Окружность. Хорда
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать хорду и диаметр на рисунке и в описании, применять связь $d=2r$ и $r=\frac{d}{2}$, а также находить расстояние от центра окружности до хорды в прямоугольном треугольнике.
- Определить хорду как отрезок, соединяющий две точки окружности, и установить, что диаметр является частным случаем хорды.
- Научиться находить диаметр по радиусу и радиус по диаметру, заполнять таблицы и сравнивать длины отрезков окружности.
- Развивать умение анализировать условия задач, проверять истинность утверждений и объяснять выбор ответа.
- Воспитывать аккуратность геометрических построений, ответственность за результат и готовность аргументированно работать в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию геометрических объектов через наблюдение и построение.
- Осознают практическую ценность измерения расстояний и отрезков.
- Развивают уверенность в самостоятельном поиске способа решения.
- Соблюдают аккуратность и доброжелательно относятся к ответам одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают информацию из рисунка, текста условия и таблицы рабочего листа.
- Составляют план решения задачи и располагают шаги алгоритма в правильном порядке.
- Сравнивают объекты по заданному признаку и классифицируют хорды и диаметры.
- Работают в паре, формулируют ответ и проверяют его по образцу.
- Используют математическую речь и обозначения $r$, $d$ при объяснении решения.
Предметные
- Знать определение хорды и понятия радиуса, диаметра, центра окружности.
- Уметь распознавать хорду и диаметр среди других отрезков.
- Уметь находить диаметр по радиусу и радиус по диаметру с использованием формул $d=2r$ и $r=\frac{d}{2}$.
- Уметь определять, является ли хорда диаметром, по её длине и радиусу окружности.
- Уметь находить расстояние от центра до хорды в задаче с прямоугольным треугольником.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формируют смысл учебной деятельности через решение практико-ориентированных геометрических задач.
- Оценивают собственную готовность применять формулы радиуса и диаметра.
- Проявляют настойчивость при поиске решения задачи с хордой.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и планируют последовательность действий.
- Контролируют правильность вычислений и единицы измерения.
- Сверяют решение с эталоном и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают результат по критериям рабочего листа.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки хорды и диаметра.
- Устанавливают связь между радиусом и диаметром.
- Строят математическую модель задачи №10 через прямоугольный треугольник.
- Классифицируют отрезки и находят лишний объект по заданному признаку.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезы в парах и формулируют общий ответ.
- Аргументируют, почему утверждение является истинным или ложным.
- Задают уточняющие вопросы и корректно принимают замечания.
- Распределяют роли при взаимопроверке рабочего листа.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочий лист «Окружность. Хорда» по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 2–3 дополнительных экземпляра.
- Подготовить карточки с изображениями окружности, радиуса, диаметра и двух обычных хорд — по одной карточке на пару.
- Подготовить линейки и карандаши для каждого ученика, цветные маркеры для работы у доски.
- Вывести на экран или записать на доске окружность с центром $O$, радиусом $OA$, диаметром $BC$ и хордой $DE$.
- Заранее оформить на доске памятку: хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — хорда, проходящая через центр; $d=2r$, $r=\frac{d}{2}$.
- Подготовить эталон для взаимопроверки заданий №1–4, №8–10 рабочего листа.
