Подготовка к контрольной работе: делители и кратные
Цели и задачи
- Цель по SMART: за 45 минут систематизировать правила нахождения делителей и кратных, признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 и применить их при выполнении не менее пяти практических заданий с последующей самопроверкой.
- Закрепить умение находить все делители числа и несколько кратных числа, распознавать простые и составные числа.
- Повторить признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10 и научиться выбирать наиболее рациональный способ проверки.
- Развивать умение анализировать условие, проверять вычисления и объяснять способ решения одноклассникам.
- Формировать ответственное отношение к подготовке к контрольной работе, навыки сотрудничества и взаимопомощи.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение аккуратности и самопроверки при выполнении математической работы.
- Проявляют учебную мотивацию через практические задания и элементы командного соревнования.
- Оценивают собственную готовность к контрольной работе без сравнения себя с одноклассниками.
- Принимают необходимость исправления ошибок как часть обучения.
Метапредметные
- Планируют последовательность действий при решении задания и распределяют время.
- Извлекают информацию из условия, таблицы и схемы, выбирают подходящий признак делимости.
- Аргументируют ответ, сравнивают способы решения и корректно обсуждают ошибки.
- Осуществляют взаимопроверку по эталону и вносят исправления.
Предметные
- Знать определения делителя и кратного натурального числа.
- Уметь находить делители числа и записывать несколько кратных числа.
- Уметь распознавать простые и составные числа.
- Уметь применять признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Уметь решать текстовые и практические задачи, связанные с делителями и кратными.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель подготовки к контрольной работе.
- Проявляют настойчивость при поиске и исправлении ошибки.
- Осознают связь математической точности с повседневными расчётами и организацией деятельности.
- Соблюдают правила честной взаимопроверки и уважительно относятся к ответам одноклассников.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и планируют порядок действий.
- Распределяют время между заданиями разной сложности.
- Проверяют результат по признаку делимости, перебором делителей или обратным действием.
- Находят ошибку, объясняют её причину и корректируют решение.
- Оценивают готовность по листу самооценки и определяют тему для повторения.
Познавательные УУД
- Сравнивают понятия «делитель» и «кратное», устанавливают связь между ними.
- Классифицируют числа на простые и составные.
- Выделяют признак делимости, необходимый для решения конкретного задания.
- Строят таблицу делителей и кратных, используют математические модели.
- Анализируют неверные решения и формулируют правило исправления ошибки.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах и малых группах с распределением ролей.
- Задают уточняющие вопросы о способе решения.
- Объясняют ход рассуждений математически точными фразами.
- Согласовывают общий ответ и аргументируют его перед классом.
- Дают однокласснику корректную обратную связь по критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с определениями делителя и кратного, признаками делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать листы взаимопроверки с кратким эталоном решения — по одному на пару.
- Подготовить 5 наборов карточек для групповой игры «Математический маршрут», по одному набору на группу.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я умею находить делители», «Я умею находить кратные», «Я применяю признаки делимости».
- Вывести на экран практическую ситуацию о распределении предметов поровну по коробкам без остатка.
- Разместить на доске таблицу признаков делимости и поля для фиксации типичных ошибок.
- Подготовить таймер, маркеры, магниты или стикеры двух цветов для рефлексии.
- Организовать посадку по парам и подготовить отдельный стол для материалов каждой группы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую подготовку к контрольной работе и показать жизненную значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы не будем долго повторять правила по учебнику. Мы проведём тренировку перед контрольной работой: будем быстро выбирать способ решения, объяснять его и проверять себя. На партах должны быть тетрадь, ручка и линейка." | Проверяют готовность рабочего места, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "В школьной столовой нужно разложить 36 яблок поровну по пакетам, чтобы не осталось ни одного. Какие числа могут обозначать количество пакетов? А если нужно узнать, сколько яблок будет в каждом пакете? Сегодня нам помогут делители и кратные." | Предполагают: "Количество пакетов должно быть делителем 36"; "Количество яблок в пакетах связано с делением"; формулируют практическую связь темы с распределением предметов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что делители нужны, когда распределяют поровну, а кратные помогают находить повторяющиеся количества. Теперь быстро проверим, какие знания уже готовы к работе."
