Занимательные размещения и перестановки
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться находить число возможных размещений и перестановок небольшого количества предметов перебором и умножением, объяснять выбранный способ решения и применять его в жизненной и игровой ситуации.
- Познакомить учащихся с понятиями «перестановка» и «размещение», показать связь между последовательным выбором и правилом умножения.
- Сформировать умение составлять полный перебор вариантов без повторений и проверять, что ни один вариант не пропущен.
- Развивать логическое, комбинаторное и творческое мышление, умение работать в паре, аргументировать решение и сравнивать способы.
- Воспитывать интерес к математике, аккуратность записи, ответственное отношение к совместной работе и готовность проверять собственный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют устойчивый интерес к решению нестандартных математических задач через игру и соревнование.
- Осознают ценность аккуратности, последовательности и проверки при составлении вариантов.
- Положительно воспринимают сотрудничество, распределяют роли и уважают идеи одноклассников.
- Развивают самостоятельность и уверенность при объяснении собственного способа решения.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют этапы выбора, строят дерево вариантов, устанавливают закономерность и переходят от перебора к правилу умножения.
- Регулятивные: принимают учебную задачу, планируют последовательность действий, сверяют решение с условием и исправляют ошибки.
- Коммуникативные: формулируют вопросы, договариваются о способе решения, представляют результат пары и аргументируют вывод.
- Используют математическую и читательскую грамотность при работе с условием, таблицей и схемой.
Предметные
- Знать смысл понятий «перестановка» и «размещение» на конкретных наборах предметов.
- Уметь перечислять все варианты перестановки двух, трёх и четырёх различных объектов без повторений.
- Уметь находить число вариантов последовательного выбора с помощью правила умножения.
- Уметь отличать ситуацию, где выбираются все предметы, от ситуации, где выбирается только часть предметов.
- Уметь объяснять решение словами, таблицей, деревом вариантов или произведением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в решение общей задачи и оценивают собственную готовность работать с нестандартным материалом.
- Осознают, что ошибку в переборе можно обнаружить с помощью систематической проверки.
- Проявляют познавательную инициативу при создании собственной задачи на размещения или перестановки.
- Соблюдают правила честного математического соревнования и конструктивного обсуждения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель: научиться считать варианты, не перечисляя их хаотично.
- Составляют план: определить число позиций, выбрать первый элемент, продолжить выбор и проверить полноту.
- Используют самопроверку по дереву вариантов, таблице или обратным подсчётом.
- Оценивают уровень понимания с помощью карточки-светофора и формулируют, какая помощь необходима.
Познавательные УУД
- Сравнивают задачи, в которых используются все предметы, и задачи, в которых выбираются только некоторые.
- Моделируют ситуацию с помощью дерева вариантов, таблицы и краткой записи.
- Выявляют закономерность: число вариантов последовательного выбора равно произведению числа возможностей на каждом шаге.
- Находят и объясняют ошибку в неполном или повторяющемся переборе.
Коммуникативные УУД
- Распределяют в паре роли счётчика, проверяющего и докладчика.
- Задают уточняющие вопросы к условию и предлагают доказательство полноты перебора.
- Сравнивают два способа решения, корректно указывают на неточность и принимают обоснованное решение группы.
- Представляют творческое задание кратко, понятно и с математическим объяснением.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или изображения с тремя цветными фишками, четырьмя буквами и схемой дерева вариантов; на доске заранее оставить место для вывода правила умножения.
- Распечатать карточки трёх уровней: зелёные — перебор двух и трёх объектов, синие — размещения, жёлтые — творческие задачи; по одной карточке на каждого ученика.
- Подготовить на каждую парту набор из четырёх карточек с буквами А, Б, В, Г и четыре жетона разных цветов для моделирования вариантов.
- Распечатать лист самооценки со строками «Я могу перечислить», «Я могу посчитать произведением», «Я могу объяснить решение» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному комплекту на парту.
- Подготовить секундомер или таймер на экране для игровых раундов и таблицу командных баллов.
- Подготовить карточку с межпредметной ситуацией: порядок выступления участников концерта и последовательность цветов в эмблеме.
- Для физкультминутки освободить проход между рядами и подготовить четыре карточки с командами «первый», «второй», «третий», «четвёртый».
- Учебник использовать как опорный источник: заранее выбрать материал по теме, где есть примеры перебора и задач на расположение объектов, без привязки к номерам страниц.
