Вычитание обыкновенных дробей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями и смешанные числа, а также применять алгоритм при решении не менее четырёх из пяти учебных и практических заданий.
- Образовательная задача: вывести и сформулировать правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и алгоритм вычитания смешанных чисел.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать запись дроби, выбирать способ решения, объяснять ход рассуждений и находить ошибку.
- Коммуникативная задача: формировать умение работать в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументированно проверять решение одноклассника.
- Воспитательная задача: развивать аккуратность вычислений, ответственное отношение к общей работе и уверенность при преодолении учебного затруднения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску способа вычитания дробей через решение жизненной задачи.
- Осознают значение аккуратной записи и проверки результата для предупреждения ошибок.
- Развивают положительное отношение к совместной работе и готовность спокойно исправлять собственные ошибки.
- Оценивают собственный прогресс по критериям «могу объяснить правило» и «могу применить алгоритм».
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе обнаруженного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия задачи, математической записи и схемы отрезка.
- Сравнивают два способа решения, выявляют ошибку в готовом вычислении и обосновывают исправление.
- Осуществляют взаимопроверку по эталону, фиксируют результат и корректируют решение.
- Используют математическую речь для объяснения алгоритма и взаимодействуют в паре при обсуждении ответа.
Предметные
- Знают правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.
- Умеют вычитать дроби с одинаковыми знаменателями, сохраняя знаменатель и вычитая числители.
- Умеют выполнять вычитание смешанных чисел, если дробная часть уменьшаемого не меньше дробной части вычитаемого.
- Владеют алгоритмом выделения целой части и занимания одной единицы при вычитании смешанных чисел.
- Умеют решать текстовые задачи на нахождение разности дробных величин и проверять правдоподобие ответа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и принимают ответственность за точность своего вычисления.
- Связывают изучаемое действие с практической ситуацией измерения оставшейся части величины.
- Формируют смыслообразование через понимание, зачем уметь находить разность дробных чисел.
- Проявляют готовность воспринимать ошибку как основание для дальнейшего обучения.
Регулятивные УУД
- Принимают и удерживают цель: научиться вычитать дроби и смешанные числа.
- Планируют решение по шагам: определить вид чисел, выполнить действие, сократить результат, проверить.
- Сверяют промежуточные действия с правилом и эталоном.
- Обнаруживают причину ошибки и вносят исправления.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных заданий и степени самостоятельности.
Познавательные УУД
- Выделяют числитель и знаменатель как существенные части дроби.
- Моделируют вычитание с помощью отрезка, разделённого на равные доли.
- Сравнивают запись вычитания дробей с записью сложения дробей.
- Обобщают частные случаи в алгоритм вычитания смешанных чисел.
- Анализируют неверное решение и объясняют, на каком шаге нарушено правило.
Коммуникативные УУД
- Слушают партнёра и уточняют, почему знаменатель сохраняется.
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Распределяют действия в паре: один решает, другой проверяет, затем меняются ролями.
- Аргументированно подтверждают или опровергают предложенное решение.
- Соблюдают правила диалога и корректно сообщают об обнаруженной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: круг и отрезок, разделённые на равные доли; правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями; алгоритм вычитания смешанных чисел.
- Распечатать карточки для работы в парах: по одной карточке на парту, всего по числу парт в классе; на карточках разместить задания трёх уровней.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика и два запасных.
- Подготовить цветные полоски бумаги, разделённые на 6 и 8 равных частей, по одной полоске на пару.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать на доске проблемную задачу: «В бутылке было $\frac{5}{6}$ л сока. Выпили $\frac{2}{6}$ л. Сколько сока осталось?»
