Вероятность в задачах о кофейных автоматах

Слайд 1. Вероятность в задачах о кофейных автоматах

Разбор задания №5 профильного ЕГЭ по математике: сложные события и теоремы вероятностей

Слайд 2. Место темы в экзамене

Задание №5 профильного уровня проверяет умение вычислять вероятности сложных событий. Одной из самых коварных задач является задача про два кофейных автомата. Ошибка в ней чаще всего связана с неверным определением зависимости событий. В отличие от простых задач на классическое определение вероятности, здесь требуется применение теорем сложения и умножения.

Слайд 3. Типовое условие задачи

В торговом центре стоят два одинаковых автомата с кофе.

Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна $0,3$.

Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна $0,12$.

Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Слайд 4. Главный вопрос: зависимость

События $A$ и $B$ независимы, если вероятность одного не влияет на вероятность другого. Тогда $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$. В нашей задаче: $0,3\cdot 0,3=0,09$, а по условию $0,12$.

Так как $0,09\ne 0,12$, события зависимы. Автоматы стоят в одном месте, если в одном кофе популярен, то и во втором, скорее всего, тоже. Это ключевой момент для выбора формулы.

Слайд 5. Теорема сложения вероятностей

Для любых двух событий (как зависимых, так и независимых) вероятность того, что произойдет хотя бы одно из них, вычисляется по формуле:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Здесь $P(A\cup B)$ — вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, а $P(A\cap B)$ — вероятность того, что он закончится в обоих сразу.

Слайд 6. Визуализация через диаграмму Эйлера-Венна

Слайд 7. Расшифровка компонентов

Кофе закончился в первом автомате. По условию $P(A)=0,3$.

Кофе закончился во втором автомате. По условию $P(B)=0,3$.

Кофе закончился в обоих. Это область $A\cap B$ с вероятностью $0,12$.

Слайд 8. Математика — это единственный совершенный метод водить самого себя за нос.

— Альберт Эйнштейн (о важности строгой проверки условий на независимость)

Слайд 9. Шаг 1: Вероятность «хотя бы одного»

Найдем вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате (событие «или в первом, или во втором, или в обоих»):

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$P(A\cup B)=0,3+0,3-0,12=0,48$.

Слайд 10. Алгоритм решения задачи

Выписать вероятности $P(A)$, $P(B)$ и $P(A\cap B)$.

Вычислить вероятность объединения: $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

Найти вероятность противоположного события через $1-P$.

Убедиться, что полученное число лежит в диапазоне от 0 до 1.

Слайд 11. Таблица исходов

Обратите внимание: искомая вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, является дополнением к вероятности того, что он закончится хотя бы в одном.

Слайд 12. Логические ловушки и проверка гипотез

Слайд 13. Блок-схема выбора метода

Если в условии даны три числа, всегда проверяйте их на независимость. Если произведение $P(A)\cdot P(B)$ не совпадает с $P(A\cap B)$, используйте общую формулу сложения.

Слайд 14. Почему нельзя просто умножить?

В задачах ЕГЭ часто путают независимые и несовместные события.

Независимые: наступление одного не меняет вероятность другого.

Несовместные: не могут произойти одновременно ($P(A\cap B)=0$).

В задаче с автоматами события совместны (кофе может кончиться везде).

События зависимы, так как внешние факторы (поток людей) влияют на оба автомата.

Слайд 15. Сравнение двух типов задач

Дано: $P(A)=0,3$, $P(B)=0,3$. Сказано, что они независимы. Найти $P(A\cap B)$. Решение: $0,3\cdot 0,3=0,09$.

Дано: $P(A)=0,3$, $P(B)=0,3$ и $P(A\cap B)=0,12$. Здесь вероятность пересечения уже задана, ее нельзя вычислять умножением.

Слайд 16. Задание для самопроверки

Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна $0,92$. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна $0,81$. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

*Подсказка: здесь события вложенные, так как если тостер проработал 2 года, он точно проработал 1 год.*

Слайд 17. Распространенные ошибки

Складывать вероятности без вычитания пересечения ($0,3+0,3=0,6$).

Перемножать вероятности, когда дана вероятность их совместного наступления ($0,3\cdot 0,3=0,09\ne 0,12$).

Забывать вычесть результат из единицы в конце решения.

Слайд 18. Распределение исходов в нашей задаче

Сумма всех вероятностей равна $0,52+0,36+0,12=1$. Это полная группа событий.

Слайд 19. Итоги занятия

Всегда проверяйте события на независимость перед умножением.

Используйте формулу $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ для совместных событий.

Внимательно читайте вопрос: нужно найти вероятность того, что кофе «останется» или «закончится».

Вероятность противоположного события: $P(\bar{A})=1-P(A)$.

Слайд 20. Успехов на ЕГЭ!