- Организовать посадку по парам для приёма «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для коротких заданий и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и вызвать интерес к исследованию отрезков окружности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске изображение круглой тарелки, колеса и круглого окна: "Здравствуйте, ребята. Посмотрите на изображения. Что общего у этих предметов? Где мы встречаемся с окружностями в жизни? Сегодня мы попробуем разобраться, какие отрезки можно провести внутри окружности и чем они отличаются друг от друга." | Рассматривают изображения, называют примеры: "колесо", "монета", "тарелка", "циферблат". |
2 мин | Учитель показывает окружность с несколькими отрезками и говорит: "На рисунке есть отрезок от центра к окружности, отрезок через центр и отрезок, соединяющий две точки окружности. Подумайте молча, как можно назвать каждый из них. Запишите тему: «Окружность. Хорда»." | Наблюдают за рисунком, выдвигают предположения, записывают тему урока и дату. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что внутри окружности могут быть разные отрезки. Сейчас вспомним известные элементы и выясним, какой из них называется хордой."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия центра, радиуса и диаметра, необходимые для изучения хорды.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает окружность с центром $O$: "Что называется радиусом? Куда должны уходить его концы? А что называется диаметром? Посмотрите на доску и назовите главное отличие диаметра от радиуса." | Отвечают: "Радиус — отрезок от центра до точки окружности"; "Диаметр соединяет две точки окружности и проходит через центр". |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить: "Радиус окружности равен 4 см. Чему равен диаметр? Если диаметр равен 14 см, чему равен радиус? Объясните, какое действие выполняете." | Вычисляют: $d=2\cdot4=8$ см; $r=14:2=7$ см. Формулируют правило: "Диаметр в два раза больше радиуса". |
1 мин | Учитель проводит быстрый приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно различаете радиус и диаметр, жёлтую — если нужно повторить, красную — если пока трудно." | Показывают карточки, фиксируют для себя степень готовности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили радиус и диаметр и уже умеем находить один через другой. Теперь проверим, достаточно ли этих знаний, чтобы описать любой отрезок внутри окружности."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и сформулировать признаки хорды и диаметра.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам карточки с четырьмя отрезками и предлагает: "Рассмотрите рисунки. У каждого отрезка два конца. Но можно ли все их назвать хордами? Подумайте 30 секунд, обсудите в паре и выберите признак, который считаете главным." | Рассматривают карточки индивидуально, затем обсуждают в парах и предполагают: "У хорды оба конца должны лежать на окружности". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Какие вопросы нам нужно решить сегодня, чтобы выполнить рабочий лист? Сформулируйте их. Вспомните задания, где нужно выбрать определение, проверить утверждения, заполнить таблицу и найти расстояние до хорды." | Формулируют цель: "Узнать определение хорды, отличать её от диаметра, находить радиус и диаметр, решать задачу о расстоянии от центра до хорды". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение возникло потому, что не каждый отрезок внутри круга является хордой. Сейчас мы сами выведем точное определение и признаки, которые помогут выполнить задания рабочего листа."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформировать понятия хорды и диаметра, установить их свойства и подготовить способы решения заданий рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель чертит окружность с центром $O$ и точками $A$, $B$, $C$, $D$ на окружности: "Посмотрите на отрезок $AB$. Оба его конца находятся на окружности. Такой отрезок называется хордой. Запишите определение. Радиус имеет только один конец на окружности, а у хорды — два." | Записывают определение: «Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности». Подписывают на рисунке хорду $AB$. |
3 мин | Учитель проводит через центр окружности хорду $CD$: "Что особенного в хорде $CD$? Она проходит через центр $O$. Такая хорда называется диаметром. Значит, каждый диаметр является хордой, но не каждая хорда является диаметром. Почему утверждение «любая хорда проходит через центр» неверно?" | Отвечают: "Диаметр — это хорда, проходящая через центр"; "Обычная хорда может не проходить через центр". Записывают: «Диаметр является хордой». |
3 мин | Учитель записывает памятку: "$d=2r$, $r=\frac{d}{2}$." Затем разбирает условие: "Радиус окружности равен 6 см. Найдите диаметр. Какую формулу выберем? Подставим значение и запишем единицу измерения." | Записывают решение: $d=2\cdot6=12$ см. Объясняют, что диаметр в два раза больше радиуса. |
Запись в тетрадях
- Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
- Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.
- Каждый диаметр является хордой, но не каждая хорда является диаметром.
- $d=2r$, $r=\frac{d}{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть точные признаки: два конца на окружности — это хорда, прохождение через центр — диаметр. С этой памяткой приступаем к первым заданиям рабочего листа."
