Признаки делимости на 2, 5 и 10
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся проверят и исправят решения домашней работы по теме «Натуральные числа», объяснят признаки делимости на 2, 5 и 10 и применят их не менее чем в трёх практических заданиях.
- Образовательная задача: актуализировать понятия натурального числа, делителя, кратного, чётного и нечётного числа; выявить типичные ошибки при выполнении домашнего задания.
- Развивающая задача: формировать умение анализировать условие, находить ошибку, обосновывать способ решения и переносить правило в новую ситуацию.
- Метапредметная задача: развивать навыки самопроверки, работы в паре, аргументированного устного ответа и фиксации результата по заданному алгоритму.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к домашней работе, взаимопомощь и готовность спокойно исправлять ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение аккуратного выполнения и проверки домашней работы для успешного изучения математики.
- Проявляют готовность воспринимать ошибку как источник нового знания, а не как повод отказаться от деятельности.
- Развивают самостоятельность, учебную мотивацию и уважительное отношение к ответам одноклассников.
- Осваивают правила честной взаимопроверки и корректной формулировки замечаний.
Метапредметные
- Планируют проверку решения по алгоритму: прочитать условие, сравнить способ, проверить вычисления, сформулировать вывод.
- Находят существенную информацию в условии задачи и представляют её в виде краткой записи или числового ряда.
- Сравнивают два способа решения, выявляют ошибочный шаг и объясняют причину ошибки.
- Участвуют в парном обсуждении, задают уточняющие вопросы и аргументируют собственный вывод.
Предметные
- Знают определения натурального числа, делителя, кратного, чётного и нечётного числа.
- Умеют проверять делимость натурального числа на 2, 5 и 10 по последней цифре.
- Умеют находить и исправлять ошибки в решении заданий с натуральными числами.
- Умеют применять признаки делимости при решении текстовых и практических задач.
- Владеют навыком записи математического вывода с использованием слов «делится», «не делится», «кратно».
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в выполнение и проверку домашней работы.
- Формируют смысл учебной деятельности через понимание практической пользы признаков делимости.
- Оценивают собственную готовность исправлять неточности и доводить решение до обоснованного результата.
- Соблюдают доброжелательный стиль общения при взаимопроверке.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока: проверить домашнюю работу и открыть удобный способ распознавания делимости чисел.
- Планируют последовательность самопроверки по памятке.
- Сверяют результат с эталоном, фиксируют ошибку и выбирают способ её исправления.
- Оценивают степень освоения материала по критериям и сигналам «светофора».
Познавательные УУД
- Выделяют последнюю цифру числа как существенный признак для проверки делимости на 2, 5 и 10.
- Классифицируют натуральные числа по признакам чётности и делимости.
- Строят рассуждение от наблюдения над примерами к общему правилу.
- Моделируют условие практической задачи с помощью числового ряда и таблицы.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по распределённым ролям «объясняющий» и «проверяющий».
- Формулируют вопросы к решению одноклассника: «Почему выбран этот признак?», «На каком шаге появилась ошибка?».
- Доказывают правильность вывода на конкретном примере.
- Принимают другой способ рассуждения и корректно предлагают исправление.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с числовыми рядами: 12, 14, 16, 18; 15, 20, 25, 30; 10, 20, 30, 40.
- Распечатать карточки для взаимопроверки домашнего задания — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить три набора карточек для групп: «делится на 2», «делится на 5», «делится на 10» — по одному набору на группу.
- Распечатать памятку «Как проверить домашнюю работу»: условие, способ, вычисления, ответ, проверка.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Вывести на экран или записать эталоны решений без ответов, чтобы открывать их после завершения каждого шага.
- Подготовить цветные карточки или сигналы «зелёный — понял», «жёлтый — нужна проверка», «красный — нужна помощь» — по одному комплекту на парту.
- Организовать на доске таблицу: «Признак — последняя цифра — пример» и оставить место для вывода учащихся.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для коротких этапов парной и самостоятельной работы.
- Оборудование: доска, маркеры или мел, проектор при наличии, раздаточные карточки, тетради и ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, обозначить практическую значимость проверки домашней работы и включить учащихся в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к уроку: тетрадь, ручка, линейка и выполненное домашнее задание. Сегодня мы не просто назовём ответы. Мы выясним, почему в решении появляется ошибка и как быстро проверять натуральные числа." Учитель показывает на доске слово «Проверка». | Проверяют принадлежности, достают тетради с домашней работой, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель использует приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если вы уверены в домашней работе, жёлтую — если сомневаетесь хотя бы в одном задании, красную — если нужна помощь. Это не оценка, а честная информация для нашей совместной работы." | Поднимают карточки, мысленно отмечают задание, в котором испытывают затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что уверенность у всех разная. Сейчас спокойно проверим домашнюю работу, а затем откроем правило, которое поможет быстрее решать похожие задания."
