Наибольший общий делитель. Взаимно обратные числа
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: за 45 минут закрепить умение находить наибольший общий делитель двух чисел разложением на простые множители и подбором делителей, а также распознавать и составлять взаимно обратные числа, выполнив не менее 80% заданий базового уровня.
- Закрепить алгоритм нахождения НОД двух натуральных чисел и умение применять его при решении практических задач.
- Закрепить понятие взаимно обратных чисел и умение находить число, обратное данному, включая смешанные числа и дроби.
- Развивать умение выбирать способ решения, объяснять ход рассуждений, проверять результат и находить ошибки.
- Воспитывать ответственность за общий результат, интерес к математике через игровые задания и готовность сотрудничать с одноклассниками.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительную мотивацию к изучению математики через участие в командной игре и решение задач разного уровня.
- Осознают ценность аккуратности, взаимопомощи и настойчивости при выполнении вычислений.
- Оценивают собственный вклад в работу пары или команды и принимают ответственность за результат.
- Проявляют готовность спокойно воспринимать ошибку как основание для коррекции способа действия.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки НОД и взаимно обратных чисел, сравнивают способы решения.
- Планируют последовательность действий по алгоритму и осуществляют самопроверку по образцу.
- Извлекают информацию из формулировки задачи и материалов учебника, преобразуют её в математическую запись.
- Работают в паре и группе, формулируют ответ полным предложением и аргументируют выбранный способ.
- Используют математическую речь и символическую запись для описания отношений между числами.
Предметные
- Знать определение наибольшего общего делителя двух или нескольких чисел и признаки взаимно обратных чисел.
- Уметь находить НОД разложением чисел на простые множители и перечислением общих делителей.
- Уметь определять число, взаимно обратное данному натуральному числу, обыкновенной дроби или смешанному числу.
- Уметь применять НОД при решении задач на разбиение предметов на равные группы без остатка.
- Уметь проверять, являются ли два числа взаимно обратными, по произведению, равному 1.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу на уроке: проверить, насколько уверенно применяют алгоритмы НОД и нахождения обратного числа.
- Осознают связь математических действий с практическими ситуациями распределения предметов поровну.
- Формируют ответственное отношение к результату индивидуальной и групповой работы.
- Развивают уверенность при объяснении собственного решения одноклассникам.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель, сформулированную совместно с учителем.
- Планируют решение по шагам: разложить числа, выделить общие множители, перемножить их и проверить ответ.
- Сверяют вычисления с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и цветового сигнала.
- Распределяют время между заданиями базового и повышенного уровня.
Познавательные УУД
- Классифицируют числа по признаку взаимной обратности.
- Сравнивают два способа нахождения НОД и выбирают более рациональный для конкретной пары чисел.
- Моделируют условие практической задачи с помощью деления и записи НОД.
- Устанавливают причинно-следственную связь между произведением чисел и их взаимной обратностью.
- Используют знаково-символические средства для записи разложения на простые множители.
Коммуникативные УУД
- Согласовывают действия в паре при выполнении игрового задания.
- Задают уточняющие вопросы о последовательности решения.
- Объясняют, почему найденное число является НОД или обратным данному.
- Слушают решение одноклассника и корректно указывают на возможную ошибку.
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий, докладчик.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или презентацию с темой урока, определениями НОД и взаимно обратных чисел, а также алгоритмами проверки.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего 30 экземпляров.
- Подготовить игровые карточки для пар: на одной половине записаны числа, на другой — возможные НОД или обратные числа; по одному комплекту на пару.
- Подготовить 10 коротких заданий для командной игры «Математическое домино» и бланк фиксации ответов для каждой группы.
- Распечатать лист самооценки и карточки «зелёный — жёлтый — красный» по одной на каждого ученика.
- Подготовить маркеры, стикеры и жетоны для командного соревнования; назначить 3–4 команды по 4–5 человек.
- Подготовить материалы из учебника по теме для работы на уроке: задания на нахождение НОД, взаимно обратных чисел и практическую задачу на разбиение.