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: применить новые определения и формулы при выполнении заданий №1–4 рабочего листа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Откройте рабочий лист. Самостоятельно выполните задания №1–3. В №1 найдите определение хорды, в №3 отметьте истинные и ложные утверждения и обязательно объясните хотя бы одно решение соседу." Через две минуты просит поднять сигнальную карточку при затруднении. | Выполняют №1–3. Выбирают: «Отрезок, соединяющий две точки окружности». В №3 отмечают: «Хорда имеет два конца на окружности» — истина; «Любая хорда проходит через центр» — ложь; «Диаметр является хордой» — истина; «Хорда всегда длиннее диаметра» — ложь. |
3 мин | Учитель разбирает ответы: "Проверим не только буквы, но и рассуждение. Почему диаметр является хордой? Почему хорда не может быть длиннее диаметра? Теперь выполните задание №4: сначала найдите радиус при диаметре 18 см, затем диаметр при радиусе 7 см." | Объясняют свойства хорды и диаметра, решают: $18:2=9$ см; $2\cdot7=14$ см. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь листами с соседом. Проверьте определения, формулы, единицы измерения. Если нашли ошибку, не просто исправьте число, а напишите короткую подсказку: «нужно разделить диаметр на 2» или «нужно умножить радиус на 2»." | Взаимно проверяют задания №1–4, исправляют ошибки и формулируют подсказки однокласснику. |
Эталон решения
№2: $r=6$ см, поэтому $d=2r=2\cdot6=12$ см. №4: 1) $r=\frac{d}{2}=\frac{18}{2}=9$ см; 2) $d=2r=2\cdot7=14$ см. В №3 истинны утверждения 1 и 3, ложны утверждения 2 и 4.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились выбирать определение хорды, различать истину и ошибку и применять связь радиуса с диаметром. Далее проверим, сможете ли вы использовать эти признаки в таблице и в задаче на поиск диаметра среди хорд."
Этап 6. Самостоятельная работа с применением и самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно применить признаки хорды и диаметра в заданиях №5–10 рабочего листа, включая задачу с расстоянием от центра до хорды.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель даёт инструкцию: "Выполните задания №5–9. В №5 соединяйте элемент с характеристикой по ключевым словам; в №6 используйте формулы $d=2r$ и $r=\frac{d}{2}$; в №8 ищите хорду, длина которой равна диаметру; в №9 сначала восстановите алгоритм, а затем проговорите его." | Заполняют соответствия в №5, таблицу №6, сравнивают величины в №7, находят лишнюю запись в №8 и располагают шаги решения в №9. |
4 мин | Учитель разбирает задание №8: "Сравним каждую хорду с диаметром своей окружности. В первом случае радиус 8 см, значит диаметр 16 см. Во втором диаметр 12 см, хорда 5 см. В третьем радиус 6 см, диаметр 12 см, хорда 9 см. В четвёртом диаметр 14 см, хорда 10 см. Какая запись описывает диаметр?" | Вычисляют диаметры и отвечают: «Лишняя запись — хорда длиной 16 см в окружности радиуса 8 см, потому что её длина равна диаметру 16 см». |
2 мин | Учитель предлагает задачу №10 и направляет рассуждение: "В окружности радиуса 13 см проведена хорда длиной 10 см. Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам. Что получим после проведения перпендикуляра? Какие стороны прямоугольного треугольника известны? Запишите формулу теоремы Пифагора и найдите расстояние." | Делят хорду пополам: получают отрезок 5 см. Рассматривают прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см и катетами 5 см и $x$, составляют $x^2+5^2=13^2$. |
Эталон решения
В задаче №10 половина хорды равна $10:2=5$ см. Радиус является гипотенузой прямоугольного треугольника. Если $x$ — расстояние от центра до хорды, то $x^2+5^2=13^2$, поэтому $x^2=169-25=144$, $x=12$ см. Ответ: 12 см.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили определения, формулы и геометрическую модель. Особенно важно, что в задаче №10 мы использовали не догадку, а свойства перпендикуляра к хорде и теорему Пифагора. Осталось оценить свою работу и зафиксировать результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать усвоенные способы действий, выявить затруднения и получить посильное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Билет на выход»: "На маленьком листке запишите три пункта: определение хорды, формулу для нахождения диаметра по радиусу и один шаг решения задачи о расстоянии от центра до хорды." | Индивидуально записывают три ключевых пункта и сдают листок учителю. |
