Решение текстовых задач на применение понятия наибольшего общего делителя
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать текстовые задачи на применение наибольшего общего делителя, составлять модель ситуации и решать не менее двух из трёх задач с объяснением выбора НОД.
- Познакомить с алгоритмом решения задач на разбиение предметов на одинаковые группы или нарезку наибольшего размера без остатка.
- Научить выделять из условия величины, для которых требуется найти общий делитель, и записывать краткое решение.
- Развивать умение анализировать условие, выбирать способ решения, проверять ответ по смыслу задачи и аргументировать его в паре.
- Формировать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и понимание практической ценности математических знаний.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к применению НОД в бытовых и практических ситуациях: упаковке, нарезке материалов, распределении предметов.
- Осознают ценность точного расчёта и проверки ответа перед практическим использованием результата.
- Развивают готовность сотрудничать, принимать иную точку зрения и ответственно выполнять свою часть задания.
- Формируют положительное отношение к математике как к инструменту решения жизненных задач.
Метапредметные
- Выделяют существенные данные и вопрос задачи, преобразуют текст в краткую запись или схему.
- Планируют последовательность решения: анализ условия, выбор НОД, вычисление, формулировка ответа и проверка.
- Сравнивают разные способы рассуждения, находят и исправляют ошибку в готовом решении.
- Работают с интерактивной визуализацией и используют цифровой тест для самопроверки.
- Формулируют выводы устно и письменно, аргументируют выбор НОД в парной работе.
Предметные
- Знать смысл наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел.
- Уметь распознавать задачи, в которых требуется разделить величины на одинаковые части без остатка.
- Уметь находить НОД чисел разложением на простые множители или подбором общих делителей.
- Уметь составлять краткую запись, выполнять решение и записывать ответ с единицами измерения.
- Уметь проверять, что найденное число является наибольшим подходящим размером или количеством групп.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение практической задачи и оценивают собственное продвижение.
- Понимают смысл изучения НОД через связь с реальными действиями: разделением, упаковкой и нарезкой.
- Проявляют настойчивость при поиске решения и принимают необходимость повторной проверки.
- Соблюдают доброжелательные правила обсуждения при работе в паре.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и формулируют план решения текстовой задачи.
- Контролируют соответствие выбранного действия условию и вопросу задачи.
- Проверяют вычисления и реалистичность полученного ответа.
- Исправляют решение после сопоставления с эталоном и объясняют причину ошибки.
Познавательные УУД
- Извлекают математическую информацию из текста и отделяют известные данные от неизвестного.
- Устанавливают связь между словами «поровну», «одинаковые», «без остатка», «наибольший размер» и поиском НОД.
- Моделируют ситуацию с помощью схемы, краткой записи или таблицы.
- Сравнивают решение подбором делителей и решение через разложение на простые множители.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему в конкретной задаче используется НОД.
- Задают уточняющие вопросы по условию и корректно реагируют на замечания.
- Распределяют действия в паре: один составляет модель, другой проверяет вычисления.
- Представляют общее решение классу, используя математические термины и полные предложения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с изображениями лент, плиток и наборов предметов, а также пошаговым алгоритмом решения задач на НОД.
- Подготовить интерактивную доску или проектор и короткий цифровой тест из пяти вопросов для самопроверки.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика и дополнительные карточки для быстро справившихся.
- Подготовить карточки с числами 24, 36 и 60 для актуализации понятия НОД — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску памятку: «1. Прочитай условие. 2. Определи, что делят поровну. 3. Найди НОД. 4. Ответь на вопрос. 5. Проверь ответ».
- Подготовить листы самооценки со шкалой «могу сам — нужна подсказка — пока трудно» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить маркеры, магниты или стикеры трёх цветов для приёма «Светофор».
