Граф, вершина, ребро; Представление задачи с помощью графа
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут определять элементы графа (вершины, ребра) и самостоятельно строить граф по условию текстовой задачи для визуализации связей между объектами.
- Образовательная задача: Познакомить учащихся с основными понятиями теории графов и алгоритмом перевода текстовой задачи на язык графических моделей.
- Развивающая задача: Развивать навыки моделирования, логического мышления и умение анализировать структуру данных.
- Воспитательная задача: Формировать навыки конструктивного сотрудничества в парах и группах, а также критическое отношение к результатам своей деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Развитие готовности к саморазвитию и самообразованию.
- Формирование умения ясно, точно и грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие критичности мышления при анализе различных способов решения задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение создавать, применять и преобразовывать знаково-символические средства для решения учебных задач.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения.
- Коммуникативные: умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками.
Предметные
- Знать определения понятий «граф», «вершина», «ребро».
- Уметь изображать графы по текстовому описанию ситуации.
- Уметь извлекать информацию из графических моделей (графов).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Самоконтроль и коррекция действий в ходе групповой работы.
Познавательные УУД
- Моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
- Интеграция в группу сверстников и продуктивное взаимодействие.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для групповой работы (3 уровня сложности) — по 1 комплекту на группу из 4 человек (всего 8 комплектов).
- Подготовить презентацию со схемами (схема метро, карта авиалиний, генеалогическое древо).
- Проверить наличие цветных маркеров для доски (черный, красный, синий) для выделения вершин и ребер.
- Распечатать «Билеты на выход» (короткая анкета рефлексии) на каждого ученика.
- Подготовить учебники «Вероятность и статистика» 7 класс (под ред. И.В. Ященко или аналогичный).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой на работу, продемонстрировать актуальность визуализации данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята! Сегодня мы начинаем изучение темы, которая на первый взгляд кажется рисованием, но на самом деле является мощнейшим инструментом в логике, программировании и статистике. Посмотрите на экран (слайд со схемой метро). Как вы думаете, что общего у этой схемы, карты авиаперелетов и вашего семейного древа?" | Приветствуют учителя. Рассматривают слайд. Предполагают: "Это всё схемы", "Там есть точки и линии", "Они показывают связи между городами или людьми". |
2 мин | "Верно. Все эти объекты объединяет способ представления информации. Сегодня мы узнаем, как математики называют такие 'паутинки' и как они помогают решать задачи, которые на слух кажутся очень запутанными." | Слушают учителя, настраиваются на изучение новой темы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что схемы окружают нас повсюду. Давайте попробуем разобраться, из чего они состоят."
Этап 2. Актуализация знаний и постановка проблемы (7 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении задачи без визуализации, сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Послушайте задачу: В турнире по шахматам участвуют 5 человек: Андрей, Борис, Виктор, Геннадий и Дмитрий. Каждый должен сыграть с каждым по одной партии. Сколько всего партий будет сыграно? Попробуйте быстро дать ответ и объяснить, как вы считали." | Пытаются считать в уме. Дают разные ответы: "25", "20", "10". Испытывают затруднение в объяснении системы подсчета. |
4 мин | "Вижу, мнения разошлись. А теперь посмотрите, как это можно сделать наглядно. (Рисует 5 точек на доске). Если мы обозначим людей точками, а партии — линиями, станет ли нам проще? Как бы вы назвали такую конструкцию? Давайте откроем учебник на странице 84 и найдем научное название." | Открывают учебники, ищут термин. Отвечают: "Это называется граф". Формулируют цель: "Научиться строить графы и использовать их для решения задач". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, наша цель — освоить язык графов. Запишем тему урока: 'Граф, вершина, ребро'."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: ввести основные понятия темы, разобрать элементы графа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Внимательно прочитайте первый абзац параграфа. Из каких двух основных элементов состоит любой граф? Дайте определение своими словами. (Рисует на доске граф из 4 вершин). Покажите на моем рисунке вершину и ребро. Может ли быть вершина без ребра? А ребро без вершины?" | Читают учебник. Отвечают: "Вершины — это точки, ребра — это линии, соединяющие их". Ученик выходит к доске, обводит вершину красным, а ребро синим. Обсуждают: "Вершина без ребра может быть (изолированная), а ребро без двух концов — нет". |
5 мин | "Давайте вернемся к нашей задаче про шахматистов. Учитель рисует 5 точек, подписывает их первыми буквами имен. 'Андрей сыграл с Борисом, Виктором, Геной и Димой' — проводит 4 линии. 'Борис уже сыграл с Андреем, проводим линии к остальным...'. Сколько линий вышло из каждой точки? Как мы можем быстро посчитать общее количество?" | Следят за построением. Записывают в тетрадь: "Из каждой вершины выходит 4 ребра. Всего 5 вершин. 5 * 4 = 20. Но каждое ребро мы посчитали дважды! Значит, 20 / 2 = 10 партий". |
Запись в тетрадях
Граф — это совокупность точек (вершин) и линий (ребер), соединяющих эти точки.
Вершины обозначают объекты, ребра — связи между ними.
