Модуль числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить модуль положительного и отрицательного числа, изображать его на координатной прямой и применять правило модуля при сравнении чисел, выполнив не менее 4 из 5 учебных заданий верно.
- Сформировать представление о модуле числа как о расстоянии от точки до начала координат и вывести правило нахождения модуля положительного, отрицательного числа и нуля.
- Научить находить модуль чисел и использовать координатную прямую для объяснения полученного ответа.
- Развивать умение анализировать условие, выдвигать гипотезу, проверять её и аргументировать решение в паре.
- Воспитывать аккуратность математической записи, уверенность при обсуждении решения и готовность проверять результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность точного математического языка при описании расстояний и положения объектов.
- Проявлять интерес к исследованию нового понятия через жизненную ситуацию и работу с координатной прямой.
- Формировать ответственное отношение к собственной записи и результату взаимопроверки.
- Принимать возможность ошибки как этап проверки гипотезы и поиска верного способа.
Метапредметные
- Выделять существенную информацию в условии задачи и переводить её в математическую модель.
- Сравнивать способы решения, объяснять выбор действия и формулировать вывод на основе наблюдений.
- Планировать последовательность решения, выполнять самопроверку по эталону и исправлять ошибки.
- Участвовать в диалоге, слушать партнёра, задавать уточняющие вопросы и аргументированно представлять ответ.
Предметные
- Знать, что модуль числа — это расстояние от точки, соответствующей числу, до начала координат.
- Знать обозначение модуля числа $|a|$ и правило: $|a|=a$ при $a\geq0$, а $|a|=-a$ при $a<0$.
- Уметь находить модули положительных и отрицательных чисел, нуля и простых дробей.
- Уметь изображать число и его модуль на координатной прямой и объяснять, почему модуль не бывает отрицательным.
- Уметь сравнивать числа по их положению на координатной прямой и применять понятие модуля в практической задаче.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливать учебную задачу как открытие способа измерения расстояния на координатной прямой.
- Проявлять учебную самостоятельность при выборе способа проверки ответа.
- Оценивать собственный вклад в парную работу и корректно принимать замечания.
- Формировать положительное отношение к математике через связь понятия с температурой, этажами и расстояниями.
Регулятивные УУД
- Формулировать цель урока на основе возникшего затруднения.
- Планировать действия: отметить число, определить расстояние до нуля, записать модуль и проверить знак результата.
- Сверять решение с эталоном, находить расхождение и исправлять запись.
- Оценивать степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки и светофора.
Познавательные УУД
- Извлекать информацию из координатной прямой, схемы и таблицы.
- Сравнивать симметричные точки и устанавливать связь между числами $a$ и $-a$.
- Строить математическую модель расстояния от точки до начала координат.
- Классифицировать числа на положительные, отрицательные и ноль для выбора правила.
- Формулировать обобщение на основе нескольких рассмотренных примеров.
Коммуникативные УУД
- Обсуждать гипотезу в паре по алгоритму «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Формулировать полный ответ с использованием терминов «модуль», «расстояние», «начало координат».
- Задавать партнёру вопрос о причине знака в ответе и доказывать правильность решения.
- Соблюдать правила сотрудничества при взаимопроверке и давать содержательную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить координатную прямую от $-6$ до $6$ на доске или экране, выделив начало координат и единичный отрезок.
- Распечатать по одной карточке на парту с изображениями координатных прямых и заданиями трёх уровней сложности, всего 15 карточек.
- Подготовить по одному листу самооценки на каждого ученика с пунктами «Я могу найти модуль», «Я могу объяснить правило», «Я могу проверить себя».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и небольшие листочки для «Билета на выход».
- Вывести на экран жизненную ситуацию: температура $-4\,°C$, высота подвала $-2$ этажа и расстояние от нулевой отметки.
- Записать на доске обозначения $|a|$, $0$, положительное и отрицательное направления; оставить место для формулировки правила.
- Подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, линейки и тетради учеников.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, вызвать интерес к теме через реальную ситуацию с расстоянием и подготовить учащихся к исследованию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к открытию»: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, на парте тетрадь, ручку и линейку. Сегодня нам понадобится внимательный взгляд исследователя: мы будем не просто слушать правило, а сами его обнаружим. Откройте тетради и запишите дату." | Проверяют принадлежности, открывают тетради, записывают дату и готовятся к работе. |
2 мин | Учитель показывает на экране шкалу температуры: город утром имеет температуру $-4\,°C$, а днём $+4\,°C$. "Посмотрите на шкалу. Какая температура дальше от нуля? Можно ли измерить расстояние от отметки до нуля, если число отрицательное? Сегодня мы найдём математический способ отвечать на такие вопросы." | Рассматривают шкалу, предполагают: "Обе отметки находятся на расстоянии 4 единиц от нуля"; формулируют вопрос о способе записи этого расстояния. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что знак числа показывает направление, а расстояние до нуля нужно измерять отдельно. Теперь вспомним, как устроена координатная прямая, чтобы объяснить это наблюдение точно."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать знания о координатной прямой, положительных и отрицательных числах и зафиксировать готовность к открытию нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает координатную прямую от $-6$ до $6$. "Назовите начало отсчёта. В какую сторону расположены положительные числа, а в какую — отрицательные? Что показывает единичный отрезок? Отметьте в тетради точки $A(-3)$, $B(2)$ и $C(0)$." | Отвечают: "Начало координат — точка 0; вправо расположены положительные числа, влево — отрицательные". Отмечают точки $A$, $B$, $C$ и подписывают координаты. |
2 мин | Учитель проводит приём «Верно — неверно»: "Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Число $-5$ левее числа $-2$. Число $3$ расположено от нуля на трёх единичных отрезках. Число $-4$ больше числа $1$. Объясняйте не только ответ, но и положение точки." | Показывают карточки, исправляют неверное утверждение: "$-4$ меньше $1$, потому что точка $-4$ расположена левее точки $1$". |
2 мин | Учитель обращается к парам: "Сравните расстояния от точек $A(-3)$ и $B(2)$ до нуля. Запишите, сколько единичных отрезков нужно пройти от каждой точки до начала координат. Пока не используйте новое слово — опишите наблюдение своими словами." | В парах считают расстояния: от $-3$ до $0$ — 3 единицы, от $2$ до $0$ — 2 единицы; формулируют: "Расстояние не зависит от направления движения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем отмечать числа и определять их положение относительно нуля. Но нам нужно специальное название и знак для расстояния от числа до начала координат. Сейчас точно сформулируем затруднение и цель исследования."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость нового понятия, сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары $3$ и $-3$, $5$ и $-5$. "Представьте, что эти числа обозначают этажи здания: один этаж выше нулевого, другой ниже. Числа разные, но расстояние до нулевого этажа одинаковое. Как обозначить именно расстояние, не смешивая его с направлением? Какие свойства должен иметь такой новый объект?" | Обсуждают в парах и предлагают: "Он должен быть неотрицательным; у противоположных чисел расстояние одинаковое; у нуля расстояние равно нулю". |
2 мин | Учитель применяет «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите гипотезу, затем обсудите её с соседом и сформулируйте общий план. Нам нужно узнать название расстояния, его обозначение и правило нахождения для разных чисел." Учитель фиксирует цель: "Научиться находить модуль числа и объяснять его на координатной прямой". | Индивидуально записывают гипотезу, обсуждают её с партнёром, называют план: определить смысл, обозначение, правило и потренироваться. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: как выразить расстояние до нуля независимо от направления. Мы будем исследовать координатную прямую, сравнивать примеры и на этой основе сами выведем правило."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть смысл, обозначение и правило нахождения модуля числа через исследование координатной прямой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске координатную прямую и отмечает точки $M(4)$ и $N(-4)$. "Посмотрите: точка $M$ находится справа от нуля, точка $N$ — слева. Измерим расстояния от обеих точек до начала координат. Сколько единичных отрезков в каждом случае? Какой вывод можно сделать?" | Считают отрезки, отвечают: "От обеих точек до нуля 4 единицы. Направление различается, но расстояние одинаково". |
