Степень (валентность) вершины. Число ребер и суммарная степень вершин
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие степени вершины графа и вывести математическую зависимость между суммой степеней вершин и количеством ребер (лемма о рукопожатиях).
- Образовательная задача: Научить вычислять степени вершин, определять четность вершин и применять формулу связи ребер и степеней для решения практических задач.
- Развивающая задача: Развивать логическое мышление через построение гипотез и их проверку в ходе проблемного диалога.
- Воспитательная задача: Формировать навыки конструктивного сотрудничества в парах и ответственного отношения к самопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к адаптации в динамично изменяющейся информационной среде.
- Умение ясно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение выявлять закономерности на основе анализа объектов, строить логическую цепь рассуждений.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками в процессе парной работы.
- Регулятивные: способность к самоконтролю и коррекции своих действий в соответствии с меняющейся ситуацией.
Предметные
- Знать определение степени (валентности) вершины графа.
- Знать и уметь доказывать связь между суммой степеней вершин и числом ребер графа.
- Уметь определять возможность существования графа с заданными степенями вершин.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценности саморазвития и самообразования.
- Развитие познавательных интересов на основе решения нестандартных задач.
Регулятивные УУД
- Проектирование маршрута преодоления затруднений в обучении.
- Оценка правильности выполнения учебной задачи, собственных возможностей её решения.
Познавательные УУД
- Перевод информации из графической формы в знаково-символическую (таблицы, формулы).
- Установление причинно-следственных связей.
Коммуникативные УУД
- Аргументация своей позиции при обсуждении гипотез.
- Умение слушать и вступать в диалог.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для парной работы «Исследовательский лист» (по 1 на парту, 15 шт).
- Подготовить презентацию со схемами графов для визуализации проблемной ситуации.
- Распечатать дифференцированные карточки для самостоятельной работы (уровни А, Б, В).
- Проверить наличие учебников «Вероятность и статистика» (7 класс) на партах.
- Подготовить на доске заготовку таблицы для сбора данных исследования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент / Мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически подготовить учащихся к восприятию нового материала, создать ситуацию интриги.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы продолжаем наше путешествие по удивительному миру графов. На прошлом уроке мы узнали, что графы — это не просто точки и линии, а мощный инструмент для решения логических задач. Сегодня мы попробуем найти скрытую математику внутри самого графа." | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников и тетрадей на столах. |
2 мин | "Представьте ситуацию: в классе встретились 5 друзей. Каждый из них утверждает, что успел пожать руку ровно трем другим. Возможно ли такое? Не спешите отвечать 'да' или 'нет', просто подумайте, как мы могли бы это проверить с помощью графа?" | Слушают условие задачи. Начинают предлагать варианты: "Нарисовать точки-людей и соединить их линиями-рукопожатиями". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Интересная задача, правда? Чтобы ответить на неё точно, нам нужно познакомиться с характеристикой вершин графа, которую математики называют 'степенью'."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия теории графов, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Давайте вспомним алфавит нашей темы. Я называю определение, а вы — термин. Точки в графе — это? Линии, соединяющие точки — это? Если две вершины соединены ребром, как они называются?" | Отвечают хором или по поднятой руке: "Вершины", "Ребра", "Смежные вершины". |
3 мин | Учитель рисует на доске простой граф из 4 вершин и 3 ребер. "Посмотрите на вершину A. Сколько ребер из неё выходит? А из вершины B? Как вы думаете, как можно назвать это количество выходящих линий?" | Считают ребра у каждой вершины. Предполагают: "Количество связей", "Сила вершины", "Степень". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Совершенно верно. В математике это называется степенью или валентностью вершины. Давайте запишем определение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать основной вопрос урока и план исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вернемся к нашим друзьям. Пять человек, у каждого по 3 рукопожатия. На языке графов: может ли существовать граф с 5 вершинами, степень каждой из которых равна 3? Попробуйте быстро набросать такой граф в тетради." | Пытаются нарисовать граф. Сталкиваются с тем, что одна вершина всегда остается 'лишней' или не хватает ребра. |
2 мин | "Я вижу, у многих возникли трудности. Почему не получается? Есть ли какая-то связь между количеством вершин, их степенями и общим числом ребер? Это и будет целью нашего сегодняшнего исследования. Сформулируйте тему урока." | Формулируют: "Степень вершины и число ребер". Записывают тему в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, план действий: 1. Провести эксперимент. 2. Найти закономерность. 3. Вывести формулу."
Этап 4. Открытие нового знания — Исследование (12 мин)
Цель этапа: путем анализа данных вывести лемму о рукопожатиях. Применяется прием "Лаборатория".
