Понятие квадратного корня. Арифметический квадратный корень
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие арифметического квадратного корня и научить находить его значения для точных квадратов.
- Образовательная задача: Познакомить с определением квадратного корня, символом радикала и условиями существования корня.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления через установление причинно-следственных связей между возведением в квадрат и извлечением корня.
- Воспитательная задача: Формировать культуру парного взаимодействия и ответственного отношения к выбору уровня сложности задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению.
- Умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение использовать знаково-символические средства (символ корня), строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров.
Предметные
- Знать определение арифметического квадратного корня.
- Уметь вычислять значения корней из чисел, являющихся точными квадратами, используя таблицу квадратов.
- Уметь решать простейшие уравнения вида x² = a.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: связь между математическим понятием и его практическим применением в геометрии и физике.
Регулятивные УУД
- Контроль и коррекция: сличение способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (положительность подкоренного выражения).
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнёра: контроль, коррекция, оценка действий партнёра при работе в паре.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для парной работы «Математическое лото» (15 комплектов).
- Подготовить слайд-презентацию с QR-кодом на интерактивный тренажёр LearningApps.
- Распечатать листы самооценки «Мой прогресс» для каждого ученика.
- Проверить наличие таблицы квадратов двузначных чисел на форзаце учебника или подготовить её в виде раздаточного материала.
- Подготовить демонстрационный плакат с символом радикала и названиями его элементов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать благоприятный психологический настрой на работу, заинтриговать учащихся практической задачей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня мы начинаем изучение темы, которая является фундаментом для всей алгебры 8 класса. Но сначала — жизненная ситуация. Представьте, что вы дизайнеры, и вам нужно заказать квадратный ковёр для комнаты площадью 49 квадратных метров. Какой длины должен быть край этого ковра?» | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. Отвечают: «7 метров». |
2 мин | «Верно. А если площадь ковра 20 квадратных метров? Можете ли вы сразу назвать его сторону целым числом? В математике часто возникает обратная задача: зная результат возведения в квадрат, найти само число. Приём "Крючок": сегодня мы узнаем, как называется эта операция и как её выполнять, даже если число не "красивое".» | Задумываются, пробуют подобрать числа: «4 — мало, 5 — много». Осознают недостаточность знаний. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, мы столкнулись с проблемой поиска числа по его квадрату. Давайте сформулируем тему урока».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить операцию возведения в квадрат и подготовить базу для введения понятия корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте проведем блиц-опрос. Я называю число, вы — его квадрат. 5? 10? 1,2? 0,1? -3? А теперь внимание: может ли квадрат какого-то числа быть равен -16?» | Отвечают хором или по поднятой руке: «25, 100, 1,44, 0,01, 9». На последний вопрос отвечают: «Нет, квадрат любого числа всегда неотрицателен». |
2 мин | «Хорошо. Используя таблицу квадратов в учебнике, найдите числа, квадраты которых равны 144, 441, 961. Запишите их в тетрадь.» | Работают с форзацем учебника, записывают числа: 12, 21, 31. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
12² = 144; 21² = 441; 31² = 961.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, как возводить в квадрат. Теперь перейдем к обратной операции».
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение арифметического квадратного корня и обозначение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на странице 12. Прочитайте определение арифметического квадратного корня. Вдумайтесь: почему в определении сказано "неотрицательное число"? Давайте разберем запись на доске: √a = b. b — это корень, a — подкоренное выражение. Учитель вводит приём "Сократовский диалог": Если я напишу √25 = -5, это будет верно по определению? А если √(-16)?» | Читают учебник. Отвечают: «Нет, по определению b должно быть ≥ 0, значит √25 только 5. Из отрицательного числа корень не извлекается, так как квадрат не бывает отрицательным». |
7 мин | «Давайте составим алгоритм вычисления корня. Чтобы найти √a, нужно: 1) Убедиться, что a ≥ 0. 2) Найти такое число b ≥ 0, что b² = a. Разберем примеры: √0,49; √100; √0. Запишем их с обоснованием.» | Записывают в тетрадь: √0,49 = 0,7, так как 0,7 > 0 и 0,7² = 0,49. Аналогично для других примеров. |
Запись в тетрадях
Определение: Арифметическим квадратным корнем из числа a называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.
