Тема урока: Измерение вероятностей с помощью частот
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие относительной частоты случайного события и научить оценивать вероятность события через статистические данные в контексте подготовки к заданию №10 ОГЭ.
- Образовательная задача: Познакомить с формулой относительной частоты, показать связь между частотой и вероятностью (закон больших чисел на интуитивном уровне).
- Развивающая задача: Развивать навыки анализа статистической информации и критического мышления при оценке рисков.
- Воспитательная задача: Снижать уровень тревожности перед экзаменами через отработку алгоритмов решения типовых задач ОГЭ.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания практической значимости математики.
- Умение противостоять заблуждениям, связанным с азартными играми и ложными статистическими выводами.
- Формирование ответственного отношения к обучению в период подготовки к государственной итоговой аттестации.
Метапредметные
- Познавательные: умение выявлять причинно-следственные связи при проведении случайных экспериментов, работать со статистическими таблицами.
- Регулятивные: умение планировать ход эксперимента, осуществлять самоконтроль при вычислениях.
- Коммуникативные: способность аргументированно представлять результаты своих наблюдений и участвовать в учебном диалоге.
Предметные
- Владение понятием «относительная частота события» и умение вычислять её по формуле W(A) = m/n.
- Понимание статистической устойчивости частот при большом количестве испытаний.
- Умение решать практико-ориентированные задачи на нахождение частоты и вероятности (формат задания 10 ОГЭ).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между математическими расчётами и реальной безопасностью (контроль качества, медицина).
- Нравственно-этическая ориентация в вопросах использования статистики.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что предстоит узнать.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации из статистических данных.
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
- Учет позиции собеседника при работе в парах.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить раздаточный материал: карточки для лабораторной работы (по 1 на парту, всего 15 шт.).
- Распечатать подборку задач из открытого банка ФИПИ (задание №10 ОГЭ) — на каждого ученика.
- Подготовить монеты (15 шт.) или кубики для проведения эксперимента.
- Создать презентацию со слайдами: «Классическое определение вероятности», «Таблица результатов эксперимента», «Задачи на частоту из ОГЭ».
- Проверить работу проектора и ноутбука.
- Открыть учебник «Вероятность и статистика» (авт. Высоцкий, Ященко) на странице 74.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: эмоционально настроить учащихся и создать «крючок» интереса через реальный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем урок с вопроса, который может встретиться вам не только на ОГЭ, но и при покупке нового смартфона. Представьте: завод выпускает 10 000 телефонов, и из них 20 оказываются бракованными. Как узнать вероятность того, что именно вам попадется исправный аппарат? Можем ли мы здесь применить классическую формулу с кубиками и монетами?» | Слушают учителя, настраиваются на работу, задумываются над вопросом о применимости классической вероятности. |
2 мин | «Вы уже знаете, что вероятность — это отношение благоприятных исходов к общему числу. Но в жизни мы не всегда можем заранее просчитать все исходы, как в игре в кости. Часто нам приходится полагаться на опыт, на статистику. Сегодня мы станем исследователями и узнаем, как частота событий помогает предсказывать будущее. Это знание — прямой путь к баллу в 10-м задании ОГЭ». | Отвечают: «В классической вероятности мы считаем варианты, а тут нам уже дали готовые числа из жизни». Фиксируют тему урока в тетрадях. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что классическая вероятность не всегда удобна. Чтобы понять, как работает статистика, нам нужно вспомнить базу».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить классическое определение вероятности и подготовить почву для введения понятия частоты.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Блиц-опрос»: «Ребята, давайте вспомним формулу классической вероятности. Чему равна вероятность выпадения 'орла' при одном броске монеты? А какова вероятность вытянуть туза из колоды в 36 карт? Запишите формулу P(A) = m/n на полях и расшифруйте переменные». | Отвечают с места: «1/2 или 0,5», «4/36 или 1/9». Записывают формулу в тетрадь, поясняя, что n — общее число равновозможных исходов, m — число благоприятных исходов. |