- Освободить место между рядами для физкультминутки, подготовить на доске короткую инструкцию с математическими движениями.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для игровых раундов и самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и обозначить практическую ценность повторения двух математических способов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка самооценки должны лежать перед вами. Сегодня нам понадобится не только скорость, но и точность. Ошибка не будет поводом остановиться: мы будем находить её и исправлять." | Проверяют принадлежности, записывают дату, занимают места в командах. |
2 мин | Учитель показывает на доске две записи: $НОД(18;24)$ и число $\frac{3}{5}$. "Посмотрите на доску. Какую общую тему могут объединять эти записи? Где нам нужно найти общий признак, а где — выполнить действие с числом? Сегодня проведём математическую тренировку и выясним, насколько уверенно владеем обоими способами." | Предполагают: "В первой записи нужно найти общий делитель, а во второй — обратное число"; формулируют тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы определили два направления работы: НОД и взаимно обратные числа. Сначала проверим опорные знания, а затем применим их в игре и самостоятельных заданиях."
Этап 2. Актуализация знаний. Устный математический разогрев (6 мин)
Цель этапа: восстановить определения, признаки делимости и порядок действий, необходимые для выполнения заданий урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Математический светофор»: "Я называю утверждение, а вы поднимаете зелёную карточку, если согласны, и красную, если нет. После каждого ответа один ученик объясняет решение. Первое утверждение: НОД двух чисел может быть больше одного из этих чисел. Второе: НОД взаимно простых чисел равен 1. Третье: чтобы найти НОД, достаточно перемножить все простые множители обоих чисел." | Поднимают карточки. Исправляют утверждения: "НОД не больше меньшего из чисел"; "у взаимно простых чисел НОД равен 1"; "перемножают только общие простые множители с наименьшими показателями". |
3 мин | Учитель проводит устный блиц: "Назовите делители чисел 12 и 18. Какой общий делитель самый большой? Какое число является обратным для $\frac{2}{7}$? А для $5$? Как проверить пару чисел на взаимную обратность?" Учитель фиксирует ключевые ответы на доске. | Называют делители, получают $НОД(12;18)=6$; отвечают: "$\frac{7}{2}$", "$\frac{1}{5}$"; формулируют проверку: "произведение двух чисел должно быть равно 1". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные правила восстановлены. Теперь проверим их не отдельными ответами, а последовательным алгоритмом, чтобы каждый шаг был понятен и проверяем."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка учебной задачи и повторение алгоритмов (5 мин)
Цель этапа: уточнить критерии правильного решения и подготовить учащихся к самостоятельному выбору способа действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске числа $36$ и $48$: "Работайте в парах. За одну минуту предложите два способа нахождения НОД этих чисел: через список делителей и через разложение на простые множители. Не просто назовите ответ, а договоритесь, какой способ удобнее и почему." | В парах составляют списки делителей или раскладывают числа: $36=2^2\cdot3^2$, $48=2^4\cdot3$; предлагают $НОД(36;48)=2^2\cdot3=12$. |
3 мин | Учитель оформляет на доске «Шпаргалку-напоминание»: "Для НОД разложите числа на простые множители, выберите общие множители с наименьшими показателями и перемножьте их. Для обратного числа поменяйте местами числитель и знаменатель, а у натурального числа поставьте его в знаменатель: $a=\frac{a}{1}$, обратное число — $\frac{1}{a}$. В конце обязательно выполните проверку." | Записывают алгоритмы, формулируют цель: "Закрепить нахождение НОД и нахождение взаимно обратных чисел, объясняя и проверяя решение". |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: $НОД(a;b)$ — наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$. Если $a\cdot b=1$, то числа $a$ и $b$ взаимно обратны. Алгоритм НОД: разложить числа; выбрать общие простые множители с меньшими показателями; перемножить их.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть общий эталон действий. Переходим к игре, где правильность ответа принесёт команде баллы, но балл засчитывается только при объяснении."
