Решение задач с использованием множеств
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться представлять условие текстовой задачи в виде диаграммы Эйлера — Венна и решать не менее двух задач на пересечение и объединение множеств с обоснованием каждого действия.
- Закрепить понятия множества, элемента множества, объединения и пересечения множеств; научиться переводить текст условия на математический язык.
- Развивать умение анализировать информацию, выделять известные и неизвестные данные, строить математическую модель и проверять ответ.
- Формировать навыки сотрудничества при работе в парах и группах, аргументированного объяснения решения и самооценки результата.
- Воспитывать внимательное отношение к данным, ответственность за общий результат и интерес к применению математики в жизненных ситуациях.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к способам решения практических задач с помощью математических моделей.
- Осознают ценность точности, последовательности и проверки результата.
- Принимают учебную задачу и оценивают собственный вклад в работу пары или группы.
- Проявляют готовность уважительно обсуждать разные способы решения.
Метапредметные
- Выделяют существенную информацию из текста задачи и представляют её в виде схемы.
- Планируют последовательность решения, выбирают подходящий способ и проверяют ответ.
- Формулируют вопросы, объясняют ход рассуждений и аргументируют выбор операции.
- Используют интерактивную диаграмму и цифровую карточку для проверки понимания материала.
Предметные
- Знать смысл понятий «множество», «объединение множеств», «пересечение множеств».
- Уметь обозначать множества и их элементы, изображать отношения между множествами с помощью диаграмм Эйлера — Венна.
- Уметь решать задачи на нахождение количества элементов объединения и пересечения двух множеств.
- Владеть алгоритмом решения задач вида «известно количество элементов двух множеств и их пересечения» с использованием формулы $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают практическую значимость математических моделей для анализа информации о людях, предметах и событиях.
- Формируют положительное отношение к совместному поиску решения.
- Оценивают собственную готовность применять новый способ в незнакомой ситуации.
- Развивают ответственное отношение к точности вычислений и записи ответа.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют действия по алгоритму: прочитать условие, обозначить множества, построить схему, выбрать формулу, вычислить и проверить.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль и находят ошибку в готовом решении.
- Оценивают результат по критериям и корректируют запись решения.
Познавательные УУД
- Сравнивают понятия объединения и пересечения множеств.
- Классифицируют данные задачи по принадлежности множествам.
- Строят математическую модель в виде диаграммы Эйлера — Венна.
- Применяют формулу включений и исключений и объясняют необходимость вычитания пересечения.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе и соблюдают правила совместной работы.
- Задают уточняющие вопросы по условию и способу решения.
- Представляют решение классу, используя математические термины.
- Сравнивают способы решения без отрицания позиции одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями двух пересекающихся кругов, обозначениями $A∩B$ и $A∪B$, алгоритмом решения и контрольным примером.
- Подготовить интерактивную диаграмму на доске или в онлайн-сервисе: учащиеся перемещают карточки с объектами в область первого множества, второго множества или пересечения.
- Распечатать карточки с тремя вариантами задач — по одной на каждого ученика и по одной дополнительной на каждую группу.
- Распечатать цветные карточки «объединение» и «пересечение» — по две на каждого ученика для быстрой проверки.
- Подготовить листы А4, маркеры и стикеры — по одному комплекту на группу из четырёх человек.
- Вывести на доску памятку: «Обозначь множества — построй диаграмму — найди пересечение — выбери формулу — вычисли — проверь».
- Подготовить индивидуальный лист самопроверки с двумя задачами и эталоном ответов на отдельном слайде.
- Проверить работу ноутбука, проектора и интерактивной доски; открыть презентацию и интерактивную диаграмму до начала урока.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и вызвать интерес к задаче, которую удобно решать с помощью множеств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетрадь, ручку и линейку. Сегодня нам понадобится ещё внимательность: мы будем искать не отдельное число, а связи между группами объектов." Учитель показывает на экране два пересекающихся круга без подписей. | Проверяют готовность к уроку, рассматривают изображение и формулируют предположение: "Это группы предметов" или "Это множества". |
2 мин | Учитель обращается к приёму «Крючок»: "Представьте, что в классе 20 учеников. 12 посещают математический кружок, 9 — шахматный, а некоторые посещают оба. Как узнать число ребят, записанных хотя бы в один кружок, если пересечение нам известно? Сегодня мы научимся отвечать на такие вопросы без пересчёта каждого ученика." | Обсуждают ситуацию, называют жизненные примеры групп и предполагают: "Нужно сложить числа, но тех, кто ходит в оба кружка, мы посчитаем дважды". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в жизненной ситуации группы могут пересекаться. Сейчас вспомним язык множеств и выясним, как не допустить двойного счёта."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия множества, элемента, объединения и пересечения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране множества $A={2,4,6,8}$ и $B={4,8,10}$ и говорит: "Назовите элементы множества A и множества B. Какие числа принадлежат сразу двум множествам? Не называйте ответ наугад — найдите одинаковые элементы." | Читают записи, отвечают: "В A четыре элемента, в B три элемента. Общие элементы — 4 и 8". |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно объясните, что означает пересечение. Затем обсудите с соседом и сформулируйте одно точное предложение." | Записывают и обсуждают формулировку: "Пересечение — множество элементов, принадлежащих одновременно двум множествам". |