3 мин | «А теперь представьте, что монета у нас не идеальная, а немного погнутая. Будет ли вероятность выпадения орла по-прежнему 0,5? Как нам это проверить экспериментально? Правильно, нужно бросить её много раз. Вот это 'много раз' и есть основа статистического подхода». | Предполагают: «Нет, центр тяжести сместился», «Нужно провести много опытов и посмотреть, что выпадает чаще». Осознают ограниченность классической модели. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, классическая вероятность хороша для идеальных условий. Для реальных условий нам нужно новое понятие — относительная частота».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать проблему — различие между теоретическим ожиданием и практическим результатом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Проблемная ситуация»: «У вас на партах монеты. Бросьте монету 10 раз и запишите, сколько раз выпал орел. Поднимите руки те, у кого орел выпал ровно 5 раз. Видите? Теория говорит 0,5, а на практике у кого-то 3, у кого-то 7. Почему так происходит?» | Проводят мини-эксперимент, фиксируют результаты. Поднимают руки (обычно таких мало). Отвечают: «Случайность», «Мало бросков», «Везенье». |
3 мин | «Значит, при малом количестве испытаний результат может сильно отклоняться от теории. Как нам получить более точную оценку? Какое количество испытаний можно считать достаточным? В этом и заключается главная проблема статистики — переход от малых чисел к большим данным». | Формулируют проблему: «Результат одного человека случаен, нужно объединить данные всего класса». Приходят к выводу о необходимости увеличения числа испытаний. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Чтобы решить эту проблему, нам нужно научиться считать относительную частоту и понимать, как она ведет себя при росте числа опытов».
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести определение относительной частоты и продемонстрировать закон больших чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель вводит определение: «Запишем: Относительной частотой события А в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний m, в которых это событие произошло, к общему числу проведенных испытаний n. Формула выглядит так же: W(A) = m/n. Но смысл другой: n — это то, что УЖЕ произошло. Давайте заполним общую таблицу класса на доске. Диктуйте свои результаты: сколько орлов из 10?» Учитель суммирует данные класса на доске. | Записывают определение и формулу в тетрадь. По очереди называют свои результаты (например: 4, 6, 5, 3...). Наблюдают за заполнением общей таблицы. |
7 мин | Учитель использует приём «Сократовский диалог»: «Посмотрите на доску. У одного ученика частота была 0,3. У другого 0,7. А теперь давайте посчитаем общую частоту для всего класса (например, 150 бросков). Какое число получилось? (Допустим, 0,49). Что вы заметили? К какому числу приближается частота с ростом n? Это явление называется статистической устойчивостью. В задачах ОГЭ частоту часто просят использовать как оценку вероятности». | Вычисляют общую частоту. Замечают: «Чем больше бросков, тем ближе результат к 0,5». Делают вывод: «Частота колеблется вокруг вероятности, и при большом n они почти совпадают». Записывают термин «Статистическая устойчивость». |
Запись в тетрадях
Относительная частота события A: W(A) = m / n, где n — число испытаний, m — число появлений события A.
Закон больших чисел (интуитивно): При очень большом числе испытаний относительная частота события становится близка к его вероятности.
Закон больших чисел (интуитивно): При очень большом числе испытаний относительная частота события становится близка к его вероятности.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы вооружены формулой и пониманием. Пора переходить к тому, что вас ждет на экзамене».
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма решения задач формата ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран задачу: «В среднем на 1000 карманных фонариков приходится 4 неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный фонарик окажется исправен. Ответ округлите до сотых». Учитель комментирует: «Внимательно читайте вопрос! Спрашивают про исправные или неисправные? Это самая частая ловушка на ОГЭ». | Один ученик решает у доски, остальные в тетрадях. Анализируют условие: «Всего 1000, неисправных 4, значит исправных 1000 - 4 = 996». Вычисляют: 996 / 1000 = 0,996. Округляют до 1,00 или оставляют 0,996 (в зависимости от уточнения). |
4 мин | Учитель дает вторую задачу: «На каждые 160 поступивших в продажу аккумуляторов 148 заряжены. Найдите частоту того, что купленный аккумулятор будет не заряжен». Учитель просит применить формулу W(A) = m/n. | Решают самостоятельно. Находят число незаряженных: 160 - 148 = 12. Считают частоту: 12 / 160 = 3 / 40 = 0,075. Сверяют ответы в парах. |
Эталон решения
Задача про аккумуляторы:
1) Событие A = {аккумулятор не заряжен}.