Этап 4. Игровое закрепление «Математическое домино» (8 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание НОД и взаимно обратных чисел в условиях сотрудничества и ограниченного времени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой команде комплект домино: "На одной карточке записано задание, на другой — возможный ответ. Ваша задача — выстроить цепочку. Раунд длится две минуты. После сигнала докладчик объясняет одну выбранную связь, а проверяющий сверяет вычисления." | Распределяют роли, читают карточки, находят соответствия между заданиями и ответами. |
3 мин | Учитель запускает первый раунд: задания включают $НОД(24;36)$, $НОД(45;60)$, обратное число для $\frac{4}{9}$ и проверку пары $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$. Поддерживает команды вопросами: "Какие множители общие? Почему вы выбрали именно эти?" | Разлагают числа, получают $12$ и $15$, находят $\frac{9}{4}$ и проверяют произведение $\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}=1$. |
3 мин | Учитель проводит второй раунд повышенной сложности: $НОД(72;90)$, обратное число для $2\frac{1}{3}$ и выбор неверной пары. "Не спешите: сначала преобразуйте смешанное число в неправильную дробь. Команда получает жетон только за ответ с объяснением." | Находят $НОД(72;90)=18$; преобразуют $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ и называют обратное $\frac{3}{7}$; аргументируют выбор ответа. |
Эталон решения
$72=2^3\cdot3^2$, $90=2\cdot3^2\cdot5$. Общие множители с меньшими показателями: $2\cdot3^2=18$, поэтому $НОД(72;90)=18$. Смешанное число $2\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$, значит, взаимно обратное ему число — $\frac{3}{7}$, так как $\frac{7}{3}\cdot\frac{3}{7}=1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Команды показали, что умеют быстро распознавать нужный алгоритм. Теперь сделаем короткую разминку, а затем каждый самостоятельно проверит собственный результат."
Этап 5. Физкультминутка «Делители в движении» (3 мин)
Цель этапа: снять мышечное и зрительное напряжение, сохранив математическую направленность активности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. Если число, которое я называю, делится на 2, поднимите руки вверх; если на 3 — потянитесь в стороны; если на 5 — сделайте шаг на месте. Если число не делится ни на одно из них, спокойно присядьте." | Выполняют движения по инструкции для чисел 12, 25, 18 и 17. |
1 мин | Учитель продолжает: "Теперь я называю дробь. Если вы можете быстро назвать обратное число, покажите его числитель руками в виде числа и проговорите ответ. Для $\frac{1}{4}$, $\frac{5}{6}$ и $3$ действуем без выкриков, по сигналу." | Показывают и проговаривают: "$4$, $\frac{6}{5}$, $\frac{1}{3}$". |
1 мин | Учитель: "Сделайте вдох, потянитесь вверх, выдохните и сядьте. Проверьте положение тетради и приготовьте ручку для индивидуальной работы." | Выполняют дыхательное упражнение, садятся, готовят рабочее место. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили внимание и ещё раз проговорили математические признаки. Теперь каждый покажет, что может выполнить задания без подсказки команды."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмами и обеспечить каждому посильный уровень продвижения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Базовый уровень обязателен для всех. Если выполните его уверенно, переходите к повышенному. Продвинутый уровень выбирают те, кто готов объяснить решение практической задачи. На карточке обязательно оставляйте промежуточные записи." | Выбирают карточку, читают критерии, задают уточняющие вопросы до начала работы. |
6 мин | Учитель предлагает задания. Базовый: найти $НОД(42;56)$ и $НОД(63;81)$; найти обратные числа для $\frac{3}{8}$ и $7$. Повышенный: найти $НОД(84;126)$ и определить, являются ли взаимно обратными $1\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{3}$. Продвинутый: решить задачу: "Есть 48 красных и 60 синих фишек. Их нужно разложить в одинаковые наборы так, чтобы в каждом наборе было одинаковое число красных и одинаковое число синих фишек, а наборов получилось как можно больше. Сколько наборов получится?" | Индивидуально выполняют задания, записывают разложения и проверки. Получают: $НОД(42;56)=14$, $НОД(63;81)=9$, обратные числа $\frac{8}{3}$ и $\frac{1}{7}$; $НОД(84;126)=42$, числа $1\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ взаимно обратны; в задаче 12 наборов. |
4 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте сначала ответы, затем ход решения. Отметьте зелёным верный шаг, жёлтым — шаг, который нужно уточнить, красным — ошибку. Исправление выполните рядом, не стирая первоначальную запись." | Сверяют решения, отмечают затруднения, исправляют ошибки, заполняют краткую самооценку. |