Этап 2. Актуализация знаний. Разминка «Верно — неверно» (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения и признаки делимости, выявить индивидуальные затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с утверждениями и говорит: "Работаем индивидуально одну минуту, затем обсуждаем в паре. Отметьте В или Н и исправьте неверные утверждения: 1) 4 — делитель 20; 2) 18 — кратное 6; 3) 7 делится на 2; 4) число, оканчивающееся цифрой 0, делится на 10. Не угадывайте — проверяйте умножением или делением." | Отмечают верность утверждений, записывают исправления: "7 не делится на 2"; в парах сравнивают ответы и объяснения. |
3 мин | Учитель организует проверку: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и жёлтую, если нашли ошибку. Объясняйте не только ответ, но и признак. Что нужно проверить, чтобы доказать, что 6 — делитель 42?" | Показывают карточки, отвечают: "42 делится на 6 без остатка"; называют признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Делитель числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Кратное числа — число, которое делится на данное число без остатка».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Определения мы восстановили, но в контрольной важно не только вспомнить правило, а быстро выбрать удобный способ. Сейчас определим, где именно возникает затруднение и поставим цель тренировки."
Этап 3. Постановка проблемы и планирование работы (4 мин)
Цель этапа: научить учащихся осознанно выбирать способ проверки и сформулировать план подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске числа 234, 375, 490 и спрашивает: "Не выполняя деление столбиком, определите, на какие из чисел 2, 3, 5, 9 и 10 делится каждое число. Какой признак применим быстрее всего? Почему для 234 не нужно проверять делимость на 5?" | Рассуждают: "234 делится на 2 и 3, но не на 5 и 10"; "375 делится на 3 и 5"; объясняют выбор признака по последней цифре или сумме цифр. |
2 мин | Учитель говорит: "Сформулируйте план подготовки. В нём должны быть четыре шага: вспомнить понятия, потренироваться находить делители и кратные, применить признаки делимости, проверить ошибки. В конце каждый определит, что нужно повторить дома." | Формулируют план урока, записывают его кратко в тетради и выбирают личную цель: «научиться быстро находить делители», «не путать делитель и кратное» или «уверенно применять признаки». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш план готов: сначала тренируем базовые действия, затем решаем задачи в группе и индивидуально проверяем готовность. Переходим к основному практическому блоку."
Этап 4. Практическая работа в группах «Математический маршрут» (10 мин)
Цель этапа: систематизировать навыки нахождения делителей, кратных и применения признаков делимости через смену заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека и распределяет роли: вычислитель, проверяющий, секретарь, докладчик. Инструктирует: "В каждой группе три станции на одном листе. За правильное выполнение группа получает букву маршрута. Не спешите: проверяющий обязан назвать способ проверки." | Распределяют роли, получают групповой лист и читают критерии: правильность, объяснение способа, аккуратная запись. |
3 мин | Учитель предлагает станцию 1: "Запишите все делители числа 24 и первые пять кратных числа 6. Объясните, почему 8 является делителем 24, а 25 не является кратным 6." | Записывают делители 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30; объясняют ответы через деление без остатка. |
3 мин | Учитель предлагает станцию 2: "Распределите числа 126, 245, 360, 417 по группам: делятся на 2, на 3, на 5, на 9, на 10. Одно число может попасть в несколько групп. Обязательно запишите признак." | Применяют признаки делимости, фиксируют, например: 126 делится на 2, 3 и 9; 245 — на 5; 360 — на 2, 3, 5, 9 и 10; 417 — на 3. |
