Перестановки. Факториал. Сочетания и число сочетаний
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятия факториала, перестановки и сочетания, научить вычислять их значения и применять формулы при решении комбинаторных задач, в том числе в контексте подготовки к ОГЭ.
- Образовательная задача: Вывести формулы числа перестановок и числа сочетаний, познакомить с обозначением n!.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через классификацию типов задач (важен порядок или нет).
- Воспитательная задача: Формировать навыки самоконтроля и ответственного отношения к подготовке к государственной итоговой аттестации.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в современном мире.
- Умение противостоять стрессовым ситуациям во время проверочных работ и экзаменов за счёт уверенного владения алгоритмами.
- Критичность мышления, умение распознавать логически ошибочные рассуждения.
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективные способы решения задач, строить логическую цепь рассуждений.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции своих действий в соответствии с меняющейся ситуацией.
- Коммуникативные: умение аргументированно выражать свою позицию, участвовать в учебном диалоге.
Предметные
- Знать определение факториала и формулы для вычисления числа перестановок $P_n$ и сочетаний $C_n^k$.
- Уметь различать задачи на перестановки и сочетания по признаку важности порядка элементов.
- Владеть навыками вычисления комбинаторных выражений, содержащих факториалы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование учебной мотивации через связь темы с реальными задачами ОГЭ.
- Развитие навыков самооценки на основе критерия успешности учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Планирование пути достижения цели на основе алгоритма решения комбинаторных задач.
- Умение адекватно оценивать правильность выполнения действия и вносить коррективы.
Познавательные УУД
- Синтез — составление целого из частей при выводе формулы сочетаний.
- Классификация объектов по заданным критериям (наличие или отсутствие упорядоченности).
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог при обсуждении проблемных вопросов.
- Интеграция в группу сверстников и построение продуктивного взаимодействия.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с задачами-прототипами ОГЭ (Задание 10).
- Распечатать раздаточный материал «Алгоритм выбора формулы» (15 экз. — по одному на парту).
- Подготовить карточки для самостоятельной работы с самопроверкой (30 экз.).
- Записать на доске ключевые буквенные обозначения: $n!$, $P_n$, $C_n^k$.
- Проверить работоспособность калькуляторов (если предусмотрено использование для больших вычислений).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, показать практическую значимость темы для успешной сдачи ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня у нас важная тема. Вы знаете, что в ОГЭ по математике задание №10 посвящено теории вероятностей. Но чтобы решать сложные задачи этого типа, нужно виртуозно владеть комбинаторикой. Сегодня мы научимся считать способы выбора и расстановки объектов за секунды, не перечисляя их вручную». | Приветствуют учителя, проверяют наличие тетрадей и учебников, настраиваются на работу. |
2 мин | «Представьте ситуацию: вам нужно составить пароль из четырех цифр: 1, 2, 3, 4, причем цифры не повторяются. Или другой пример: из 25 человек в классе нужно выбрать двоих дежурных. Как вы думаете, в каком случае способов будет больше? И как их быстро посчитать? Это и будет темой нашего исследования». | Выдвигают гипотезы. Кто-то предполагает, что в пароле больше вариантов, так как важен порядок. Пытаются интуитивно оценить количество способов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ваши догадки интересны. Чтобы проверить их математически, нам понадобятся новые инструменты: факториал, перестановки и сочетания. Запишем тему урока».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить комбинаторное правило умножения как базу для вывода новых формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним правило умножения. Задача: В меню столовой 3 вида супа и 4 вида второго. Сколькими способами можно выбрать обед из двух блюд?» Учитель рисует схему на доске. | Отвечают: «Нужно 3 умножить на 4, получится 12 способов». Формулируют правило: если объект А можно выбрать m способами, а объект B — n способами, то пару (А, В) можно выбрать m * n способами. |
2 мин | «А если нам нужно расставить 3 книги на полке? Сколькими способами это можно сделать? Давайте посчитаем вместе: на первое место — любая из 3-х, на второе — любая из оставшихся 2-х, на третье — последняя 1. Итого?» | Считают: «3 * 2 * 1 = 6 способов». Записывают пример в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что количество способов — это произведение убывающих чисел. В математике для таких произведений есть специальное название».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания: Факториал и Перестановки (10 мин)
Цель этапа: ввести понятие факториала и формулу числа перестановок, отработать технику вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Запишем определение: Произведение всех натуральных чисел от 1 до n называется факториалом числа n и обозначается n!. Читается: "эн факториал". $n! = 1 * 2 * 3 * ... * n$. Давайте вычислим: 1!, 2!, 3!, 4!, 5!». Учитель записывает результаты на доске. | Записывают определение. Считают в тетрадях: «1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120». Удивляются скорости роста значений. |
6 мин | «Теперь вернемся к книгам. Мы расставляли n предметов по n местам. Такие комбинации называются перестановками. Число перестановок из n элементов обозначается $P_n$. Формула: $P_n = n!$. Решим задачу из ОГЭ: Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь в кассу?» | Записывают формулу. Решают задачу: «$P_5 = 5! = 120$». Один ученик записывает решение у доски. |
Запись в тетрадях
Факториал: $n! = 1 · 2 · 3 · ... · n$.
Перестановки (порядок важен, участвуют все элементы): $P_n = n!$.
Перестановки (порядок важен, участвуют все элементы): $P_n = n!$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «С перестановками всё ясно — мы просто меняем объекты местами. Но что если нам нужно не расставить всех, а только выбрать нескольких?»