- Подготовить эталон решения для самопроверки: $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
- Организовать на доске место для темы, цели, алгоритма и критериев оценивания; подготовить маркеры или мел.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для коротких заданий и сигнальные карточки для взаимопроверки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, вызвать интерес к теме и включить учащихся в решение практической задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к открытию»: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетрадь, ручку, учебные материалы и карточку для быстрых записей. Сегодня нам понадобится не только точность вычислений, но и умение объяснять каждый шаг. Положите перед собой цветную полоску, которую я раздам каждой паре». | Проверяют принадлежности, садятся в пары, получают полоску бумаги и записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране задачу: «В бутылке было $\frac{5}{6}$ л сока. Выпили $\frac{2}{6}$ л. Сколько сока осталось? Не спешите называть действие: сначала покажите на полоске, какую часть нужно убрать. Подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом». Учитель использует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Делят полоску на шесть равных частей, выделяют пять частей, две закрывают или зачеркивают, обсуждают в паре и предполагают: «Осталось три шестых, то есть половина литра». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что жизненная задача приводит нас к вычитанию дробей. Сейчас проверим, как записать такое действие математически и почему один элемент дроби сохраняется, а другой изменяется».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о строении дроби, равных долях и сложении дробей с одинаковыми знаменателями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: «Назовите числитель и знаменатель дроби $\frac{7}{9}$. Что показывает знаменатель? Что показывает числитель? Сравните дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{6}{8}$. Какая из них больше и почему?» Учитель фиксирует ключевые слова на доске. | Отвечают: «9 — число равных частей, 7 — сколько частей взяли»; сравнивают дроби и формулируют: «При одинаковых знаменателях больше та дробь, у которой больше числитель». |
2 мин | Учитель предлагает две записи: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}$ и $\frac{4}{9}+\frac{2}{9}$. «Выполните действия в тетради. Проговорите правило соседу: что происходит со знаменателем и числителями?» | Решают: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$, $\frac{4}{9}+\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Объясняют: «Знаменатель сохраняется, числители складываются; результат при необходимости сокращается». |
2 мин | Учитель показывает неверную запись $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{16}$ и спрашивает: «Согласны ли вы? Проверьте ошибку с помощью рисунка или здравого смысла. Что изменилось неправильно?» | Работают в парах, зачёркивают неверный ответ и исправляют: $\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$. Объясняют: «Нельзя складывать знаменатели, потому что доли остаются восьмыми». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что одинаковые знаменатели обозначают одинаковый размер долей, а при сложении меняются числители. Теперь попробуем перенести эту закономерность на вычитание и найдём место, где может возникнуть затруднение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить учебное затруднение и совместно сформулировать цель и план урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=?$ и $2\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}=?$. «Первый пример, вероятно, можно выполнить по аналогии со сложением. А во втором дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Попробуйте решить оба выражения. На каком шаге остановились? Чего пока не хватает?» | Решают первый пример и получают $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Во втором примере фиксируют затруднение: «Нельзя вычесть $\frac{3}{5}$ из $\frac{1}{5}$ обычным способом; нужно занять одну целую». |
2 мин | Учитель применяет «Снежный ком»: «Сначала каждый запишите, чему нужно научиться. Затем объединитесь в пары, выберите общую формулировку и представьте её классу. На доске зафиксируем цель и шаги». Учитель направляет ответы к плану: вычесть дроби с одинаковыми знаменателями; научиться занимать единицу в смешанном числе; проверить результат. | Формулируют цель: «Научиться вычитать дроби и смешанные числа». Предлагают план: «Вспомнить правило, вывести алгоритм, потренироваться, выполнить самостоятельную работу и проверить ответ». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение найдено: при вычитании смешанных чисел иногда нельзя сразу вычесть дробные части. Наша задача — понять, как преобразовать запись, не изменяя самого числа, и затем уверенно применять алгоритм».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и алгоритм вычитания смешанных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к полоске: «На модели было пять шестых, две шестых убрали. Сколько равных долей осталось? Запишем: $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}$. Доли одинакового размера, поэтому знаменатель не меняется. Сколько долей осталось? Как записать правило словами?» | На модели оставляют три части из шести, записывают $\frac{5}{6}-\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Формулируют: «Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним». |
3 мин | Учитель показывает на доске пример $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}$: «Работаем по алгоритму вслух: знаменатели одинаковые; вычитаем числители; сокращаем результат, если возможно. Запишите каждый шаг и объясните, почему $\frac{4}{8}$ можно заменить на $\frac{1}{2}$». | Записывают и проговаривают: $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. Объясняют сокращение на 4. |
4 мин | Учитель демонстрирует преобразование смешанного числа на модели единицы: «Рассмотрим $2\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}$. Из двух целых одно целое представим как $\frac{5}{5}$: $2\frac{1}{5}=1+\left(\frac{5}{5}+\frac{1}{5}\right)=1\frac{6}{5}$. Теперь дробную часть можно вычесть. Запишите алгоритм: занять одну целую, представить её дробью с нужным знаменателем, выполнить вычитание дробных частей и целых частей, сократить результат». | Записывают преобразование $2\frac{1}{5}=1\frac{6}{5}$, затем вычисляют $1\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$. В парах объясняют, откуда взялись $5/5$ и число $6/5$. |
Запись в тетрадях
$\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}$, если $a\ge b$. Для вычитания смешанных чисел, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занимают одну целую: $m\frac{a}{c}=(m-1)\frac{c+a}{c}$.
