Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить наибольший общий делитель двух и нескольких натуральных чисел, определять взаимно простые числа и применять эти умения при решении не менее трёх практических задач.
- Закрепить понимание делителя, общего делителя, наибольшего общего делителя и взаимно простых чисел.
- Отработать два способа нахождения НОД: перебором делителей и разложением чисел на простые множители.
- Развивать умение сравнивать способы решения, объяснять ход рассуждений, проверять результат и выбирать задания соответствующего уровня сложности.
- Воспитывать ответственность за результат общей работы, математическую аккуратность и готовность аргументированно отстаивать своё решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявлять интерес к поиску нескольких способов решения математической задачи.
- Осознавать значение точности, последовательности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Принимать участие в командной игре, соблюдая правила и уважая ответы одноклассников.
- Оценивать собственный вклад в парную и групповую работу.
Метапредметные
- Планировать последовательность действий при нахождении НОД и проверять полученный результат.
- Сравнивать информацию из условия задачи с известными признаками делимости и делать вывод.
- Работать с математическим текстом учебника, выделяя определения, алгоритм и ключевые примеры.
- Формулировать ответ, объяснять решение партнёру и корректно воспринимать замечания.
- Выбирать уровень задания и оценивать степень его выполнения по предложенным критериям.
Предметные
- Знать определения делителя, общего делителя, НОД и взаимно простых чисел.
- Уметь находить НОД двух и нескольких чисел перебором делителей и с помощью разложения на простые множители.
- Уметь определять, являются ли два числа взаимно простыми, по значению их НОД.
- Уметь применять НОД при решении задач на разбиение предметов на одинаковые группы без остатка.
- Уметь записывать решение математически грамотно и выполнять проверку результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают практическую ценность умения находить общий размер равных групп.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания.
- Формируют положительное отношение к математическому поиску и преодолению затруднений.
- Соблюдают правила честного соревнования и взаимного уважения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель выполнения конкретного задания.
- Планируют действия по алгоритму нахождения НОД.
- Проверяют вычисления с помощью обратного действия или повторного способа.
- Обнаруживают ошибку, исправляют её и объясняют причину.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют, что требует повторения.
Познавательные УУД
- Выделяют общие делители чисел и выбирают наибольший из них.
- Разлагают натуральные числа на простые множители и находят общую часть разложений.
- Сравнивают перебор делителей и разложение на множители.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью схемы равных групп.
- Используют сведения из учебника для уточнения алгоритма.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру последовательность нахождения НОД.
- Задают уточняющие вопросы по решению товарища.
- Распределяют роли в группе и согласуют общий ответ.
- Аргументируют, почему числа являются или не являются взаимно простыми.
- Соблюдают регламент выступления и правила математического диалога.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: определения НОД и взаимно простых чисел, два алгоритма, признаки проверки ответа.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить 6 комплектов игровых карточек с парами и тройками чисел для командной игры «Математическое домино».
- Подготовить листы самооценки и маленькие листочки для рефлексии — по одному на каждого ученика.
- Подготовить таблицу критериев: правильность разложения, нахождение общих множителей, запись ответа, объяснение.
- Подготовить на доске маршрут урока и обозначения уровней: базовый, повышенный, творческий.
- Заранее выбрать в учебнике текст определения и примеры для коллективного повторения без указания страниц.
- Подготовить таймер, маркеры, магнитные карточки с числами и сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цветов.
- Организовать свободное пространство для короткой физкультминутки; убрать с проходов сумки и стулья.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать игровой настрой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к математическому марафону: тетрадь, ручка, учебник и карточка для ответов. Сегодня мы будем не просто решать примеры, а искать самый большой общий ключ к числам." Учитель показывает на доске слово «КЛЮЧ» и сообщает, что ключом станет НОД. | Проверяют готовность, записывают дату, располагают материалы на парте. |
2 мин | Учитель говорит: "Представьте, что у нас есть 24 красных и 36 синих фишек. Нужно разложить их в одинаковые наборы без остатка. Какой вопрос нужно задать, чтобы наборы были как можно больше?" Учитель принимает версии и объявляет игру «Математический ключ». | Формулируют: «Нужно найти самый большой общий делитель 24 и 36», предполагают ответ: «12». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что НОД помогает делить предметы на самые большие одинаковые группы. Сейчас проверим, какие знания понадобятся для поиска этого ключа."
Этап 2. Актуализация знаний. Разминка «Верно — неверно» (5 мин)
Цель этапа: восстановить понятия делителя, простого числа и разложения на простые множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает утверждения: "Число 6 является делителем 24. Число 5 делится на 2 без остатка. У числа 17 два делителя. Разложение 18 на простые множители имеет вид $18=2\cdot3\cdot3$." Учитель просит поднять зелёную карточку для верного утверждения и красную для неверного, затем требует короткое объяснение. | Поднимают карточки, исправляют ошибочные утверждения: «5 не делится на 2», «у 17 два делителя: 1 и 17». |
2 мин | Учитель предлагает в парах найти все делители чисел 12 и 18: "Запишите делители, подчеркните общие и назовите самый большой общий делитель. На работу — одна минута, затем сравним ответы." | В парах записывают делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12; 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; называют общие делители 1, 2, 3, 6 и НОД 6. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Общий делитель нескольких чисел — число, на которое делится каждое из них. НОД — наибольший общий делитель».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить общие делители перебором. Но если числа большие, такой путь становится длинным. Сейчас установим, как быстро находить НОД с помощью разложения на простые множители."