Этап 2. Актуализация знаний и проверка домашнего задания (7 мин)
Цель этапа: восстановить основные понятия темы и организовать содержательную взаимопроверку выполненной работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит короткий устный опрос: "Назовите натуральные числа. Что называют делителем числа? Чем отличается делитель от кратного? Какое число называют чётным? Приведите пример нечётного числа." На доске появляются слова «натуральное число», «делитель», «кратное», «чётное». | Отвечают: "Натуральные числа — числа, которые используют при счёте"; "делитель делит число без остатка"; "кратные получают умножением данного числа на натуральные числа"; приводят примеры 8 и 11. |
4 мин | Учитель раздаёт карточки взаимопроверки и говорит: "Сверьте домашнюю работу не только с ответами, но и с ходом решения. Поставьте знак «+», если шаг верен, «?» возле места, которое нужно обсудить, и аккуратно исправьте только после объяснения. В паре один ученик объясняет решение, второй задаёт вопрос по памятке." | Сверяют записи в парах, находят совпадения и расхождения, отмечают один наиболее важный вопрос, формулируют: "В этом шаге неверно выполнено сложение" или "Ответ получен верно, но нет объяснения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили определения и увидели, что ошибка может быть не только в вычислении, но и в объяснении. Теперь разберём затруднение, которое приведёт нас к новому удобному правилу."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: обнаружить закономерность в последних цифрах чисел и самостоятельно сформулировать учебную задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске числа 124, 136, 247, 350 и спрашивает: "Какие из этих чисел, по вашему мнению, делятся на 2? Как проверить это быстро, не выполняя деление столбиком? Обсудите предположение в паре 30 секунд." | Обсуждают в парах, рассматривают последние цифры, предполагают: "На 2 делятся 124 и 136, потому что заканчиваются на 4 и 6". |
3 мин | Учитель добавляет числа 25, 40, 75, 130 и задаёт проблемный вопрос: "Можно ли по последней цифре определить делимость на 5 и на 10? Сформулируйте цель урока одним предложением. Начните со слов: «Сегодня мы научимся…»" | Сравнивают числа, замечают повторяющиеся окончания 0 и 5, формулируют цель: "Сегодня мы научимся определять делимость натурального числа на 2, 5 и 10 по последней цифре". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: вместо длинного деления мы должны найти короткий и надёжный способ проверки. Проверим наши предположения на разных числах и выведем правило."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести признаки делимости на 2, 5 и 10 через наблюдение, классификацию и обобщение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Запишите пять чисел, которые делятся на 2, и пять чисел, которые не делятся на 2. Затем объединитесь в пары и сравните списки. Что общего у чисел первой группы? Посмотрите только на последнюю цифру." Учитель фиксирует варианты на доске. | Записывают числа, объединяются в пары, выделяют окончания 0, 2, 4, 6, 8, формулируют: "Натуральное число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8". |
3 мин | Учитель показывает ряд 15, 20, 25, 32, 45, 57, 70 и говорит: "Разделите числа на две группы: делятся на 5 и не делятся на 5. Объясните, что заметили. Теперь выделите числа, делящиеся на 10." | Распределяют числа в таблице, отвечают: "На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5; на 10 — числа, оканчивающиеся на 0". |
3 мин | Учитель оформляет общий вывод: "Посмотрите на таблицу. Последняя цифра позволяет определить делимость без полного деления. Запишите три признака и рядом по два примера. Важно: признак делимости — это основание для вывода, а не случайное совпадение." | Записывают признаки делимости, приводят примеры 238 и 450 для делимости на 2, 125 и 340 для делимости на 5, 70 и 120 для делимости на 10. |
Запись в тетрадях
1. Число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8. 2. Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. 3. Число делится на 10, если его последняя цифра 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три признака и записали их в виде памятки. Теперь проверим, умеем ли мы проговаривать рассуждение полностью, а не только называть ответ."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить признаки делимости через объяснение выбора и исправление типичной ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с числами 126, 235, 410, 517, 680 и говорит: "В паре распределите числа по трём столбцам: делится на 2, делится на 5, делится на 10. Одно число может попасть в несколько столбцов. Для каждого выбранного числа произнесите полное объяснение: «Число … делится на …, потому что его последняя цифра …»." | Распределяют числа: 126 — на 2; 235 — на 5; 410 — на 2, 5 и 10; 517 — ни на 2, ни на 5, ни на 10; 680 — на 2, 5 и 10. Проговаривают объяснения. |
4 мин | Учитель показывает ошибочное рассуждение: "Число 245 делится на 2, потому что в нём есть цифра 4. Найдите ошибку и исправьте объяснение. Затем решите: какие из чисел 312, 425, 790, 803 делятся на 2, 5 и 10?" | Находят ошибку: учитывается только последняя цифра. Исправляют: "245 не делится на 2, потому что оканчивается на 5". Определяют: 312 — на 2; 425 — на 5; 790 — на 2, 5 и 10; 803 — ни на одно из трёх чисел. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь правило работает не только в примерах, но и в объяснении ошибки. Переходим к самостоятельной проверке: каждый покажет, насколько уверенно умеет применять признаки без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуально проверить освоение признаков делимости и научиться фиксировать результат по критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый уровень: определить, делятся ли на 2, 5 и 10 числа 146, 275, 900, 731. Средний уровень: подобрать по два числа, делящихся одновременно на 2 и 5, и объяснить результат. Повышенный уровень: найти все двузначные числа, которые делятся на 2 и на 5 одновременно. Учитель напоминает: "Выберите уровень, на котором сможете дать обоснованный ответ, и обязательно запишите признак." | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают не только ответы, но и основания: "последняя цифра…". |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: "Проверьте работу по шагам. За каждый верный вывод поставьте один балл, за правильное объяснение — ещё один. Ошибку не зачёркивайте полностью: подчеркните место затруднения и рядом запишите исправленный вариант." | Сверяют решения с эталоном, подсчитывают баллы, исправляют ошибки, показывают сигнал светофора. |
Эталон решения
146 делится на 2, так как последняя цифра 6; на 5 и на 10 не делится. 275 делится на 5, так как последняя цифра 5; на 2 и на 10 не делится. 900 делится на 2, на 5 и на 10, так как последняя цифра 0. 731 не делится на 2, 5 и 10, так как последняя цифра 1. Числа, делящиеся одновременно на 2 и 5, оканчиваются на 0; все двузначные такие числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главное — смотреть именно на последнюю цифру и связывать её с нужным признаком. Осталось применить правило в жизненной ситуации и сформулировать общий вывод урока."
