Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха
Цели и задачи
- Цель: сформировать умение вычислять вероятность наступления первого успеха в серии независимых испытаний (геометрическое распределение).
- Предметная задача: ввести понятия «успех» и «неудача», вывести формулу вероятности первого успеха на k-м шаге.
- Развивающая задача: развивать навыки логического анализа условий задач и моделирования случайных процессов.
- Воспитательная задача: снизить экзаменационную тревожность через разбор типичных заданий ОГЭ по вероятности.
- Методическая задача: использовать системно-деятельностный подход для самостоятельного «открытия» формулы учениками.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Способность объективно оценивать свои шансы на успех в различных жизненных ситуациях.
- Развитие критического мышления при анализе статистической информации.
Метапредметные
- Умение выявлять причинно-следственные связи в случайных процессах.
- Навык построения математических моделей реальных ситуаций.
- Способность аргументированно защищать свою точку зрения в ходе дискуссии.
Предметные
- Знать определения понятий «испытание Бернулли», «успех», «неудача».
- Уметь вычислять вероятность неудачи через вероятность успеха.
- Владеть формулой вероятности того, что первый успех произойдет в k-м испытании.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание практической значимости теории вероятностей для успешной сдачи экзаменов.
Регулятивные УУД
- Самоконтроль: умение проверять правильность вычислений (сумма вероятностей не больше 1).
- Целеполагание: способность формулировать учебную задачу на основе сопоставления известного и неизвестного.
Познавательные УУД
- Моделирование: преобразование словесного условия задачи в математическую формулу.
- Анализ: выделение существенных признаков серии независимых испытаний.
Коммуникативные УУД
- Сотрудничество: умение работать в парах при проверке гипотез.
- Аргументация: четкое изложение хода решения задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с задачами из открытого банка ОГЭ (15 экземпляров — по одному на парту).
- Подготовить презентацию со слайдами: «Стрелок», «ПЦР-тест», «Формула успеха».
- Подготовить игральную кость для демонстрационного эксперимента.
- Открыть учебник «Вероятность и статистика» (Тюрин, Высоцкий) на главе «Геометрическое распределение».
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочую атмосферу, сфокусировать внимание учеников на практической пользе темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы разберем тему, которая часто вызывает вопросы на ОГЭ, хотя решается в одну строчку. Представьте, что вы сдаете зачет по физкультуре — прыжок в длину. У вас есть несколько попыток, и вы прыгаете до тех пор, пока не выполните норматив. Как только прыгнули удачно — идете отдыхать. Знакомая ситуация?" | Приветствуют учителя, настраиваются на работу, подтверждают жизненность ситуации с попытками. |
2 мин | "В математике это называется 'серия испытаний до первого успеха'. Сегодня мы научимся считать вероятность того, что успех придет именно во второй, в пятый или в десятый раз. Запишите тему урока: 'Испытание. Успех и неудача'." | Записывают число и тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы вывести формулу для таких ситуаций, нам нужно вспомнить базу — как работают независимые события."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить правило умножения вероятностей для независимых событий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним: если два события независимы, как найти вероятность того, что они произойдут одновременно? Например, я бросаю монету и кубик. Какова вероятность, что выпадет 'орел' И 'шестерка'?" | Отвечают: "Нужно перемножить вероятности. 1/2 умножить на 1/6, получится 1/12". |
2 мин | "Верно. А если событие А — это попадание в цель с вероятностью 0,7, то какова вероятность промаха? Как мы называем такие события?" | Отвечают: "Вероятность промаха 0,3. Это противоположные события, их сумма равна 1". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично. Эти два правила — умножение независимых и сумма противоположных — станут нашими главными инструментами сегодня."
Этап 3. Постановка проблемы и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: создать ситуацию затруднения, требующую вывода новой формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на слайд. Задача: 'Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,9. В магазине проверяют тостеры один за другим. Какова вероятность того, что ПЕРВЫЙ исправный тостер окажется ТРЕТЬИМ по счету при проверке?'. Обсудите в парах 1 минуту: что должно произойти с первым тостером? Со вторым? С третьим?" | Обсуждают в парах. Формулируют ответ: "Первый должен быть сломан, второй должен быть сломан, а третий — работать". |
2 мин | "Хорошо. А как это записать математически? Мы знаем вероятность успеха (0,9). Но как нам посчитать вероятность всей этой цепочки событий?" | Сталкиваются с затруднением в быстрой записи формулы для произвольного шага k. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Нам не хватает общего правила. Давайте его сконструируем."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести формулу геометрического распределения через Сократовский диалог.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Введем обозначения. Пусть вероятность успеха в одном испытании — это p. Тогда как мы обозначим вероятность неудачи? Правильно, буквой q, где q = 1 - p. Вернемся к тостерам. Успех (работает) — p = 0,9. Неудача (сломан) — q = ?" | Отвечают: "q = 1 - 0,9 = 0,1". |
4 мин | "Чтобы первый успех был на 3-м месте, цепочка должна быть такой: НЕУДАЧА, НЕУДАЧА, УСПЕХ. По правилу умножения: q * q * p. А если успех на 5-м месте? Какая будет цепочка?" | Диктуют: "Четыре неудачи и один успех: q * q * q * q * p". |
4 мин | "Давайте обобщим. Если успех происходит на k-м месте, сколько неудач ему предшествовало? Запишите формулу в тетрадь: P(k) = q^(k-1) * p. Это и есть формула вероятности первого успеха на k-м шаге. Почему в степени (k-1)?" | Записывают формулу. Отвечают: "Потому что мы промахиваемся k-1 раз, а последний раз попадаем". |
Запись в тетрадях
Испытание Бернулли: два исхода (Успех p, Неудача q = 1 - p).