2 мин | Учитель демонстрирует на доске диаграмму: "Посмотрите: внутренняя общая часть кругов — пересечение. Вся область двух кругов вместе — объединение. Поднимите синюю карточку, если речь идёт о пересечении, и красную — если об объединении: «ученики, посещающие оба кружка»; «ученики, посещающие хотя бы один кружок»." | Поднимают карточки и объясняют выбор: «оба» — пересечение, «хотя бы один» — объединение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы различили две ключевые области диаграммы: общую часть и всю область кругов. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний для решения текстовой задачи."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении задачи и сформулировать учебную цель.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит условие: "В шестом классе 18 учеников занимаются футболом, 15 — плаванием, а 7 учеников занимаются и футболом, и плаванием. Сколько учеников занимаются хотя бы одним из этих видов спорта?" Учитель просит решить устно и фиксирует варианты 33 и 26. | Пытаются решить, замечают проблему двойного счёта и объясняют: "Число 7 входит и в 18, и в 15, поэтому при сложении оно посчитано дважды". |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Что нужно изобразить? Что обозначит общая часть? Как исправить двойной счёт? Какую цель поставим на урок?" На доске появляется план действий. | Формулируют цель: "Научиться строить диаграммы для задач о двух группах и находить число элементов объединения"; предлагают алгоритм решения. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: простого сложения недостаточно. Мы построили план — теперь вместе откроем правило, которое объясняет, почему пересечение нужно вычитать."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести формулу количества элементов объединения двух множеств через работу с интерактивной диаграммой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель запускает интерактивную диаграмму и говорит: "На экране находятся два круга: A — футболисты, B — пловцы. Переместим 7 карточек учеников в общую часть. Сначала разместим 18 карточек в A, затем 15 в B. Посмотрите, что произошло с семью общими карточками: при подсчёте 18+15 они учтены два раза." | Наблюдают за перемещением карточек, считают области диаграммы и формулируют: "Общие элементы нужно вычесть один раз". |
3 мин | Учитель записывает на доске и проговаривает: "Количество элементов объединения равно количеству элементов первого множества плюс количество элементов второго множества минус количество элементов пересечения. Записываем: $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$." Учитель показывает, как формула связана с диаграммой. | Переписывают формулу, называют каждую часть: $n(A)$ — число элементов первого множества, $n(B)$ — второго, $n(A∩B)$ — общей части. |
3 мин | Учитель предлагает парный анализ: "Составьте решение задачи по алгоритму. Сначала назовите множества, затем запишите формулу и вычисление. Почему ответ не равен 33? Объясните это одним предложением." | В парах записывают: $18+15-7=26$. Формулируют ответ: "26 учеников занимаются хотя бы одним видом спорта; 7 общих учеников не считаются дважды". |
Запись в тетрадях
Записать определение: «Пересечение множеств — множество элементов, принадлежащих обоим множествам». Записать формулу: $n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)$. Алгоритм: обозначить множества; построить диаграмму; определить пересечение; подставить данные в формулу; вычислить и записать ответ.
Эталон решения
Пусть $A$ — множество занимающихся футболом, $B$ — множество занимающихся плаванием. По условию $n(A)=18$, $n(B)=15$, $n(A∩B)=7$. Тогда $n(A∪B)=18+15-7=26$. Ответ: 26 учеников занимаются хотя бы одним видом спорта.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили формулу, а увидели на диаграмме причину вычитания пересечения. Теперь применим новый способ сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на задаче из реального контекста и проверить понимание каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт группам листы и объясняет приём «Математическая эстафета»: "В первой строке обозначьте множества, во второй нарисуйте диаграмму, в третьей запишите формулу, в четвёртой сформулируйте ответ. Каждый участник отвечает за один шаг, затем группа проверяет всю запись." | Распределяют роли: читающий условие, чертёжник, вычислитель, проверяющий. |
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В школьной библиотеке 24 ученика взяли книги о животных, 19 — книги о путешествиях, а 8 учеников взяли книги обеих тематик. Сколько учеников взяли хотя бы одну из этих книг?" Учитель наблюдает и задаёт вопросы: "Где будет число 8? Почему его вычитаем?" | Строят диаграмму, записывают $24+19-8=35$, объясняют: "8 учеников вошли в оба множества и были посчитаны дважды". |
2 мин | Учитель предлагает двум группам представить решение, а остальным — провести взаимопроверку по трём критериям: есть обозначения, есть диаграмма, верно применена формула. | Представляют решение, сверяют записи, называют сильную сторону и исправление по приёму «Две звезды и пожелание». |
Эталон решения