- Заранее открыть цифровую визуализацию разбиения прямоугольной ленты на равные части и проверить подключение проектора или интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую ситуацию и вызвать потребность применить НОД.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение двух лент длиной 24 см и 36 см: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы начнём с практической задачи. Представьте, что нужно нарезать эти две ленты на одинаковые кусочки без остатка. Какой длины должны быть кусочки, если мы хотим, чтобы они были как можно длиннее? Пока не называйте способ, просто предположите, что нам понадобится." | Рассматривают изображение, выдвигают предположения: «Нужно делить обе длины», «Надо найти число, на которое делятся 24 и 36». Записывают в тетради дату и тему после её объявления. |
2 мин | Учитель продолжает: "Похожую ситуацию мы уже умеем описывать с помощью делителей. Сегодня научимся превращать такие условия в понятный алгоритм решения. На доске появляется вопрос: «Как понять, что в задаче нужен НОД?» В конце урока мы вернёмся к этому вопросу и дадим точный ответ." | Формулируют предварительную цель: «Научиться решать задачи, где нужно делить предметы на одинаковые части без остатка». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели практическую ситуацию, в которой требуется найти общий делитель двух чисел и выбрать самый большой. Теперь вспомним, что мы уже знаем о делителях и НОД."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия «делитель», «общий делитель» и «НОД» как основу нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточки с числами 24 и 36: "Подумайте в одиночку 30 секунд, какие делители имеет число 24. Затем обсудите с соседом и выпишите общие делители чисел 24 и 36. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись». На доске зафиксируйте только те числа, которые делят оба числа без остатка." | Сначала вспоминают делители индивидуально, затем в парах составляют списки. Называют общие делители: «1, 2, 3, 4, 6, 12». Делают вывод: «Наибольший общий делитель равен 12». |
3 мин | Учитель задаёт вопросы и фиксирует ответы в кластере: "Что означает слово «общий»? Почему из нескольких общих делителей выбираем именно наибольший? Как можно проверить, что число 12 подходит? Назовите два способа нахождения НОД, которые мы изучали." | Отвечают: «Общий делитель делит каждое из чисел», «Наибольший нужен, потому что требуется самый большой возможный размер части», «24 делится на 12 и 36 делится на 12». Называют способы: «перебор делителей» и «разложение на простые множители». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что НОД — это наибольшее число, на которое делятся все данные числа. Теперь выясним, какие слова в условии подсказывают нам необходимость использовать именно НОД."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: научить распознавать математическую модель задачи и сформулировать план её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран задачу: "Для оформления класса приготовили 24 красных и 36 синих флажков. Нужно составить одинаковые наборы так, чтобы в каждом наборе было одинаковое количество красных и одинаковое количество синих флажков, а все флажки были использованы. Какое наибольшее число одинаковых наборов можно составить? Прочитайте условие и подчеркните слова, которые помогают выбрать действие." | Читают задачу, подчёркивают слова «одинаковые наборы», «все использованы», «наибольшее число». Формулируют затруднение: «Необходимо найти число, которое делит и 24, и 36, причём оно должно быть наибольшим». |
2 мин | Учитель организует краткий диалог: "Что обозначает искомое число? Что должно быть верно для каждого исходного количества? Какой математический объект мы можем применить? Составьте вместе план из четырёх-пяти шагов и сравните его с памяткой на доске." | В парах составляют план: «Прочитать условие; понять, что делят поровну; найти НОД; проверить; записать ответ». Формулируют цель урока: «Научиться решать текстовые задачи на НОД и объяснять выбор действия». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема стала ясной: нам нужно не просто вычислить НОД, а связать его с вопросом задачи и правильно назвать результат. Перейдём к открытию общего алгоритма."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: совместно вывести алгоритм решения текстовых задач на применение НОД и увидеть его на цифровой модели.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель запускает на интерактивной доске визуализацию лент длиной 24 и 36 условных единиц: "Посмотрите, как цифровая модель проверяет возможные размеры кусочков. Размер 5 не подходит, потому что 24 не делится на 5 без остатка. Размер 6 подходит для обеих лент, но размер 12 тоже подходит и является большим. Какой размер будет наибольшим? Почему размер 18 не подходит?" Учитель постепенно открывает на доске алгоритм. | Наблюдают за изменением модели, называют подходящие общие делители, объясняют: «18 не делит 24 без остатка». Формулируют вывод: «Нужно найти НОД длин 24 и 36». |