Эталон решения
Для задачи о фишках: $48=2^4\cdot3$, $60=2^2\cdot3\cdot5$, поэтому $НОД(48;60)=2^2\cdot3=12$. Можно составить 12 одинаковых наборов. В каждом наборе будет $48:12=4$ красные и $60:12=5$ синих фишек.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой алгоритм уже стал уверенным, а какой требует повторения. Осталось обобщить знания и оценить, достигли ли мы цели урока."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способы действий, выявить затруднения и зафиксировать индивидуальный результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Закончи фразу»: "Сегодня я научился или повторил... Для нахождения НОД мне важно не забыть... Взаимно обратные числа проверяются так..." Учитель просит назвать ответы нескольким ученикам. | Формулируют: "НОД находится по общим простым множителям с меньшими показателями"; "обратные числа в произведении дают 1". |
2 мин | Учитель показывает три сигнала: "Зелёный — могу решить и объяснить; жёлтый — решаю с небольшой подсказкой; красный — нужно ещё раз разобрать алгоритм. Поднимите карточку и запишите одно действие, которое поможет перейти на следующий уровень." | Поднимают карточки, записывают личный шаг: "повторю разложение на множители", "проверю обратные числа умножением". |
1 мин | Учитель выдаёт «Билет на выход»: "Запишите без обсуждения два ответа: $НОД(30;45)$ и число, обратное $\frac{5}{9}$. Подпишите, какой способ оказался сегодня самым удобным." | Записывают $НОД(30;45)=15$ и $\frac{9}{5}$, указывают предпочитаемый способ. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы закрепили два алгоритма, применили их в игре, физкультминутке и самостоятельной работе. Ваши билеты на выход помогут определить, что повторим в начале следующего урока."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания базового уровня и не менее двух заданий повышенного или продвинутого уровня; разложения, вычисления и проверки записаны аккуратно и обоснованно.
- «4» — верно выполнены все задания базового уровня и допущена не более одной вычислительной ошибки в повышенном или продвинутом задании; алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — выполнено не менее 70% заданий базового уровня, правильно найдены хотя бы один НОД и одно обратное число, но требуется исправление отдельных шагов алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма нахождения НОД вы выполняете уверенно? | Выявление осознанности последовательности действий. |
Как вы проверяете, что два числа взаимно обратны? | Проверка понимания признака взаимной обратности. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление точек затруднения и причин ошибки. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете? | Формирование самооценки и учебной самостоятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы закрепили нахождение наибольшего общего делителя и научились уверенно проверять взаимную обратность чисел. Помните: при нахождении НОД нельзя перемножать все множители подряд — нужны только общие множители с меньшими показателями. При работе с дробями полезно сразу проверить результат произведением, равным 1. На следующем уроке мы продолжим применять эти знания при действиях с дробями и решении задач. Спасибо за внимательную и командную работу."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: найти НОД двух пар натуральных чисел разложением на простые множители; найти числа, обратные двум обыкновенным дробям и одному натуральному числу; выполнить проверку одного ответа. | Закрепляет базовые алгоритмы; при проверке обратить внимание на запись разложения, выбор общих множителей и произведение взаимно обратных чисел. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задания: найти НОД трёх пар чисел, определить взаимно обратные пары среди 5 предложенных пар, решить практическую задачу на разбиение 36 и 54 предметов на максимальное число одинаковых наборов. | Развивает выбор способа и применение НОД в жизненном контексте; проверить наличие пояснения к каждому ответу. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на НОД с реальными предметами или ресурсами, а также придумать две пары взаимно обратных чисел, одна из которых содержит смешанное число. Записать проверку каждого решения. | Развивает создание математической модели и аргументацию; проверить корректность условия, решения и проверки произведением. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти НОД разложением на простые множители? Какие множители выбираются? Как проверить, что два числа взаимно обратны? Как найти число, обратное смешанному числу?»