Эталон решения
$2\frac{1}{5}-1\frac{3}{5}=1\frac{6}{5}-1\frac{3}{5}=0\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$. Шаг 1: сравнить дробные части $\frac{1}{5}<\frac{3}{5}$. Шаг 2: занять одну целую, получив $\frac{5}{5}+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$. Шаг 3: вычесть целые части и дробные части. Шаг 4: записать правильную дробь и проверить, что результат меньше уменьшаемого.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели два связанных правила. При одинаковых знаменателях сохраняем знаменатель и работаем с числителями, а при недостатке дробной части сначала занимаем одну целую. Теперь проверим новый алгоритм на коротких заданиях с проговариванием».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм вычитания дробей и смешанных чисел через совместное решение и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет приём «Математический тренер»: «В первой задаче один ученик решает, второй вслух называет шаги алгоритма. Во второй задаче поменяйтесь ролями. После каждого примера поставьте знак проверки и сравните решение с правилом на доске». | Распределяют роли в паре, читают задания и готовят тетради. |
3 мин | Учитель предлагает задания: $\frac{11}{12}-\frac{5}{12}$; $3\frac{2}{7}-1\frac{5}{7}$. Подходит к парам, задаёт вопросы: «Одинаковы ли знаменатели? Нужно ли занимать целую? Как представить целую дробь?» | Решают и проговаривают: $\frac{11}{12}-\frac{5}{12}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$; $3\frac{2}{7}-1\frac{5}{7}=2\frac{9}{7}-1\frac{5}{7}=1\frac{4}{7}$. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: «Обменяйтесь тетрадями. Найдите в работе партнёра два правильных шага и один момент, который нужно проверить. Используйте формулу “Две звезды и пожелание”, но математическое замечание должно быть конкретным». | Проверяют решения партнёра, отмечают правильное сокращение и правильное занимание единицы, формулируют замечание: «Проверь знаменатель» или «Не забудь сократить дробь». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм уже работает в паре, но важно проверить, сможете ли вы применить его самостоятельно и не перепутать действия при занимании единицы. Сейчас каждый выполнит короткую работу без подсказки соседа».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное владение алгоритмом и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт листы трёх уровней: «Выполните обязательный набор, а затем выберите задание повышенного уровня, если готовы. Записывайте промежуточные шаги. Задания: 1) $\frac{9}{10}-\frac{4}{10}$; 2) $\frac{13}{15}-\frac{7}{15}$; 3) $4\frac{1}{6}-2\frac{5}{6}$; 4) из $\frac{7}{8}$ м ленты отрезали $\frac{3}{8}$ м. Сколько метров осталось? Повышенное: сравните два способа записи решения третьего задания и объясните, какой короче». | Индивидуально решают четыре обязательных задания, в текстовой задаче выделяют данные и записывают ответ с единицей измерения. Желающие выполняют повышенное задание. |
2 мин | Учитель открывает эталон на доске: $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$; $\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$; $4\frac{1}{6}=3\frac{7}{6}$, поэтому $3\frac{7}{6}-2\frac{5}{6}=1\frac{2}{6}=1\frac{1}{3}$; $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$. «Сверьте не только ответы, но и каждый шаг». | Сверяют решения с эталоном, ставят рядом плюс или знак вопроса, подчёркивают место ошибки. |
2 мин | Учитель проводит коррекцию: «Если ответ отличается, определите причину: перепутали числители и знаменатели, не сократили дробь или неверно заняли целую. Поднимите жёлтую карточку, если нужна проверка одного шага, зелёную — если готовы объяснить решение». | Исправляют ошибку красной ручкой или дописывают пропущенный шаг; показывают цвет карточки и при необходимости задают конкретный вопрос. |
Эталон решения