4 мин | Учитель подробно разбирает задачу: "Запишем решение. Дано 24 красных и 36 синих флажков. Ищем наибольшее число одинаковых наборов, поэтому находим $НОД(24;36)=12$. Теперь важно не остановиться на числе 12, а проверить смысл: в каждом наборе будет $24:12=2$ красных и $36:12=3$ синих флажка. Значит, ответ должен содержать не только число наборов, но и, при необходимости, состав одного набора." | Записывают краткое решение и проговаривают алгоритм. Отвечают: «Можно составить 12 наборов; в каждом будет 2 красных и 3 синих флажка». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают памятку: «Если в задаче требуется разделить несколько количеств на наибольшее число одинаковых частей без остатка, нужно найти НОД этих количеств. Затем определить содержимое одной части и проверить ответ по условию».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели на экране, как практическая ситуация превращается в поиск НОД. Теперь применим алгоритм сначала вместе, с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание задач на НОД и научиться объяснять решение партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам задачу: "В школьной мастерской есть деревянные рейки длиной 48 см и 60 см. Их нужно распилить на одинаковые части наибольшей возможной длины, не оставляя отходов. Какой длины должна быть каждая часть? Подчеркните ключевые слова, найдите НОД и запишите ответ с единицей измерения." | В парах выделяют данные 48 и 60, подчёркивают «одинаковые», «наибольшей возможной длины», находят $НОД(48;60)=12$. Записывают: «Длина каждой части — 12 см». |
2 мин | Учитель просит одну пару объяснить решение: "Расскажите не только результат, но и почему вы выбрали НОД. Какие два условия задачи подтверждают ваш выбор?" | Представляют решение: «Нужно найти НОД, потому что части одинаковые, их длина должна делить обе длины без остатка, а требуется наибольшая длина». Остальные пары сверяют запись. |
2 мин | Учитель проводит приём «Верно — неверно»: "На экране три утверждения: 1) Для задачи нужно найти НОК. 2) Число частей должно делить исходные количества. 3) Ответ обязательно нужно проверить делением. Поднимите зелёную карточку для верного утверждения и красную для неверного." | Показывают карточки: «1 — неверно, 2 — верно, 3 — верно». Объясняют выбор одним предложением. |
Эталон решения
$НОД(48;60)=12$. Число 12 делит 48 и 60 без остатка и является наибольшим общим делителем. Следовательно, рейки нужно распилить на части длиной 12 см. Проверка: $48:12=4$, $60:12=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились находить действие по ключевым словам и проверять, что найденный НОД отвечает вопросу. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять алгоритм без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение решать текстовые задачи на НОД и осуществлять самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и напоминает: "Выберите уровень, который позволит показать ваши знания. На базовом уровне решите одну задачу, на повышающем — две, на дополнительном — задачу с объяснением ошибки. В каждой работе должны быть краткая запись, действие с НОД, ответ и проверка. Работайте индивидуально, время — шесть минут." | Индивидуально решают выбранные задания. Базовый уровень: из 18 яблок и 30 груш составить наибольшее число одинаковых наборов. Повышающий: из лент 42 см и 56 см получить равные части наибольшей длины; из 24 карандашей и 36 ручек составить одинаковые комплекты. Дополнительный: исправить решение, в котором для чисел 36 и 48 найден НОД 6, и объяснить ошибку. |
2 мин | Учитель выводит на экран эталон: "Сначала проверьте, правильно ли вы определили, что требуется найти. Затем сверьте НОД и ответ словами. Не переписывайте решение целиком, исправьте только ошибку и обозначьте место исправления." | Сверяют работу с эталоном, отмечают исправления зелёной ручкой, ставят рядом знак «+» за выполненный шаг или «?» за шаг, требующий повторения. |
2 мин | Учитель проводит быструю самопроверку: "Поднимите карточку: зелёная — все шаги выполнены самостоятельно, жёлтая — потребовалась одна подсказка, красная — пока трудно объяснить выбор НОД. Это не отметка, а сигнал для дальнейшей помощи." | Поднимают карточки, фиксируют в листе самооценки, какой шаг вызвал затруднение. |
Эталон решения