2 мин | Учитель предлагает станцию 3: "Найдите ошибку в решении: ‘Число 54 не делится на 9, потому что последняя цифра не равна 9’. Запишите правильное объяснение. Затем придумайте число, которое делится на 9 и на 10." | Исправляют ошибку: "Для делимости на 9 складывают цифры: 5 + 4 = 9, значит, 54 делится на 9"; предлагают, например, 90 или 180. |
Эталон решения
Для числа 54: сумма цифр равна $5+4=9$. Так как 9 делится на 9, число 54 делится на 9. Для числа 360: последняя цифра 0, поэтому оно делится на 10; последняя цифра чётная, поэтому делится на 2; сумма цифр $3+6+0=9$, поэтому делится на 3 и на 9; последняя цифра 0, поэтому делится на 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы прошли маршрут и использовали все основные способы. Обратите внимание: признак делимости экономит время, но результат всё равно нужно осознанно проверить. Теперь каждый выполнит задания самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление. Разбор типичных ошибок (6 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритмы на примерах и предупредить ошибки, характерные для контрольной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске три решения: "1) Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9. 2) Первые четыре кратных 7: 7, 14, 21, 28. 3) 315 делится на 2, потому что в записи есть цифра 3. Найдите верные и ошибочное решения. Не называйте только номер — объясните причину." | Проверяют записи, называют ошибку в третьем решении: число 315 не делится на 2, так как последняя цифра 5 нечётная; подтверждают первые два решения. |
3 мин | Учитель проводит приём «Лови ошибку»: "Я назову утверждение, а вы поднимете карточку, если согласны, и сразу дадите исправление: ‘12 — делитель 3’; ‘48 — кратное 6’; ‘1 — простое число’." | Поднимают карточки и исправляют: "12 не является делителем 3"; "48 — кратное 6"; "1 не является ни простым, ни составным числом". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы разобрали три частые ошибки: перепутали направление отношения, неверно применили последнюю цифру и забыли особенность числа 1. Сейчас проверим, умеете ли вы самостоятельно выбирать способ решения."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальную готовность к контрольной работе и закрепить самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: "Выберите уровень по своей цели. Базовый обязателен для всех, повышенный можно выбрать после него. Работайте молча, сначала решите, затем проверьте каждый ответ отдельным способом." | Выбирают карточку, подписывают её и готовят черновик для проверки. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: найти делители 30, записать первые пять кратных 8, определить, делится ли 246 на 2, 3, 5 и 9. Повышенный: подобрать цифру вместо знака в числе 4□2, чтобы число делилось на 3 и 2; найти все делители 36. Продвинутый: найти наименьшее трёхзначное число, кратное одновременно 6 и 9. | Индивидуально решают выбранные задания, записывают признаки и промежуточные рассуждения; при затруднении отмечают место вопросительным знаком, но не копируют решение соседа. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Сверьте не только ответ, но и способ. Отметьте зелёным полностью верное решение, жёлтым — решение с исправимой ошибкой, красным — задание, которое пока не получилось. Одну ошибку объясните письменно: какое правило было применено неверно?" | Проводят самопроверку, исправляют ошибки, заполняют отметки в листе самооценки и формулируют личный вывод о готовности. |
Эталон решения
Делители 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Кратные 8: 8, 16, 24, 32, 40. Число 246 делится на 2, потому что оканчивается на 6; на 3, потому что $2+4+6=12$; не делится на 5 и 9. В числе $4□2$ последняя цифра 2 обеспечивает делимость на 2, а сумма цифр $6+□$ должна делиться на 3, поэтому подходят цифры 0, 3, 6, 9. Наименьшее трёхзначное число, кратное 6 и 9, — 108, так как оно делится на 2, 3 и 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие действия уже выполняются уверенно, а какие требуют короткого повторения. Осталось связать математику с другими учебными ситуациями и зафиксировать личный план подготовки."