3 мин | Учитель записывает обозначение: "$|4|=4$, $|-4|=4$" и объясняет: "Расстояние от точки, соответствующей числу, до начала координат называют модулем этого числа. Модуль числа $a$ обозначают $|a|$. Вертикальные черты здесь не скобки, а знак модуля. Почему $|-4|$ не равен $-4$?" | Записывают определение и обозначение в тетради. Отвечают: "$|-4|$ равен 4, потому что расстояние не может быть отрицательным". |
2 мин | Учитель предлагает исследовать три случая: "$|7|$, $|-7|$, $|0|$. Что происходит с модулем положительного числа, отрицательного числа и нуля? Заполните в тетради таблицу: число, положение точки, расстояние до нуля, модуль." | Заполняют таблицу: для $7$ — справа, 7, $|7|=7$; для $-7$ — слева, 7, $|-7|=7$; для 0 — в начале, 0, $|0|=0$. |
2 мин | Учитель с помощью «Сократовского диалога» ведёт к правилу: "Если число положительное, что происходит с его знаком при нахождении расстояния? А если число отрицательное? Как получить положительный результат из $-a$, если $a<0$? Сформулируйте правило полностью." | Формулируют: "Модуль положительного числа равен самому числу; модуль отрицательного числа равен противоположному числу; модуль нуля равен нулю". Записывают правило: $|a|=a$ при $a\geq0$, $|a|=-a$ при $a<0$. |
Запись в тетрадях
Модуль числа — это расстояние от точки, соответствующей числу, до начала координат. Обозначение: $|a|$. Правило: $|a|=a$ при $a\geq0$; $|a|=-a$ при $a<0$. Модуль всегда неотрицателен: $|a|\geq0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли главное: модуль показывает расстояние до нуля, поэтому отрицательным быть не может. Теперь проверим правило на примерах и научимся проговаривать каждый шаг решения."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм нахождения модуля с проговариванием выбора правила и взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки и говорит: "Работаем в парах по алгоритму. Первый шаг — определите знак числа, второй — выберите правило, третий — запишите модуль, четвёртый — проверьте, что ответ неотрицательный. Решите: $|-8|$, $|6|$, $|0|$, $|-2{,}5|$. Один ученик объясняет, второй контролирует шаги, затем поменяйтесь ролями." | Решают в парах и проговаривают: "$|-8|=8$, потому что противоположное число для $-8$ — $8$; $|6|=6$; $|0|=0$; $|-2{,}5|=2{,}5$". |
2 мин | Учитель организует приём «Две звезды и пожелание»: "Обменяйтесь тетрадями. Найдите два верных действия партнёра и одну запись, которую можно улучшить. Проверьте не только ответ, но и объяснение выбора правила." | Проверяют записи по алгоритму, отмечают две удачные стороны и формулируют одно пожелание: "Укажи, что число отрицательное, поэтому берём противоположное". |
2 мин | Учитель показывает на экране утверждения: "$|-9|=-9$; $|4|=4$; $|0|=1$; $|-3|=|3|$". "Поднимите карточку «верно» или «неверно» и исправьте ошибку полным предложением." | Отмечают: первое и третье утверждения неверны, второе и четвёртое верны; исправляют: "$|-9|=9$, $|0|=0$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает: знак исходного числа определяет способ записи, а результат всегда неотрицателен. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять правило без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение понятия и научить выполнять самопроверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней: "Выполните обязательную часть. Задания: 1) найдите $|-12|$, $|9|$, $|0|$; 2) сравните $|-5|$ и $|3|$; 3) отметьте на координатной прямой числа $-4$ и $4$ и подпишите их модули. Записывайте короткое объяснение к одному примеру. Если справились, выполните дополнительное задание: найдите все целые числа $x$, для которых $|x|=3$." | Индивидуально решают задания, строят координатную прямую, записывают: "$|-12|=12$, $|9|=9$, $|0|=0$"; сравнивают $5$ и $3$; называют дополнительные решения $x=-3$ и $x=3$. |
2 мин | Учитель открывает эталон: "$|-12|=12$; $|9|=9$; $|0|=0$; $|-5|=5>3=|3|$. Точки $-4$ и $4$ находятся на расстоянии 4 от нуля. Для $|x|=3$ подходят $-3$ и $3$. Проверьте каждую строку и поставьте знак «+» рядом с верной записью." | Сверяют каждое задание с эталоном, исправляют ошибки другим цветом, подсчитывают количество верных ответов. |
1 мин | Учитель предлагает самооценку: "Покажите цвет: зелёный — могу найти и объяснить модуль, жёлтый — нахожу, но затрудняюсь объяснить, красный — нужна помощь. Запишите рядом, какой шаг алгоритма требует повторения." | Выбирают цвет, фиксируют личное затруднение: «определить противоположное число», «объяснить на прямой» или «ошибок нет». |
Эталон решения