Этап 3. Проверка алгоритма по учебнику и постановка задачи (5 мин)
Цель этапа: актуализировать алгоритм нахождения НОД и сформулировать критерии правильного решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к тексту учебника: "Откройте учебник на теме НОД и найдите определение и пример разложения чисел на простые множители. Прочитайте пример про себя, а затем отметьте карандашом три действия: разложить числа, выбрать общие простые множители, перемножить их." Учитель фиксирует на доске алгоритм. | Читают фрагмент учебника, выделяют три шага, сверяют их с записью на доске. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Почему нельзя просто перемножить все множители из двух разложений? Что произойдёт, если общий множитель взять дважды?" Учитель подводит к необходимости брать общие множители в минимальном количестве. | Объясняют: «Каждый общий множитель учитывается столько раз, сколько он встречается в обоих разложениях; лишний множитель изменит НОД». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм найден: разложить, выделить общие множители, перемножить их. Теперь применим его и выясним, как по НОД распознавать взаимно простые числа."
Этап 4. Закрепление алгоритма в игре «Математический ключ» (8 мин)
Цель этапа: закрепить нахождение НОД разложением на простые множители и развивать сотрудничество.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель делит класс на команды по 4–5 человек и раздаёт комплект карточек: "В каждой команде есть пары чисел. Один участник раскладывает первое число, второй — второе, третий ищет общие множители, четвёртый проверяет решение. Через две минуты передайте роли по кругу." | Распределяют роли, записывают на общем листе алгоритм и готовят решение. |
4 мин | Учитель предлагает карточки: $24$ и $36$; $45$ и $60$; $28$ и $42$. Говорит: "За правильный НОД команда получает два балла, за полное объяснение — ещё один. Не называйте ответ без разложения: нам важен путь." | Решают: $24=2\cdot2\cdot2\cdot3$, $36=2\cdot2\cdot3\cdot3$, НОД $=2\cdot2\cdot3=12$; для остальных пар получают НОД 15 и 14. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь листами с соседней командой. Проверьте не только число, но и наличие трёх шагов алгоритма. Если нашли ошибку, поставьте рядом вопросительный знак, а не исправляйте решение за товарищей." | Проверяют записи по образцу, отмечают пропущенные шаги, задают уточняющие вопросы и возвращают листы. |
Эталон решения
Для пары $45$ и $60$: $45=3\cdot3\cdot5$, $60=2\cdot2\cdot3\cdot5$. Общие простые множители: $3$ и $5$. Поэтому $НОД(45;60)=3\cdot5=15$. Проверка: $45:15=3$, $60:15=4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Команды справились с поиском общего ключа. Теперь усложним задачу: попробуем определить числа, у которых общий ключ равен единице."
Этап 5. Физкультминутка «Делители в движении» (2 мин)
Цель этапа: снять утомление и восстановить внимание через двигательную математическую игру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. Я называю число. Если число 2 является его делителем — поднимите руки вверх, если 3 — выполните наклон вправо, если 5 — наклон влево. Число 7 — один хлопок. Начинаем: 10, 12, 15, 21, 25." Учитель следит за безопасной дистанцией и темпом. | Выполняют движения: для 10 поднимают руки и наклоняются влево; для 12 поднимают руки и наклоняются вправо; для 15 наклоняются влево; для 21 наклоняются вправо; для 25 наклоняются влево. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и ещё раз вспомнили, что делитель должен делить число без остатка. Садимся и переходим к самостоятельной проверке каждого ученика."