Этап 7. Межпредметная практическая задача (3 мин)
Цель этапа: применить понятия делителей и кратных в контексте информатики и организации данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Представьте, что на уроке информатики нужно распределить 24 файла поровну по папкам. Варианты количества папок: 3, 4, 5, 6, 8. Какие варианты подходят? Какое количество файлов окажется в каждой папке? Объясните, почему число папок должно быть делителем 24." | Выбирают 3, 4, 6 и 8 папок; вычисляют соответственно 8, 6, 4 и 3 файла в папке; исключают 5, потому что 24 не делится на 5 без остатка; формулируют связь: количество папок — делитель, количество файлов при повторном распределении — частное. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Математические понятия помогают организовывать данные не только на бумаге, но и в цифровых папках. Теперь завершим урок рефлексией и составим точное домашнее задание."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить оставшиеся затруднения и объяснить уровни домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры и говорит: "Заполните билет на выход: 1) Я теперь умею… 2) Мне нужно повторить… 3) Чтобы проверить делимость на 9, я… Поднимите зелёный стикер, если готовы к базовым заданиям контрольной, жёлтый — если нужна тренировка, красный — если требуется помощь." | Заполняют билет на выход, выбирают цвет самооценки и прикрепляют стикер к соответствующему полю на доске. |
1 мин | Учитель объясняет: "Домашнее задание выбирается по результату сегодняшней самопроверки. Обязательный уровень выполняют все; повышенный и дополнительный помогают укрепить уверенность. Перед уходом ответьте соседу на вопрос: чем делитель отличается от кратного?" | Записывают выбранный уровень, устно формулируют различие: "Делитель делит число без остатка, а кратное делится на данное число без остатка". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто повторили правила, а потренировались выбирать способ решения и исправлять ошибки. По билетам на выход я определю, какие признаки нужно ещё раз разобрать перед контрольной."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все базовые задания и не менее одного задания повышенного уровня, корректно найдены делители и кратные, признаки делимости объяснены, исправления оформлены аккуратно.
- «4» — верно выполнены все базовые задания, допущена не более одной вычислительной ошибки в повышенном задании, способ решения в целом объяснён.
- «3» — выполнено не менее двух базовых заданий, понятия делителя и кратного в основном различаются, но есть ошибки в применении одного или двух признаков делимости.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем повторяет определения, использует таблицу признаков и выполняет аналогичное задание с меньшим количеством чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового или более уверенного вы сегодня сделали при работе с делителями и кратными? | Выявление осознанного результата и фиксация прироста знаний. |
Какое задание оказалось самым сложным: делители, кратные, признаки делимости или задача с условием? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли свой ответ перед самопроверкой? | Диагностика сформированности навыка самоконтроля. |
Что вы повторите дома перед контрольной работой? | Перевод рефлексии в индивидуальный план подготовки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы систематизировали делители и кратные и потренировались применять признаки делимости без лишних вычислений. Особенно внимательно следите за тем, чтобы не путать направление: делитель делит число, а кратное делится на данное число. Если ошибка возникла, важно не просто зачеркнуть ответ, а назвать правило, которое нужно применить. На следующем уроке мы разберём результаты подготовки и выполним задания контрольного формата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий: найти все делители двух двузначных чисел; записать по пять кратных двух чисел; определить делимость пяти чисел на 2, 3, 5, 9 и 10; исправить одно специально допущенное ошибочное решение. | Закрепляет определения и основные алгоритмы; при проверке смотреть на полноту списка делителей и обоснование каждого признака. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания с пропусками цифр: подобрать цифры, чтобы числа делились на 2, 3, 5 или 9; составить таблицу делителей одного составного числа и объяснить, почему 1 не является простым числом. | Развивает анализ условия и выбор признака; при проверке учитывать все возможные варианты и точность объяснения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о распределении 36 или 48 предметов по одинаковым группам, используя не менее четырёх делителей; записать два способа проверки ответа. | Формирует функциональную и математическую грамотность; при проверке смотреть на реалистичность условия, связь с делителями и корректность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют делителем числа? Что называют кратным? Как проверить делимость числа на 3 и на 9? Почему число 1 не является простым? Как определить, что найденный список делителей полный?»
