытия скобок, и придумать свои. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача: 'Площадь круга равна 100π. Найдите его радиус, составив уравнение.' | Применение знаний в геометрическом контексте (функциональная грамотность). |
Контрольный вопрос: Сколько корней может иметь квадратное уравнение и от чего это зависит в случае неполных уравнений?