- Распечатать домашнее задание трёх уровней по одному листу на каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в игровую математическую ситуацию и вызвать интерес к поиску всех возможных вариантов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы попробуем стать исследователями вариантов. Представьте, что вам нужно рассадить участников команды, составить код или определить порядок выступления. Важно не просто придумать один вариант, а узнать, сколько их всего. Откройте тетради, запишите дату и тему урока: «Занимательные размещения и перестановки»." | Готовят тетради и учебные принадлежности, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает три фишки красного, синего и зелёного цвета: "Сколькими способами можно поставить эти фишки в ряд? Не выкрикивайте ответ. Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем минуту обсудите с соседом, после чего одна-две пары поделятся способом. Приём называется «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Перечисляют варианты или строят схему, обсуждают в паре и формулируют предположение: «Вариантов шесть». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же набор можно расположить по-разному. Сегодня выясним, как не потерять варианты и как быстро узнать их количество."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить навыки умножения, систематического перебора и чтения условия задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске ситуацию: «У Маши есть 2 футболки и 3 пары брюк. Сколько комплектов одежды она может составить?» и спрашивает: "Что меняется на каждом шаге? Почему здесь уместно умножение?" | Составляют пары «футболка — брюки», считают 2 · 3 = 6, объясняют: «К каждой футболке можно выбрать любую из трёх пар брюк». |
3 мин | Учитель раздаёт карточки А, Б, В и говорит: "Составьте все возможные двухбуквенные коды без повторения букв. Записывайте варианты в определённом порядке: сначала коды на А, затем на Б, затем на В. Как проверим, что ничего не пропустили?" | Составляют АБ, АВ, БА, БВ, ВА, ВБ; замечают, что после выбора первой буквы остаётся две возможности, и называют 6 вариантов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы уже умеем умножать число возможностей на каждом шаге и понимаем, что порядок записи важен. Теперь найдём место, где обычного быстрого ответа может не хватить."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при подсчёте вариантов и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает четыре карточки с буквами А, Б, В, Г: "Нужно составить трёхбуквенный пароль без повторения букв. Один ученик говорит 12, другой — 24. Как проверить ответы? Можно ли перечислить варианты так, чтобы не запутаться?" Учитель специально записывает неполный список и предлагает найти ошибку. | Сравнивают ответы, находят повтор или пропуск, объясняют, что хаотичный перебор ненадёжен. |
2 мин | Учитель организует «Снежный ком»: "Сначала каждый сформулируйте, чему нужно научиться. Затем объединитесь в пары и выберите одну общую формулировку. На доске соберём цель урока." | Записывают индивидуальную цель, обсуждают её в парах и предлагают формулировку: «Научиться находить число вариантов расположения и выбора предметов без повторений». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нам нужен порядок действий, который гарантирует полный перебор. Сейчас мы сами выведем такой способ на небольшом наборе предметов."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть способы подсчёта перестановок и размещений через дерево вариантов и правило умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточки А, Б, В: "Составьте все трёхбуквенные слова, в которых каждая буква используется один раз. Начинайте с А, затем с Б, затем с В. Я строю такое же дерево на доске. Сколько вариантов начинается с А? Сколько всего ветвей получилось?" | Строят дерево вариантов: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА; отвечают: «Из каждой первой буквы получаются два варианта, всего 3 · 2 · 1 = 6». |
3 мин | Учитель формулирует вывод: "Когда используются все три различных предмета и меняется только порядок, получаем перестановки. Для трёх предметов число вариантов равно 3 · 2 · 1. Если предметов четыре, после первого выбора останется три, затем два и один вариант. Это можно записать как 4 · 3 · 2 · 1 = 24." | Записывают схему и объясняют, почему числа возможностей уменьшаются на единицу после каждого выбора. |
3 мин | Учитель меняет условие: "Теперь из четырёх букв А, Б, В, Г составляем только двухбуквенные коды без повторения. Сначала четыре варианта первой буквы, затем три варианта второй. Значит, 4 · 3 = 12. Такое расположение части предметов называется размещением. Чем оно отличается от перестановки?" | Составляют несколько кодов, формулируют: «При перестановке используются все предметы, при размещении — только часть, но порядок важен». |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Перестановка — расположение всех данных предметов в определённом порядке. Размещение — выбор и расположение только части предметов, когда порядок важен. Число вариантов последовательного выбора находят умножением числа возможностей на каждом шаге».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили два инструмента: дерево вариантов помогает увидеть все случаи, а произведение помогает быстро их посчитать. Проверим правило в движении и свяжем его с реальной задачей о порядке выступлений."
Этап 5. Физкультминутка с математическим содержанием (3 мин)
Цель этапа: снять утомление, закрепить порядок выбора и восстановить внимание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. Я называю число возможных мест, а вы показываете его движением: один — хлопок, два — шаг вправо, три — шаг влево. Сначала выберем первое место, затем второе. Помним: каждый следующий выбор уменьшает число свободных мест." | Выполняют движения по инструкции, проговаривают последовательность 3, 2, 1. |
2 мин | Учитель предлагает игру: "Четыре добровольца встаньте в ряд. По моему сигналу поменяйтесь местами так, чтобы получился новый порядок. Класс проверяет, не повторился ли порядок. Сколько различных порядков теоретически возможно?" | Четыре ученика меняют порядок, класс считает: «4 · 3 · 2 · 1 = 24», остальные возвращаются на места. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы размялись и ещё раз увидели, что в перестановке четырёх участников порядок можно менять 24 способами. Садимся и применяем правило к задачам на карточках."