√a = b, если b ≥ 0 и b² = a.
√a = b, если b ≥ 0 и b² = a.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы знаем, как "добывать" корень. Пора применить это на практике».
Этап 4. Первичное закрепление и парная работа (8 мин)
Цель этапа: отработать навык вычисления корней в процессе коммуникации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Приём "Подумай — обсуди в паре — поделись". Выполняем №315 и №318 из учебника. Сначала решаете сами 2 минуты, затем сверяете ответы с соседом. Если ответы разные — докажите друг другу свою правоту, используя определение. Если оба не знаете, как решить — поднимайте руку, я подойду.» | Работают индивидуально, затем в парах. Обсуждают: «У меня в √1,44 получилось 1,2, а у тебя? Да, потому что 12 в квадрате 144, значит 1,2 в квадрате 1,44». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, пары справились. Были ли спорные моменты? Разберем один пример у доски».
Этап 5. Межпредметные связи и ИКТ (5 мин)
Цель этапа: показать применение корней в физике и использовать цифровой ресурс для проверки знаний.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «А вы знали, что корни живут в физике? Формула свободного падения: t = √(2h/g). Если камень упал в колодец глубиной 20 метров, сколько секунд он летел? (примем g ≈ 10). Выведите ответ.» | Считают: t = √(2*20/10) = √4 = 2. Отвечают: «2 секунды». |
2 мин | «Теперь возьмите свои смартфоны, отсканируйте QR-код на доске. Вас ждет короткий тест-пазл на соответствие корней и чисел. У кого нет телефона — работаем со мной у интерактивной доски.» | Выполняют интерактивное задание, получают мгновенную обратную связь от системы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Математика — это язык всех наук. Теперь проверим, как вы усвоили этот язык индивидуально».
Этап 6. Самостоятельная работа (7 мин)
Цель этапа: диагностика уровня усвоения темы через дифференцированные задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Перед вами карточки трех цветов. Зеленая — базовый уровень (вычислить простые корни), Желтая — средний (выражения с корнями), Красная — сложный (уравнения и корни из дробей). Выберите ту, которая вам по силам, и приступайте. Эталон решения появится на экране через 5 минут.» | Выбирают уровень сложности, самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
Эталон решения (Сложный уровень)
1) √(4/9) + √0,25 = 2/3 + 0,5 = 2/3 + 1/2 = (4+3)/6 = 7/6 = 1 1/6.
2) x² = 0,64 → x = ±√0,64 → x₁ = 0,8; x₂ = -0,8.
2) x² = 0,64 → x = ±√0,64 → x₁ = 0,8; x₂ = -0,8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сверьтесь с эталоном. Поставьте себе плюс за каждое верное задание».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Заполните листы самооценки. Приём "Светофор": поднимите зеленую карточку, если всё понятно; желтую — если остались вопросы; красную — если тема показалась очень сложной.» | Заполняют листы, поднимают карточки соответствующего цвета. |
2 мин | «Запишите домашнее задание. Обратите внимание на творческий пункт для желающих.» | Записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания выбранного уровня (зеленый/желтый/красный), нет ошибок в оформлении и обосновании.
- «4» — Выполнено более 75% заданий, допущены 1-2 вычислительные ошибки при верном алгоритме.
- «3» — Выполнен только базовый уровень, есть ошибки в понимании определения (например, извлечение корня из отрицательного числа).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие для подкоренного выражения самое важное? | Проверка усвоения области определения корня. |
В чем разница между √16 и решением уравнения x²=16? | Разграничение понятия арифметического корня и корней уравнения. |
Где в реальной жизни нам может встретиться извлечение корня? | Осознание практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы отлично поработали! Мы открыли для себя новую операцию — извлечение корня. Помните, что корень — это не просто значок, это поиск "родителя" числа, которое возвели в квадрат. На следующем уроке мы научимся оценивать корни из чисел, которые не являются точными квадратами, например, √20, о котором мы говорили в начале. Всем спасибо за урок!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | §12, №320, №322 | Выучить определение, решить задачи на вычисление корней. |
Средний (повышающий) | №325, №330 | Найти значения выражений, содержащих несколько корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Подготовить краткое сообщение или презентацию (3-4 слайда) об истории возникновения знака корня (радикала). |