Вершины обозначают объекты, ребра — связи между ними.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы узнали азбуку графов. Теперь проверим, сможете ли вы 'читать' и 'писать' на этом языке в парах."
Этап 4. Первичное закрепление. Работа в парах (7 мин)
Цель этапа: отработка навыка построения графа по текстовому условию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Применяем прием 'Подумай — обсуди в паре'. Задание: В семье 4 человека: Мама, Папа, Сын, Дочь. Известно, что Мама дружит с Папой и Дочерью, Папа дружит со всеми, Сын дружит только с Папой. Постройте граф 'Дружба в семье'. Сначала каждый рисует сам в тетради 1 минуту, затем 1 минуту обсуждаете с соседом." | Работают самостоятельно, затем сравнивают рисунки с соседом. Исправляют ошибки, если кто-то забыл соединить Папу со всеми. |
5 мин | "Давайте проверим. Кто хочет изобразить свой вариант на доске? Есть ли другие способы расположить вершины? Изменится ли от этого смысл графа?" | Один ученик рисует на доске. Класс обсуждает: "Вершины можно ставить как угодно, главное — правильно соединить их ребрами. Смысл (структура) остается тем же". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, вы справились с бытовой задачей. Теперь перейдем к более сложным испытаниям в группах."
Этап 5. Групповая работа. Задания разной сложности (10 мин)
Цель этапа: дифференцированное закрепление материала, развитие навыков командной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Разделитесь на группы по 4 человека. Каждая группа получает конверт с тремя задачами разного уровня сложности: 'Зеленая' (базовая), 'Желтая' (логическая), 'Красная' (комбинаторная). Вы можете распределить их внутри группы или решать вместе. Ваша задача — представить решение на листе А4." | Формируют группы, распределяют задачи. Изучают условия. |
7 мин | Учитель обходит группы, консультирует, использует сократовский диалог: "А что в этой задаче мы обозначим вершиной? А как показать, что дороги между городами односторонние? (намек на стрелки)". | Активно обсуждают. Решают задачи. Рисуют графы. Зеленая: Соединить 6 городов дорогами по списку. Желтая: Установить, кто в какой квартире живет, используя граф соответствия. Красная: Посчитать количество способов составить меню из 3 блюд. |
2 мин | "Время вышло. Прикрепите ваши листы на доску. Давайте сравним решения красной задачи. У всех ли получились одинаковые графы?" | Вывешивают работы. Проводят краткий визуальный аудит работ других групп. |
Эталон решения (Красная задача)
Для выбора из 2 супов (С1, С2) и 3 вторых блюд (В1, В2, В3) строится двудольный граф. Каждая вершина множества {С} соединяется со всеми вершинами множества {В}. Количество ребер: $2 \times 3 = 6$. Ответ: 6 способов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы поработали продуктивно. Мы увидели, что графы помогают не только в шахматах, но и в логике, и даже в кулинарии!"
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (8 мин)
Цель этапа: осознание учеником результатов своей деятельности, оценка уровня усвоения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Наш урок подходит к концу. Раздаю вам 'Билеты на выход'. Заполните их, пожалуйста. Это поможет мне понять, что нам нужно повторить на следующем уроке. Пока вы заполняете, я запишу домашнее задание на доске." | Индивидуально заполняют анкеты рефлексии (что понял, что было трудно, где пригодятся графы). |
4 мин | "Посмотрите на домашнее задание. Оно также разделено по уровням. Вы обязаны выполнить базовый уровень, а средний или продвинутый — на ваш выбор. Спасибо за работу!" | Записывают ДЗ в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно построены графы ко всем трем задачам в группе, вершины четко обозначены, связи соответствуют условию, дан верный численный ответ.
- «4» — Допущены незначительные ошибки в построении одного из графов (например, пропущено одно ребро), но логика решения верна.
- «3» — Построен только один базовый граф (зеленая задача), в остальных задачах есть серьезные ошибки в структуре графа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое определение графа ты бы дал другу, который пропустил урок? | Проверка усвоения понятийного аппарата. |
Что было самым сложным при переводе текста задачи в рисунок? | Выявление затруднений в моделировании. |
Где в реальной жизни ты видел графы, кроме тех примеров, что были на уроке? | Оценка способности к переносу знаний в новый контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли для себя удивительный мир теории графов. Вы убедились, что сложная текстовая задача становится простой и понятной, как только мы превращаем её в схему из точек и линий. Это умение — видеть структуру за словами — пригодится вам не только на уроках математики, но и в программировании, биологии и даже при планировании своего дня. На следующем уроке мы узнаем, какие бывают виды графов и что такое 'пути'. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник, стр. 86, №142, №144 | Построить граф по описанию знакомств и дорог между поселками. |
Средний (повышающий) | Учебник, стр. 87, №148 | Решить логическую задачу о распределении ролей в спектакле с помощью графа. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Нарисовать граф своих перемещений по школе в течение дня (вершины — кабинеты/зоны). |
Контрольный вопрос: Может ли существовать граф, в котором 3 вершины и 4 ребра? Попробуйте нарисовать его дома.