Вероятность первого успеха на k-м испытании:
P(k) = (1 - p)k-1 · p
Вероятность первого успеха на k-м испытании:
P(k) = (1 - p)k-1 · p
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формула готова. Теперь проверим её в деле на задачах, которые реально встречаются в экзаменационных вариантах."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать применение формулы на типовых задачах ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Задача из банка ОГЭ: Вероятность того, что стекло при производстве окажется бракованным, равна 0,02. Найдите вероятность того, что ПЕРВОЕ найденное бракованное стекло будет ЧЕТВЕРТЫМ по счету. Решаем у доски." | Один ученик у доски, остальные в тетрадях. Пишет: p=0,02 (успех — найти брак!), q=0,98. P(4) = 0,98^3 * 0,02. |
3 мин | "Обратите внимание на подвох: в этой задаче 'успехом' считается нахождение брака, так как мы ищем именно его. Не путайте слова 'хороший' и 'успех' в статистике! Посчитайте примерное значение." | Вычисляют: 0,98^3 ≈ 0,941. 0,941 * 0,02 ≈ 0,01882. Округляют по требованию задачи. |
Эталон решения
1) Определение успеха: $p = 0,02$ (стекло бракованное).
2) Определение неудачи: $q = 1 - 0,02 = 0,98$ (стекло качественное).
3) Номер испытания: $k = 4$.
4) Формула: $P(4) = q^3 \cdot p = 0,98^3 \cdot 0,02$.
5) Расчет: $0,941192 \cdot 0,02 = 0,01882384$.
2) Определение неудачи: $q = 1 - 0,02 = 0,98$ (стекло качественное).
3) Номер испытания: $k = 4$.
4) Формула: $P(4) = q^3 \cdot p = 0,98^3 \cdot 0,02$.
5) Расчет: $0,941192 \cdot 0,02 = 0,01882384$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, вы поняли принцип. Теперь попробуйте самостоятельно справиться с чуть более сложной формулировкой."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "На карточках у вас две задачи. Первая — про стрелка, вторая — про ПЦР-тест. У вас 5 минут. Работаем самостоятельно. Кто решит первым — поднимает руку, я проверю." | Решают задачи в тетрадях. Задача 1: p=0,6, найти P(3). Задача 2: p=0,1, найти P(2). |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там эталон решения. Сверьте свои ответы. Если всё верно — поставьте себе на полях плюс." | Сверяют решения. Ответы: 1) 0,096; 2) 0,09. Анализируют ошибки, если они есть. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справились. Те, у кого возникли трудности с возведением в степень — не переживайте, на ОГЭ числа обычно более удобные."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознание пройденного материала, фиксация домашнего задания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте подведем итоги. Примените приём 'Билет на выход': на маленьком листочке напишите ответ на вопрос: 'В чем главная разница между вероятностью успеха p и вероятностью P(k)?'. Сдадите мне их на выходе." | Пишут ответы: "p — это шанс в одном броске, а P(k) — это шанс, что всё случится именно в k-й раз". |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Оно дифференцированное: базовый уровень для всех, а продвинутый — для тех, кто метит на 'пятерку' и хочет разобраться с более сложной статистикой." | Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе задачи самостоятельной работы, вычисления точные, логика объяснена.
- «4» — верно определена формула и подставлены значения, допущена одна вычислительная ошибка.
- «3» — правильно определены p и q, но допущена ошибка в определении степени (k вместо k-1).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое событие в задаче про брак мы называем 'успехом'? | Проверка понимания относительности термина 'успех' в статистике. |
Почему в формуле степень равна k-1, а не k? | Проверка осознания логической цепочки событий (неудачи предшествуют успеху). |
Где в реальной жизни нам может встретиться серия до первого успеха? | Формирование функциональной грамотности и связи с реальностью. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились просчитывать путь к успеху. В математике он описывается строгой формулой, но в жизни, как вы заметили, вероятность успеха часто зависит от количества попыток. Главное — не останавливаться после первой 'неудачи' q, ведь с каждым шагом мы приближаемся к своему p. На следующем уроке мы узнаем, как посчитать среднее количество попыток, которое требуется для достижения цели. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, № 14.5, 14.7 | Решить задачи на прямой расчет вероятности первого успеха (аналоги классных). |
Средний (повышающий) | Карточка, задача №3 | Задача с обратным условием: найти вероятность p, если известна P(2) и известно, что p > 0,5. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование | Подсчитать, сколько раз в среднем нужно бросить кубик, чтобы выпала 'шестерка', используя формулу для k=1, 2, 3...6. |
Контрольный вопрос: Если вероятность успеха p = 1/6, чему равна вероятность того, что первый успех произойдет не ранее, чем во втором испытании?