1) $-12<0$, поэтому $|-12|=-(-12)=12$. 2) $9>0$, поэтому $|9|=9$. 3) $|0|=0$. 4) $|-5|=5$, $|3|=3$, следовательно, $|-5|>|3|$. 5) Точки $-4$ и $4$ симметричны относительно нуля и находятся от него на расстоянии 4, поэтому $|-4|=|4|=4$. 6) Если $|x|=3$, точка $x$ может находиться на расстоянии 3 слева или справа от нуля: $x=-3$ или $x=3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что большинство уже умеет находить модуль по знаку числа. Ошибка обычно возникает, когда знак исходного числа переносят в ответ. На следующем этапе применим новое понятие к жизненной задаче и ещё раз убедимся, что модуль описывает именно расстояние."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить понятие модуля в реальном контексте, обобщить изученное и определить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает задачу: "Лифт находится на этаже $-2$, а квартира — на этаже $5$. На каком расстоянии от нулевого этажа находится лифт? На каком расстоянии квартира? Какое из двух расстояний больше? Объясните, почему здесь уместен модуль." | Записывают: $|-2|=2$, $|5|=5$; отвечают: "Лифт находится в двух этажах от нулевого, квартира — в пяти; расстояние квартиры больше. Модуль убирает направление и показывает расстояние". |
2 мин | Учитель организует «Билет на выход»: "На маленьком листке ответьте на три вопроса: что называют модулем числа; чему равен $|-7|$; почему $|a|$ не может быть отрицательным? Сдайте билет при выходе." | Пишут определения и ответы: "Модуль — расстояние до нуля; $|-7|=7$; расстояние не бывает отрицательным". |
2 мин | Учитель подводит рефлексию: "Закончите фразу: «Сегодня я научился…», «Теперь я понимаю, что…», «Мне нужно потренироваться…». Назовите один шаг алгоритма, который нельзя пропускать." Учитель объявляет домашнее задание и напоминает: "В решениях обязательно объясняйте знак числа." | Формулируют личный итог, называют шаги алгоритма, записывают домашнее задание и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами открыли понятие модуля, связали его с расстоянием до нуля и применили правило к числам и жизненной задаче. Проверьте дома, сможете ли вы объяснить это понятие на координатной прямой без готовой формулы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания: найдены четыре модуля, правильно сравнены значения, построена координатная прямая с двумя точками и дано объяснение правила; запись аккуратная.
- «4» — выполнены верно не менее 4 обязательных заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, смысл модуля и правило объяснены.
- «3» — верно выполнены не менее 3 обязательных заданий, но требуется помощь при выборе правила или объяснении связи модуля с расстоянием.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что называют модулем числа и как его обозначают? | Проверка осознания определения и математической записи. |
Как найти модуль отрицательного числа? Объясните на примере $|-6|$. | Выявление понимания алгоритма и причины изменения знака. |
Почему $|a|$ не может быть отрицательным? | Проверка связи понятия с расстоянием на координатной прямой. |
Какое действие оказалось самым трудным и какую помощь вы выберете для тренировки? | Выявление индивидуальных затруднений и развитие самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что модуль числа — это расстояние от соответствующей точки до нуля. Поэтому $|-a|$ и $|a|$ равны, а сам модуль не бывает отрицательным. Самая частая ошибка — оставить знак «минус» в ответе, забыв, что мы измеряем расстояние. Дома закрепите алгоритм на разных числах. На следующем уроке мы будем использовать модуль при сравнении и решении более сложных заданий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 заданий на нахождение модуля положительных, отрицательных чисел и нуля; к двум примерам записать объяснение выбора правила. | Закрепляет определение и алгоритм; при проверке смотреть на правильность знака и полноту объяснения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на сравнение модулей и изображение пар противоположных чисел на координатной прямой; дополнительно найти все целые числа, удовлетворяющие равенству $|x|=4$. | Формирует связь модуля с расстоянием и симметрией; при проверке смотреть на построение и обоснование количества решений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить жизненную задачу про температуру, этажи или высоты, в которой используются не менее трёх модулей; представить краткое объяснение, почему без модуля нельзя корректно описать расстояние. | Развивает применение и создание математической модели; при проверке смотреть на реалистичность условия, корректность вычислений и вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что измеряет модуль числа?», «Чему равен модуль нуля?», «Как найти $|-11|$?», «Может ли модуль числа быть равен $-2$? Объясните ответ».
