Кинематика: Решение задач

Слайд 1. Кинематика: Решение задач

Равномерное и равноускоренное движение. Движение по окружности.

Слайд 2. Равномерное прямолинейное движение

Движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. Главная характеристика — постоянная скорость: $\vec{v}=\text{const}$. Ускорение в данном типе движения равно нулю: $\vec{a}=0$.

Слайд 3. Уравнение равномерного движения

Основное уравнение координаты:

$x=x_0+v_{x}t$

Где $x_0$ — начальная координата

$v_x$ — проекция скорости на ось $OX$

Графиком зависимости $x(t)$ является прямая линия.

Слайд 4. Примеры равномерного движения

Движение Земли вокруг своей оси (приближенно), распространение света в вакууме, движение звука в однородной среде.

Движение кабины лифта между этажами, конвейерная лента на заводе, эскалатор в метро.

Слайд 5. Равноускоренное движение

Движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. Характеризуется постоянным ускорением: $\vec{a}=\text{const}$.

Слайд 6. Основные формулы равноускоренного движения

Проекция скорости: $v_x=v_{0x}+a_{x}t$

Уравнение координаты: $x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$

Перемещение без времени: $S_x=\frac{v_x^2-v_{0x}^2}{2a_x}$

Средняя скорость: нужно весь путь поделить на всё время

Слайд 7. График скорости $v_x(t)$

Слайд 8. Геометрический смысл перемещения

Для равномерного движения: площадь прямоугольника.

Для равноускоренного движения: площадь трапеции.

Слайд 9. Алгоритм решения задач кинематики

Сделать рисунок, указать векторы скорости и ускорения, выбрать систему координат (ось $OX$).

Записать общие уравнения движения в векторном виде и найти проекции на выбранные оси.

Решить полученную систему уравнений относительно искомой величины и проверить размерность.

Слайд 10. Задача № 1: Разгон автомобиля

Автомобиль начинает движение из состояния покоя с ускорением $0.5{\text{м/с}}^2$. Какой путь он пройдет за первые $10\text{с}$?

Решение:

$v_{0x}=0$, $a_x=0.5$, $t=10$.

$S=\frac{a{t}^2}{2}=\frac{0.5\cdot 10^2}{2}=25\text{м}$.

Слайд 11. Задача № 2: Встреча двух тел

Для нахождения времени встречи приравняем координаты: $x_1(t)=x_2(t)$.

$20+2t=80-4t\Rightarrow 6t=60\Rightarrow t=10\text{с}$.

Место встречи: $x=20+2\cdot 10=40\text{м}$.

Слайд 12. Криволинейное движение и движение по окружности

Слайд 13. Характеристики движения по окружности

Время одного полного оборота. $T=\frac{t}{N}$, измеряется в секундах.

Число оборотов в единицу времени. $\nu =\frac{1}{T}$, измеряется в Гц.

Направлена по касательной к траектории. $v=\frac{2\pi R}{T}$.

Угол поворота в единицу времени. $\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi \nu$.

Слайд 14. Центростремительное ускорение

При равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но направление меняется. Это вызывает ускорение ${\vec{a}}_c$, направленное к центру окружности.

Формула: $a_c=\frac{v^2}{R}={\omega }^{2}R$.

Слайд 15. Связь линейных и угловых величин

Линейная скорость $v$ связана с угловой скоростью $\omega$ радиусом: $v=\omega R$. Чем дальше точка от центра, тем больше её линейная скорость.

При наличии изменения модуля скорости возникает тангенциальное ускорение $a_{\tau }$. Полное ускорение: $a=\sqrt{a_c^2+a_{\tau }^2}$.

Слайд 16. Задача 3: Центрифуга

Радиус барабана центрифуги $0.5\text{м}$. Скорость вращения $600\text{об/мин}$. Найдите центростремительное ускорение.

1. Переведем частоту в СИ: $\nu =600/60=10\text{Гц}$.

2. Найдем угловую скорость: $\omega =2\pi \nu =20\pi \approx 62.8\text{рад/с}$.

3. Вычислим ускорение: $a_c={\omega }^{2}R=(62.8{)}^2\cdot 0.5\approx 1972{\text{м/с}}^2$.

Слайд 17. Практикум по решению комбинированных задач

Слайд 18. Анализ сложного графика скорости

Слайд 19. Относительность движения

Скорость тела в неподвижной системе координат равна векторной сумме скорости тела в подвижной системе и скорости самой подвижной системы:

${\vec{v}}_{\text{абс}}={\vec{v}}_{\text{отн}}+{\vec{v}}_{\text{пер}}$.

Пример: лодка, пересекающая реку под углом.

Слайд 20. Тормозной путь

Важный случай равноускоренного движения ($a<0$):

Конечная скорость $v=0$.

Формула тормозного пути: $S_{\text{торм}}=\frac{v_0^2}{2|a|}$.

Зависимость пути от начальной скорости квадратичная: при увеличении скорости в 2 раза путь растет в 4 раза.

Слайд 21. Задача 4: Обгон

Грузовик едет со скоростью $54\text{км/ч}$. Его обгоняет легковой автомобиль, движущийся со скоростью $72\text{км/ч}$. Длина грузовика $15\text{м}$.

Относительная скорость: $v_{\text{отн}}=20-15=5\text{м/с}$. Время обгона (считая авто точкой): $t=L/v_{\text{отн}}=15/5=3\text{с}$.

Слайд 22. Сравнение видов движения

Слайд 23. Типичные ошибки при решении

1. Игнорирование знаков проекций векторов.

2. Путаница между перемещением и координатой.

3. Забытый квадрат времени в формуле пути.

4. Ошибки при переводе единиц (км/ч в м/с).

Слайд 24. Блиц-опрос для самопроверки

Куда направлено ускорение при равномерном движении по окружности?

Как изменится путь, если время движения удвоится при $a=0$?

Что означает отрицательная проекция скорости $v_x<0$?

В чем измеряется угловая частота в системе СИ?

Слайд 25. Шпаргалка: Математический аппарат

Проекция вектора $\vec{A}$ на ось:

$A_x=A\cos \alpha$ (если $\alpha$ — угол с осью).

Производная координаты по времени — это скорость: $v_x(t)=x^{\prime }(t)$.

Производная скорости по времени — это ускорение: $a_x(t)=v_x^{\prime }(t)$.

Слайд 26. Задача №5.

Тело движется вдоль оси $OX$ так, что его координата меняется по закону $x=10+5t-2t^2$. Опишите характер движения, найдите начальную скорость, ускорение и момент времени, когда тело остановится.

Подсказка: Сравните с общим видом $x(t)=x_0+v_{0x}t+\frac{a_x{t}^2}{2}$.

Слайд 27. Подведение итогов

Кинематика описывает движение, не касаясь его причин.

Главные уравнения связывают координату, скорость, ускорение и время.

Для решения задач критически важен выбор системы отсчета и учет знаков проекций.

Движение по окружности всегда происходит с ускорением, даже при $v=\text{const}$.