Для задачи о 18 яблоках и 30 грушах: $НОД(18;30)=6$. Можно составить 6 одинаковых наборов. В каждом наборе будет $18:6=3$ яблока и $30:6=5$ груш. Для чисел 36 и 48: $НОД(36;48)=12$, поэтому ответ 12, а не 6: число 6 является общим делителем, но не наибольшим.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное затруднение обычно возникает не в вычислении НОД, а в понимании вопроса задачи. Осталось включить новый способ в систему знаний и сформулировать общий признак таких задач."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, оценить достижение цели урока и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как понять, что в текстовой задаче нужен НОД? Закончите фразу: «Если требуется ..., то я нахожу ...». Назовите все шаги алгоритма по порядку." | Формулируют правило: «Если нужно разделить несколько количеств на одинаковые части без остатка и выбрать наибольший размер или число частей, находим НОД». Воспроизводят пять шагов алгоритма. |
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "На маленьком листке напишите: 1) одно ключевое слово, указывающее на НОД; 2) один пример жизненной ситуации; 3) вопрос, который остался непонятным. Сдайте листок при выходе." | Пишут ответы: «одинаковые», «нарезать две ленты», «как быстро находить НОД трёх чисел». Сдают билеты учителю. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите обязательный уровень или более высокий, если готовы. Важно оформить не только вычисление, но и связь с условием. Перед уходом проверьте, что в тетради записана памятка и один разобранный пример." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сверяют наличие записей и материалов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились видеть за бытовой ситуацией математическую модель и применять НОД не механически, а осмысленно. Если вы умеете объяснить, почему найденное число подходит и почему оно наибольшее, цель урока достигнута."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все предложенные задачи выбранного уровня, правильно найден НОД, записаны краткая модель, единицы измерения, ответ и проверка; выбор действия объяснён.
- «4» — решены все обязательные задания, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не повлиявшая на основной способ решения.
- «3» — правильно определено, что требуется найти НОД, но допущены ошибки в вычислении, ответе или проверке; выполнена не менее чем одна задача с помощью памятки.
- Ниже базового уровня — не является итоговой отметкой за урок: ученик получает конкретную рекомендацию повторить алгоритм и решить аналогичную задачу с опорой на схему.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие задачи подсказывает, что нужно искать НОД? | Проверка понимания связи между текстом задачи и математическим действием. |
Как ты объяснишь, почему найденный делитель должен быть наибольшим? | Выявление осмысленного понимания требования «наибольший», а не механического вычисления. |
На каком шаге алгоритма возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: анализ условия, вычисление НОД или формулировка ответа. |
Что ты теперь можешь решить самостоятельно? | Субъективная оценка освоения темы и планирование индивидуальной помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились применять НОД к задачам, в которых предметы нужно разделить на одинаковые части без остатка. Запомните: недостаточно получить общий делитель — необходимо выбрать наибольший и проверить ответ по смыслу. Типичная ошибка состоит в том, что ученик находит НОД, но забывает определить, что означает это число в условии. На следующем уроке мы продолжим решать задачи на НОД и рассмотрим ситуации с несколькими величинами."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 текстовые задачи на составление одинаковых наборов или разбиение двух величин на наибольшие равные части без остатка. В каждой задаче записать краткое условие, НОД, ответ и проверку. | Закрепить распознавание задач на НОД и последовательность алгоритма; при проверке обратить внимание на соответствие ответа вопросу. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи: две на нарезку материалов, одну на составление комплектов и одну на распределение предметов. Для каждой задачи письменно объяснить, почему используется НОД, а не НОК. | Развить смысловое чтение, умение выбирать действие и аргументировать математическую модель. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную практическую задачу на НОД с двумя величинами, решить её двумя способами нахождения НОД и придумать правдоподобную ошибку в решении для проверки одноклассником. | Развить умение создавать математическую задачу, сравнивать способы решения и анализировать типичную ошибку. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какие слова в условии указывают на применение НОД? Что означает найденный НОД в задаче о наборах? Почему ответ нужно проверить делением исходных величин на найденное число?»