$\frac{9}{10}-\frac{4}{10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$. $\frac{13}{15}-\frac{7}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$. $4\frac{1}{6}-2\frac{5}{6}=3\frac{7}{6}-2\frac{5}{6}=1\frac{2}{6}=1\frac{1}{3}$. В задаче о ленте: $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм понятен, а наиболее важный контрольный момент — сравнение дробных частей смешанных чисел. Осталось обобщить правило, назвать типичные ошибки и оценить достижение нашей цели».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ действия, оценить результат и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Закончи фразу»: «Сегодня я научился… Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями звучит так… Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то…» | По очереди или письменно заканчивают фразы: «числители вычитаются, знаменатель сохраняется»; «занимаем одну целую и представляем её дробью с нужным знаменателем». |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: «Можно ли при вычитании $frac{3}{8}-\frac{1}{8}$ вычесть знаменатели? Почему? Что нужно сделать в выражении $2\frac{1}{4}-1\frac{3}{4}$? Как проверить правдоподобие ответа?» | Отвечают: «Нет, знаменатель показывает размер доли»; «занять одну целую, получить $1\frac{5}{4}$»; «результат должен быть неотрицательным и меньше уменьшаемого». |
2 мин | Учитель раздаёт или показывает «Билет на выход»: «Запишите одно правило, один пример и одну возможную ошибку. Внизу поставьте самооценку: зелёный — могу решать самостоятельно, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь». Сообщает домашнее задание. | Заполняют билет на выход, выбирают цвет самооценки, записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами открыли правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями и способ занимать целую в смешанном числе. Проверьте дома не только ответ, но и запись каждого шага. На следующем уроке мы продолжим работу с действиями над дробями и рассмотрим более сложные выражения».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все четыре обязательных задания самостоятельной работы, правильно выполнено сокращение дробей, в задаче записан ответ с единицей измерения, алгоритм применён без подсказки.
- «4» — верно выполнены три обязательных задания из четырёх, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но правило и занимание целой применены правильно.
- «3» — верно выполнены два обязательных задания, ученик понимает правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями, но допускает ошибки при сокращении или занимании целой.
- Ниже отметки «3» — алгоритм пока воспроизводится с существенной помощью; необходимо разобрать ошибочный шаг и выполнить аналогичное задание с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вычитании дробей с одинаковыми знаменателями? | Выявление осознания основного правила и его словесной формулировки. |
На каком шаге вычитания смешанных чисел нужно быть особенно внимательным? | Выявление понимания операции занимания одной целой. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Определение индивидуальных точек затруднения для коррекционной работы. |
Сможете ли вы объяснить алгоритм однокласснику? Какой цвет самооценки выбираете? | Формирование навыка самооценки и планирование дальнейшей тренировки. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить разность дробей с одинаковыми знаменателями и увидели, как одна целая помогает выполнить вычитание смешанных чисел. Самая частая ошибка — вычесть знаменатели или забыть сократить результат, поэтому обязательно проверяйте каждый шаг. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, сначала занимайте одну целую и представляйте её дробью с нужным знаменателем. На следующем уроке мы продолжим действия с дробями и будем составлять более сложные выражения».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 примеров на вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, включая 2 примера с последующим сокращением результата; записать правило словами. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на сохранение знаменателя и сокращение дроби. |
Средний (повышающий) | Решить 4 примера на вычитание смешанных чисел: в двух дробная часть уменьшаемого больше, в двух требуется занимание одной целой; выполнить проверку двух ответов. | Формирует умение выбирать способ действия; проверить корректность преобразования целой части и порядок вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить одну практическую задачу на нахождение остатка дробной величины и одну задачу на вычитание смешанных чисел; кратко объяснить, почему ответ реалистичен. | Развивает создание математической модели и функциональную грамотность; проверить соответствие условия, действия и ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями? Что делать, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого? Почему знаменатель не вычитают? Как проверить, что полученный результат не превышает уменьшаемое?»