Этап 6. Взаимно простые числа и межпредметная задача (6 мин)
Цель этапа: закрепить определение взаимно простых чисел и применить НОД в практическом контексте.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: "Два числа называются взаимно простыми, если их НОД равен 1. Например, 8 и 15 взаимно простые, потому что $НОД(8;15)=1$." Затем спрашивает: "Обязательно ли взаимно простые числа должны быть простыми?" | Отвечают: «Нет. Например, 8 и 9 — составные и взаимно простые, потому что их НОД равен 1». |
4 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу с элементами технологии: "Есть лента длиной 48 см и проволока длиной 60 см. Нужно нарезать их на одинаковые по длине куски, не оставляя отходов, причём куски должны быть как можно длиннее. Какова длина одного куска и сколько получится кусков каждого материала?" Учитель просит сначала назвать математическую модель. | Записывают: нужно найти $НОД(48;60)$. Находят $48=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3$, $60=2\cdot2\cdot3\cdot5$, НОД $=12$. Получают: $48:12=4$ куска ленты и $60:12=5$ кусков проволоки. |
Эталон решения
$48=2^4\cdot3$, $60=2^2\cdot3\cdot5$. Общая часть разложений: $2^2\cdot3=12$. Длина одного куска — $12$ см. Количество кусков: $48:12=4$, $60:12=5$. Ответ: 12 см; 4 куска ленты и 5 кусков проволоки.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что НОД нужен не только в примерах, но и при планировании материалов. Теперь каждый покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 7. Самостоятельная работа с выбором уровня (10 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить умение находить НОД и определять взаимно простые числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Базовый предназначен для обязательного выполнения, повышенный выбирают те, кто уверен в алгоритме, творческий можно взять дополнительно. Работайте самостоятельно, разложения записывайте полностью." | Выбирают карточку, записывают фамилию и начинают работу. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: найти $НОД(18;30)$ и $НОД(27;45)$; определить, взаимно ли просты 14 и 25. Повышенный: найти $НОД(36;84;108)$ и решить задачу о разбиении 72 яблок и 90 апельсинов на одинаковые наборы. Творческий: подобрать две составные взаимно простые пары чисел и доказать это. | Решают индивидуально, оформляют разложения, записывают промежуточные действия и ответы. |
3 мин | Учитель выводит на доску эталон: $НОД(18;30)=6$, $НОД(27;45)=9$, $НОД(14;25)=1$. Для повышенного уровня показывает общие множители трёх чисел и просит выполнить самопроверку зелёной или жёлтой карточкой. | Сверяют решения, подчёркивают место ошибки, исправляют вычисления, отмечают уровень освоения. |
Эталон решения
$36=2^2\cdot3^2$, $84=2^2\cdot3\cdot7$, $108=2^2\cdot3^3$. Общие множители: $2^2$ и $3$, поэтому $НОД(36;84;108)=2^2\cdot3=12$. Для 72 и 90: $72=2^3\cdot3^2$, $90=2\cdot3^2\cdot5$, НОД $=2\cdot3^2=18$. Получится 4 набора по 18 яблок и 5 наборов по 18 апельсинов.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Осталось зафиксировать, что именно получилось, где возникли трудности и какой шаг нужно потренировать дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, провести самооценку и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Закончите три фразы: «Я умею находить НОД…», «Я могу определить взаимно простые числа, если…», «Мне нужно повторить…». Затем поставьте один цвет: зелёный — работаю самостоятельно, жёлтый — нужна одна подсказка, красный — нужен разбор с учителем." | Заполняют лист самооценки, формулируют личный результат и выбирают цветовой сигнал. |
3 мин | Учитель объясняет домашнюю работу: "Выберите обязательный уровень. Повышающий и дополнительный уровни берите по готовности. Перед выходом ответьте устно на контрольные вопросы: что такое НОД, как его найти по разложениям, когда числа взаимно простые?" | Записывают выбранный уровень и отвечают: «НОД — наибольший общий делитель», «взаимно простые числа имеют НОД 1», «общие множители перемножают». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, разложения записаны без ошибок, НОД найден корректно, решение практической задачи содержит вычисления и полный ответ.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, но алгоритм и определение взаимно простых чисел поняты.
- «3» — выполнено не менее 60% обязательных заданий, НОД найден хотя бы в одной паре чисел, однако требуется исправление отдельных шагов алгоритма.
- Ниже «3» — работа требует индивидуального разбора понятий делителя, общего делителя и последовательности разложения на простые множители.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое НОД и какие два способа его нахождения мы повторили? | Проверка осознания ключевого понятия и алгоритмов. |
Как доказать, что два числа взаимно простые? | Выявление понимания связи между взаимной простотой и условием $НОД=1$. |
На каком шаге решения ты чаще всего ошибался? | Выявление точек затруднения в разложении и выборе общих множителей. |
Какой уровень задания ты выбрал и что помогло справиться? | Формирование навыка самооценки и осознание личной стратегии работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили умение находить наибольший общий делитель перебором и разложением на простые множители. Мы установили, что взаимно простые числа имеют НОД, равный 1, и применили это знание к задаче о разбиении материалов на равные части. Обращайте внимание на типичную ошибку: нельзя брать в НОД все множители подряд, нужно выбрать только общие. На следующем уроке мы продолжим применять делимость и научимся использовать общие кратные при решении практических задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания: найти НОД двух пар чисел разложением на простые множители, найти НОД одной пары перебором делителей, определить, являются ли две пары чисел взаимно простыми. | Закрепляет определения и последовательность алгоритма; при проверке обратить внимание на полную запись разложений и обоснование ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи практического содержания на разбиение предметов или материалов на одинаковые максимально большие группы без остатка; в каждой задаче записать математическую модель через НОД. | Формирует умение переносить алгоритм в жизненный контекст; при проверке смотреть на выбор НОД и полный ответ с единицами измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две собственные задачи: одну на нахождение НОД трёх чисел, другую на взаимно простые составные числа; решить их двумя способами там, где это возможно, и объяснить выбор способа. | Развивает создание математической модели, сравнение способов и аргументацию; при проверке оценить корректность условий и решений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой наибольший общий делитель чисел 16 и 24?», «Являются ли числа 25 и 18 взаимно простыми?», «Какой общий множитель нельзя включать в НОД, если он встречается только в одном разложении?»