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Работаем в парах. У вас на столах карточки с тремя разными графами. Ваша задача: для каждого графа посчитать количество ребер (E), степени каждой вершины и найти их сумму (S). Результаты занесите в таблицу на карточке." | В парах распределяют роли (один считает, другой записывает). Считают степени вершин, суммируют их, считают ребра. |
3 мин | Учитель вызывает представителей трех пар к доске для заполнения общей таблицы. "Посмотрите на колонку 'Сумма степеней' и 'Количество ребер'. Какую связь вы видите?" | Сравнивают числа (например: ребер 5, сумма степеней 10; ребер 6, сумма 12). Делают вывод: "Сумма степеней всегда в два раза больше числа ребер!" |
2 мин | "Почему так происходит? Представьте, что каждое ребро — это палочка. У неё два конца. Когда мы вставляем ребро в вершины, сколько концов добавляется к общей сумме степеней?" | Осознают: "Два конца — значит, каждое ребро дает +2 к общей сумме степеней". |
Запись в тетрадях
Лемма о рукопожатиях: Сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его ребер.
Формула: S = 2 * E, где S — сумма степеней, E — число ребер.
Формула: S = 2 * E, где S — сумма степеней, E — число ребер.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы можем ответить на вопрос про друзей. Если 5 человек пожали по 3 руки, сумма степеней 5 * 3 = 15. Может ли 2 * E быть равно 15?"
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: научиться применять полученную формулу при решении задач из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Откройте учебник на странице 84, задача №3. В графе 10 вершин, и каждая имеет степень 4. Сколько ребер в этом графе? Кто хочет решить у доски с объяснением?" | Один ученик у доски: "Вершин 10, степень каждой 4, значит сумма степеней S = 10 * 4 = 40. По формуле S = 2E, значит 40 = 2E, E = 20. Ответ: 20 ребер". |
3 мин | "А теперь задача на логику: может ли в графе быть ровно одна вершина нечетной степени? Подумайте, исходя из нашей формулы." | Рассуждают: "Сумма степеней должна быть четной (так как она равна 2E). Если все вершины четные, а одна нечетная, то сумма будет нечетной. Это невозможно!" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели еще одно важное правило: количество нечетных вершин в графе всегда четно. Это поможет нам быстро проверять задачи на возможность существования графа."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала, обеспечить дифференцированный подход.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Перед вами карточки трех цветов. Зеленая (Уровень А) — базовые задачи на расчет ребер. Желтая (Уровень Б) — задачи на проверку возможности существования графа. Красная (Уровень В) — творческая задача: нарисовать граф по заданным степеням или доказать невозможность. Выберите свой уровень и приступайте." | Выбирают карточку, решают задачи самостоятельно в тетрадях. |
2 мин | Выводит на экран эталоны ответов. "Сверьте свои результаты. Если есть ошибки — поставьте рядом знак вопроса, мы разберем их индивидуально." | Проверяют свои работы по эталону, фиксируют успехи или затруднения. |
Эталон решения (Уровень Б)
Задача: Существует ли граф со степенями вершин 1, 2, 2, 3, 3?
Решение: Сумма степеней S = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11.
Число 11 — нечетное. По лемме о рукопожатиях сумма степеней должна быть четной (S = 2E).
Ответ: Нет, такой граф не существует.
Решение: Сумма степеней S = 1 + 2 + 2 + 3 + 3 = 11.
Число 11 — нечетное. По лемме о рукопожатиях сумма степеней должна быть четной (S = 2E).
Ответ: Нет, такой граф не существует.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что большинство справилось. Те, кто выбрал красный уровень, удивили меня своими схемами!"
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить свою деятельность на уроке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Давайте вспомним, с какой проблемы мы начали? Смогли ли мы её решить математически? Что нового вы сегодня 'открыли' для себя? Используем прием 'Три М': назовите три момента, которые у вас сегодня получились лучше всего." | Отвечают: "Поняли, почему 5 друзей не могли пожать по 3 руки", "Узнали формулу суммы степеней", "Научились быстро считать ребра без рисунка". |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также разделено по уровням сложности. Обратите внимание на творческое задание — оно для самых смелых." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания выбранного уровня (А, Б или В), аргументация в задачах на существование графа полная и логичная.
- "4" — допущены 1-2 вычислительные ошибки при верном ходе рассуждений, или не закончено последнее задание.
- "3" — верно решены только базовые задачи на вычисление суммы степеней, допущены ошибки в применении леммы о рукопожатиях.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило помогло нам понять, что граф не существует? | Проверка усвоения леммы о рукопожатиях и следствия о четности. |
В какой момент урока вы почувствовали себя 'исследователем'? | Оценка эмоционального вовлечения и эффективности discovery-подхода. |
Где в реальной жизни нам может пригодиться умение считать связи между объектами? | Формирование функциональной грамотности и связи с практикой. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы отлично поработали в роли математиков-исследователей. Мы убедились, что за простыми линиями графа скрываются строгие законы. Помните, что математика — это не только цифры, но и умение видеть структуру там, где другие видят хаос. На следующем уроке мы узнаем, что такое 'пути' в графах и как найти самый короткий из них. Спасибо за урок, до свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, стр. 85, №4, №5 | Вычислить количество ребер по заданным степеням вершин. |
Средний (повышающий) | Учебник, стр. 86, №8 | Определить, может ли существовать карта дорог между городами с заданным числом выездов. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача-исследование | Докажите, что в любой группе людей число тех, кто знаком с нечетным числом людей из этой группы, четно. |
Контрольный вопрос: Если в графе все вершины имеют степень 3, может ли общее количество вершин быть равным 7? Почему?