Этап 4. Открытие нового знания: Сочетания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу числа сочетаний, научить отличать сочетания от перестановок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Рассмотрим задачу: Нужно выбрать 2-х дежурных из 3-х учеников (А, Б, В). Порядок выбора не важен (А-Б — это те же дежурные, что и Б-А). Давайте выпишем все пары». Учитель направляет: «АБ, АВ, БВ. Всего 3. А если бы мы выбирали президента и зама? Тогда АБ и БА — это разные варианты. Как связаны эти числа?» | Выписывают пары. Замечают, что если порядок не важен, вариантов в 2 раза меньше (т.к. $P_2 = 2$). Делают вывод: чтобы найти число выборок без учета порядка, нужно число упорядоченных выборок разделить на число перестановок внутри выборки. |
7 мин | «Такие выборки называются сочетаниями. Число сочетаний из n элементов по k обозначается $C_n^k$. Формула: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. Давайте вычислим число способов выбрать 2-х дежурных из 25 человек в классе». Учитель показывает прием сокращения факториалов. | Записывают формулу. Вычисляют: $C_{25}^2 = \frac{25!}{2! · 23!} = \frac{24 · 25}{2} = 12 · 25 = 300$. Учатся сокращать дроби с факториалами. |
Эталон решения
$C_{25}^2 = \frac{25!}{2!(25-2)!} = \frac{25!}{2! · 23!} = \frac{1 · 2 · ... · 23 · 24 · 25}{(1 · 2) · (1 · 2 · ... · 23)} = \frac{24 · 25}{2} = 300$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Главный вопрос комбинаторики: важен ли порядок? Если да — это перестановки (или размещения, которые мы изучим позже), если нет — сочетания».
Этап 5. Первичное закрепление (5 мин)
Цель этапа: закрепить навык выбора формулы в зависимости от условия задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель проводит блиц-опрос: «Я читаю условие, а вы поднимаете карточку: П (перестановки) или С (сочетания). 1. Выбрать 3 книги из 10 для чтения в отпуске. 2. Расставить 6 человек для фото. 3. Выбрать капитана и вратаря из 11 футболистов. 4. Выбрать 5 делегатов на конференцию из 20 человек». | Поднимают карточки. 1. С (порядок не важен). 2. П (порядок важен). 3. П (роли разные — порядок важен). 4. С (все делегаты равны). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, вы научились различать эти понятия. Теперь проверим, как вы справитесь с вычислениями самостоятельно».
Этап 6. Самостоятельная работа (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала в формате, близком к экзаменационному.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Раздает карточки с двумя задачами: 1. Найти значение выражения: $\frac{P_6 - P_5}{5!}$. 2. В ящике 10 деталей. Сколькими способами можно выбрать 3 детали для проверки? | Выполняют работу самостоятельно. 1. $\frac{720 - 120}{120} = \frac{600}{120} = 5$. 2. $C_{10}^3 = \frac{10 · 9 · 8}{1 · 2 · 3} = 120$. |
2 мин | Выводит правильные ответы на экран. «Проверьте себя. Если обе задачи верны — поставьте себе "5", если одна — "4"». | Сверяют ответы, проводят самопроверку, фиксируют результат. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Те, кто справился — молодцы, вы готовы к комбинаторным задачам ОГЭ. У кого возникли трудности с сокращением факториалов — обратите внимание на домашнее задание».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень понимания и дать инструкции по самоподготовке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Наш урок подходит к концу. Мы узнали, что такое факториал, и научились считать перестановки и сочетания. Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное: выберите тот уровень, который вам сейчас по силам». | Записывают задание в дневники. |
1 мин | «Заполните, пожалуйста, короткую анкету на выходе: что было самым сложным сегодня?» | Оставляют краткие записи на стикерах или отвечают устно. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выбраны формулы для обеих задач, вычисления выполнены без ошибок, продемонстрирован навык сокращения факториалов.
- «4» — Верно выбраны формулы, но допущена одна вычислительная ошибка, ИЛИ решена только одна задача полностью правильно.
- «3» — Ученик понимает разницу между перестановкой и сочетанием, но испытывает серьезные затруднения в вычислениях или записи формул.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В чем главное отличие сочетания от перестановки? | Проверка осознания ключевого признака — упорядоченности. |
Какое действие с факториалами показалось самым трудным? | Выявление технических пробелов в алгебраических навыках. |
Как вы оцениваете свою готовность решить задачу №10 из ОГЭ по этой теме? | Субъективная оценка уверенности перед экзаменом. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сделали важный шаг к успешному экзамену. Комбинаторика — это не просто сухие формулы, это умение видеть структуру задачи. Если вы научитесь быстро определять, важен ли порядок, то никакая задача на вероятность не поставит вас в тупик. На следующем уроке мы разберем размещения и научимся решать комбинированные задачи. Спасибо за работу, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 15.1, 15.5, 15.12. | Вычисление простых факториалов и применение формул $P_n$ и $C_n^k$ по образцу. |
Средний (повышающий) | Задачи из открытого банка ОГЭ (ФИПИ), раздел «Теория вероятностей» — 5 задач. | Решение текстовых задач, где нужно самостоятельно выбрать тип комбинации. |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать тождество: $C_n^k = C_n^{n-k}$. | Исследовательское задание на понимание свойств числа сочетаний (симметричность). |
Контрольный вопрос: «Сколькими способами можно выбрать 0 элементов из 10? Попробуйте ответить, используя формулу сочетаний дома».