Обозначим $A$ — ученики, взявшие книги о животных, $B$ — ученики, взявшие книги о путешествиях. $n(A)=24$, $n(B)=19$, $n(A∩B)=8$. Тогда $n(A∪B)=24+19-8=35$. Ответ: 35 учеников взяли хотя бы одну книгу.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы показали, что диаграмма помогает увидеть структуру задачи, а формула защищает от двойного счёта. Теперь каждый проверит, может ли применить алгоритм без подсказки товарищей."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать задачи на объединение и пересечение множеств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней. Базовая задача: "В классе 16 учеников любят комедии, 14 — приключенческие фильмы, 5 любят оба жанра. Сколько учеников любят хотя бы один из этих жанров?" Повышенная задача: "Из 30 участников опроса 18 читают художественные книги, 12 — научно-популярные, 6 читают оба вида. Сколько участников не читают ни один из названных видов книг?" Учитель напоминает: "Сначала схема, затем формула, затем ответ." | Индивидуально решают выбранную карточку, строят диаграмму и записывают вычисления. Для первой задачи получают $16+14-5=25$. Для второй находят объединение $18+12-6=24$, затем $30-24=6$. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон: «обозначения — диаграмма — формула — вычисление — ответ». Просит провести самопроверку зелёной или жёлтой отметкой. | Сверяют каждый шаг, ставят отметку напротив выполненного пункта, исправляют ошибки другим цветом. |
2 мин | Учитель предлагает ученикам, закончившим раньше, дополнительный вопрос: "Может ли объединение двух множеств содержать больше элементов, чем сумма их количеств? Обоснуйте." | Отвечают: "Нет, если множества пересекаются, объединение меньше суммы; если не пересекаются, равно сумме". |
Эталон решения
Задача 1: $n(A∪B)=16+14-5=25$. Ответ: 25 учеников любят хотя бы один жанр. Задача 2: $n(A∪B)=18+12-6=24$. Число участников, не вошедших в объединение: $30-24=6$. Ответ: 6 участников не читают ни один из названных видов книг.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять формулу и проверять себя по алгоритму. Осталось обобщить, где именно в условии мы узнаём о пересечении и как объяснить свой ответ словами."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить новый способ, выявить затруднения и сообщить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить формулу и решить задачу; жёлтую — если нужен ещё один пример; красную — если пока трудно построить диаграмму. Объясните соседу одну причину своего выбора." | Показывают карточку, формулируют самооценку: "Я умею находить объединение, но путаюсь в записи пересечения" или "Я могу объяснить, почему вычитаем общую часть". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что означает $A∩B$? Что означает $A∪B$? Почему в формуле есть знак минус? Какой первый шаг алгоритма?" | Отвечают: "Пересечение — общие элементы; объединение — элементы хотя бы одного множества; минус нужен для устранения двойного счёта; первый шаг — обозначить множества". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. Базовый обязателен для всех, повышающий поможет закрепить применение, дополнительный требует собственного составления задачи. Запишите уровень и критерий проверки." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы и отмечают, какой уровень выбрали. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились переводить жизненную ситуацию на язык множеств, видеть пересечение на диаграмме и находить объединение по формуле. Проверьте дома не только число, но и объяснение каждого действия."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе обязательные задачи, для каждой построена корректная диаграмма, записана формула, объяснена причина вычитания пересечения и сформулирован полный ответ.
- «4» — решение обеих задач в целом верное, но допущена одна неточность в обозначении множеств, диаграмме или пояснении, не повлиявшая на основной результат.
- «3» — верно решена одна задача или получен правильный ответ при неполной записи алгоритма; требуется исправить диаграмму либо обоснование формулы.
- Оценка может быть повышена при самостоятельном правильном решении дополнительного вопроса о сравнении объединения и суммы мощностей множеств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о пересечении и объединении множеств? | Выявление осознания ключевых математических понятий. |
Почему при решении задачи мы вычитаем количество элементов пересечения? | Проверка понимания причины применения формулы, а не механического запоминания. |
На каком шаге алгоритма вы почувствовали затруднение? | Выявление точек затруднения: чтение условия, построение диаграммы или вычисление. |
Как вы оцените свою готовность решить похожую задачу самостоятельно? | Получение субъективной оценки освоения темы и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что диаграмма Эйлера — Венна превращает текстовую задачу в понятную картину. Главное правило — при нахождении объединения вычесть пересечение, потому что общие элементы были посчитаны дважды. Не забывайте записывать не только вычисление, но и обозначения множеств, схему и полный ответ. На следующем уроке мы рассмотрим более сложные задачи, в которых потребуется находить неизвестное множество или неизвестное пересечение."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение количества элементов объединения двух множеств по известным значениям двух множеств и их пересечения. Для каждой задачи построить диаграмму, записать формулу и полный ответ. | Закрепляет алгоритм решения; при проверке смотреть на правильность диаграммы, вычитание пересечения и единицы ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи реального контекста, в одной из которых после нахождения объединения требуется определить число объектов, не вошедших ни в одно множество. | Формирует умение применять формулу в два шага и связывать объединение с дополнением множества. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о двух пересекающихся группах, подобрать правдоподобные числа, решить её двумя способами: по формуле и по диаграмме, затем объяснить совпадение ответов. | Развивает математическое моделирование, проверку корректности данных и умение аргументировать решение. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что обозначает пересечение множеств?», «Как найти число элементов объединения двух множеств?», «Почему нельзя просто сложить количества элементов двух множеств, если они пересекаются?», «Какой первый шаг алгоритма решения задачи?»