Этап 7. Включение знания в систему и реальный контекст (3 мин)
Цель этапа: применить признаки делимости при решении практической задачи и увидеть связь математики с повседневными ситуациями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В коробке 250 наклеек. Их хотят разложить поровну по 10 конвертам. Можно ли это сделать без остатка? А если нужно разложить по 5 конвертам? Обоснуйте ответ не вычислением в столбик, а признаком делимости." | Записывают краткое решение: "250 делится на 10, потому что оканчивается на 0; значит, по 10 конвертам разложить можно. 250 делится на 5, потому что оканчивается на 0; по 5 конвертам также можно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы использовали признак делимости для планирования реального действия. Теперь зафиксируем, что каждый узнал, что получилось и над чем ещё нужно поработать."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, оценить собственную работу и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Закончите одну из фраз: «Сегодня я научился…», «Теперь я могу проверить…», «Мне нужно ещё потренироваться…». На выходе ответьте на контрольный вопрос: «По какой последней цифре число делится одновременно на 2, 5 и 10?»." Учитель кратко объявляет домашнее задание и собирает ответы. | Заполняют устно или письменно фразы рефлексии, отвечают: "На 2, 5 и 10 одновременно делятся числа, оканчивающиеся на 0", записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, для каждого вывода указан признак делимости, исправление ошибки объяснено, запись аккуратная и полная.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, допущена одна неточность в определении признака или объяснении, которая исправлена при самопроверке.
- «3» — выполнена основная часть задания, но допущены две ошибки в применении признаков; после подсказки ученик может объяснить правильный способ.
- Ниже базового уровня — результат требует доработки: ученик не различает признаки делимости и не связывает вывод с последней цифрой числа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о последней цифре натурального числа? | Проверка осознания выведенных признаков делимости. |
Какое задание домашней работы удалось проверить лучше всего? | Выявление уверенно освоенного способа действия. |
На каком шаге проверки возникло затруднение? | Выявление точек затруднения: вычисления, выбор признака или объяснение. |
Какой сигнал светофора вы выбрали в конце урока и почему? | Субъективная оценка степени освоения темы и планирование помощи. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы не просто проверили домашнее задание, а научились находить причину ошибки и открыли признаки делимости на 2, 5 и 10. Запомните: при применении этих признаков мы смотрим только на последнюю цифру числа, а не на любую цифру в его записи. Особенно внимательно проверяйте числа, оканчивающиеся на 0: они делятся и на 2, и на 5, и на 10. На следующем уроке мы продолжим работу с делителями и кратными и будем применять признаки делимости в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на определение делимости натуральных чисел на 2, 5 и 10 по последней цифре; в каждом задании записать краткое объяснение. | Закрепляет три признака делимости; при проверке обратить внимание на наличие обоснования, а не только ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания: подобрать числа по заданному признаку, найти и исправить ошибки в двух готовых рассуждениях, составить один пример числа, делящегося одновременно на 2 и 5. | Развивает классификацию, анализ ошибки и умение переносить правило в новую ситуацию. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о распределении предметов по равным группам, где требуется применить признаки делимости на 2, 5 и 10; записать два разных вопроса к условию. | Формирует математическую грамотность, умение создавать задачу и объяснять выбор способа решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «По какой последней цифре число делится на 2?», «Какие последние цифры возможны у числа, делящегося на 5?», «Почему число, оканчивающееся на 0, делится на 10?», «Можно ли утверждать, что число 135 делится на 2? Обоснуйте ответ». Для проверки ожидаются ответы: «0, 2, 4, 6, 8»; «0 или 5»; «по признаку делимости на 10»; «нет, последняя цифра 5».