2) Общее число испытаний n = 160.
3) Число появлений события A: m = 160 - 148 = 12.
4) Частота W(A) = 12 / 160 = 0,075.
Ответ: 0,075.
1) Событие A = {аккумулятор не заряжен}.
2) Общее число испытаний n = 160.
3) Число появлений события A: m = 160 - 148 = 12.
4) Частота W(A) = 12 / 160 = 0,075.
Ответ: 0,075.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы справились! Главное — внимательность к тексту задачи. Теперь попробуйте свои силы в самостоятельной работе».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностика усвоения темы и тренировка навыка работы с тестами ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает карточки с 3 задачами разного уровня сложности (базовый, средний, повышенный). «Ребята, у вас 5 минут. Задачи взяты из реальных вариантов ОГЭ прошлых лет. Работаем индивидуально. Если закончите раньше — на обратной стороне есть задача-звездочка». | Выполняют задания на карточках. Применяют формулу частоты, внимательно читают условия (исправные/бракованные, выигрышные/проигрышные). |
2 мин | Учитель выводит ответы на экран: «А теперь возьмите зеленые ручки и проверьте себя. Если все 3 верно — поставьте себе '5' на полях. Если 2 — '4'. Если меньше — подчеркните место, где возникла ошибка, мы разберем её позже». | Проводят самопроверку по эталону на экране. Фиксируют свои результаты, анализируют ошибки (вычислительные или логические). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что большинство из вас уже готовы к 10-му заданию. Давайте подведем итоги нашего исследования».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание результатов деятельности и постановка задач на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель использует приём «Билет на выход»: «Напишите на маленьком листочке один ответ на вопрос: 'В чем главное отличие частоты от классической вероятности?'. Сдадите мне на выходе». | Пишут краткие ответы (например: «Частота — это результат опыта, а вероятность — прогноз», «Частота считается после того, как все случилось»). Сдают листочки. |
3 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «ДЗ дифференцированное. Базовый уровень — для всех, остальные — по желанию. Обратите внимание на задачу №3 в продвинутом уровне — она про качество лекарств, это очень жизненно». | Записывают домашнее задание в дневники, задают уточняющие вопросы по уровням сложности. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно решены все 3 задачи самостоятельной работы, вычисления точны, ответы даны в виде десятичных дробей.
- «4» — Допущена одна негрубая ошибка (например, в округлении или одна вычислительная ошибка при верном ходе решения).
- «3» — Верно решена только 1 задача или 2 задачи решены с арифметическими ошибками, но формула W=m/n применена правильно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое задание из ОГЭ сегодня показалось самым простым? | Выявление уровня уверенности в теме. |
Почему частота 10 бросков монеты может не быть равной 0,5? | Проверка понимания случайности и закона малых чисел. |
Где в жизни, кроме школы, тебе может встретиться понятие частоты? | Оценка понимания практической значимости (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы сделали важный шаг. Вы увидели, что математика — это не только сухие цифры в учебнике, но и мощный инструмент для анализа реального мира. Частота помогает нам оценивать риски там, где теория бессильна. Теперь задание №10 на ОГЭ не должно вызывать у вас страха — вы знаете алгоритм и понимаете суть процесса. На следующем уроке мы углубимся в статистику и научимся строить диаграммы на основе этих частот. Всем спасибо за работу, вы сегодня были отличными исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, стр. 76, №142, №145. | Решить задачи на прямое вычисление относительной частоты по таблице данных. |
Средний (повышающий) | Сайт «Решу ОГЭ», раздел 10, задания №321456, №321457. | Отработка задач с подвохом (нахождение вероятности противоположного события). |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-исследование: «Частота букв в тексте». | Взять абзац из любой книги (100 слов), посчитать частоту появления буквы 'о' и сравнить с табличной частотой в русском языке. |
Контрольный вопрос: «Если частота события в 1000 опытах равна 0,001, сколько раз произошло это событие?»