2 мин | Учитель проводит самооценку: "Закончите фразы: «Я могу отличить хорду от диаметра, потому что…»; «При поиске радиуса по диаметру я…»; «Мне нужно повторить…». Покажите зелёную, жёлтую или красную карточку." | Заполняют фразы, показывают карточку, называют затруднение: «не забыть разделить диаметр на два», «понять задачу на расстояние до хорды». |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите уровень по результату сегодняшней самооценки. Базовый обязателен для всех, повышающий поможет закрепить таблицы и сравнение, дополнительный предназначен для тех, кто готов к более сложной задаче. Номера из конкретного учебника не задаём: используйте задания своего комплекта, соответствующие описанию." | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения по формату выполнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы установили, что хорда соединяет две точки окружности, а диаметр является хордой, проходящей через центр. Вы научились находить радиус и диаметр и сделали первый шаг к задачам, где хорда связана с прямоугольным треугольником."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены задания №1–9, в задании №10 составлена правильная модель и получен ответ 12 см; определения, формулы и единицы измерения записаны корректно.
- «4» — допущена одна-две ошибки в заданиях №1–9 или вычислительная ошибка при сохранении правильного способа решения задачи №10.
- «3» — правильно выполнены задания на определение хорды и связь радиуса с диаметром, но допущены ошибки в классификации хорд, алгоритме или задаче №10.
- Результат ниже отметки «3» означает необходимость повторить признаки хорды и формулы $d=2r$, $r=\frac{d}{2}$ с последующей корректирующей работой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое хорда и чем она отличается от радиуса? | Проверка осознания ключевого определения и различения элементов окружности. |
Почему диаметр является хордой, но не каждая хорда является диаметром? | Выявление понимания отношения между понятиями. |
Какое действие нужно выполнить, чтобы найти радиус по диаметру? | Проверка осознания алгоритма $r=\frac{d}{2}$. |
Что было самым сложным в задаче о расстоянии от центра до хорды? | Выявление точек затруднения в построении прямоугольного треугольника и применении теоремы Пифагора. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились видеть в окружности не просто линию, а систему связанных элементов. Главное правило урока: хорда соединяет две точки окружности, а диаметр — это хорда, проходящая через центр. Не забывайте проверять, относится ли данный отрезок к своей окружности и совпадает ли его длина с диаметром. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства хорд и будем решать более сложные геометрические задачи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 коротких заданий на выбор определения хорды, различение хорды и диаметра, нахождение диаметра по радиусу и радиуса по диаметру; включить не менее двух задач с проверкой истинности утверждений. | Закрепляет определения и формулы. При проверке обратить внимание на правильный выбор действия и единицы измерения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на заполнение таблицы с радиусом, диаметром и длиной хорды, сравнение отрезков и поиск диаметра среди заданных хорд; одну задачу оформить с объяснением выбора. | Формирует умение применять признаки хорды и диаметра в разных представлениях. Проверить полноту рассуждения, а не только ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 задачи на расстояние от центра окружности до хорды, где известны радиус и длина хорды, используя деление хорды перпендикуляром и теорему Пифагора; составить к одной задаче схематический рисунок. | Развивает моделирование и перенос способа решения. Проверить правильность построения прямоугольного треугольника, вычислений и округления, если оно требуется. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какими словами определяется хорда?», «Как связаны радиус и диаметр?», «Как доказать, что хорда является диаметром?», «Почему перпендикуляр из центра к хорде позволяет рассмотреть половину хорды?»