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметная задача (8 мин)
Цель этапа: применить новое правило в учебной и жизненной ситуации, объяснить выбор модели и способа подсчёта.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки базового уровня: "Решите задачу: на выставке представлены три модели самолётов — красная, белая и синяя. Их нужно поставить в ряд на стенде, используя все модели. Сколько порядков возможно? Запишите хотя бы два варианта и затем посчитайте общее число." | Записывают 3 · 2 · 1 = 6, приводят варианты КБС и СКБ, объясняют, что это перестановка трёх объектов. |
3 мин | Учитель предлагает межпредметную задачу: "На школьном концерте выступают танцевальная, вокальная и театральная группы. Составьте возможные порядки выступлений и определите их количество. Объясните, почему выбранное решение связано с организацией мероприятия." | В парах составляют ТВО, ТВТ? Учитель уточняет: названия должны использоваться по одному разу. Ученики записывают 3 · 2 · 1 = 6 корректных порядков: танцевальная–вокальная–театральная и другие. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Поставьте отметку, если есть условие, модель, вычисление и ответ. Если чего-то не хватает, напишите один точный совет." | Проверяют работу по четырём критериям, записывают совет однокласснику: «Укажи, что используются все три группы» или «Добавь единицы ответа: 6 порядков». |
Эталон решения
Для трёх различных объектов на трёх местах: на первое место можно выбрать 3 объекта, на второе — 2, на третье — 1. Поэтому число вариантов равно \(3\cdot2\cdot1=6\). Ответ: 6 порядков. Для двухбуквенного кода из четырёх букв: \(4\cdot3=12\), так как после выбора первой буквы остаются три варианта второй.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились определять, используется весь набор или только его часть, и выбирать нужное произведение. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а затем желающие создадут собственную задачу."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой и творческое задание (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание алгоритма и дать возможность применить его в созданной учеником ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки: "Решите два задания. Первое: из четырёх разных книг выбрать и поставить на полку две книги. Сколько вариантов, если порядок важен? Второе: сколько способов расположить четыре разных значка в ряд? Запишите, является ли каждая задача размещением или перестановкой. Работайте молча, на экране идёт таймер." | Решают: для первой задачи 4 · 3 = 12, это размещение; для второй 4 · 3 · 2 · 1 = 24, это перестановка. Записывают краткое объяснение. |
3 мин | Учитель предлагает творческий выбор: "Придумайте задачу из жизни или игры на размещение либо перестановку. В условии должны быть не менее трёх различных объектов, вопрос «сколько способов», а рядом — решение произведением. Можно выбрать сюжет: пароль, порядок спортсменов, флажки, блюда или маршрут." | Создают условие, решение и ответ; двое-трое учеников зачитывают задачи, класс определяет вид и проверяет вычисление. |
Эталон решения
Задача о двух книгах из четырёх: первый выбор — 4 книги, второй — 3 оставшиеся, поэтому \(4\cdot3=12\) размещений. Задача о четырёх значках: \(4\cdot3\cdot2\cdot1=24\) перестановки, поскольку используются все четыре значка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете отличать размещение от перестановки и записывать вычисление. Осталось зафиксировать, что получилось уверенно, а что требует тренировки, и определить домашний маршрут."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: осмыслить новое знание, выявить затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: "Отметьте зелёным то, что уже умеете, жёлтым — что получается с подсказкой, красным — что пока трудно. Допишите одно предложение: «Чтобы не пропустить варианты, я…»." | Заполняют самооценку, формулируют: «строю дерево», «систематически выбираю первый элемент», «умножаю число возможностей». |
2 мин | Учитель объясняет уровни домашней работы: "Обязательный уровень нужен всем. Средний выбирают те, кто готов решать задачи с несколькими шагами. Продвинутый — для тех, кто хочет создать и решить собственную задачу. Внимательно прочитайте таблицу и выберите посильный вариант." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, сдают лист самооценки или оставляют его на парте. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ считать варианты без хаотичного перебора. На следующем уроке мы продолжим работать с комбинаторными задачами и научимся выбирать наиболее удобную модель: таблицу, дерево или произведение."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены обе задачи самостоятельной работы, правильно определены размещение и перестановка, записано обоснование через произведение, творческая задача имеет ясное условие и корректное решение.
- «4» — верно решены обе основные задачи, но в объяснении или творческом условии есть одна неточность, не влияющая на основной способ подсчёта.
- «3» — решена хотя бы одна основная задача и частично применено правило умножения, однако допущена ошибка в различении размещения и перестановки или отсутствует проверка полноты вариантов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о перестановках и размещениях? | Выявление осознания основных понятий и различий между ними. |
Как вы понимаете, почему в задаче нужно перемножать числа возможностей? | Проверка понимания смысла правила умножения, а не только запоминания записи. |
Какой способ проверки вариантов оказался удобнее: список, дерево или произведение? Почему? | Выявление предпочтительной модели и умения аргументировать выбор. |
Какое задание показалось самым сложным и какая помощь была бы полезна? | Выявление точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что порядок предметов создаёт разные варианты, а систематический выбор помогает не потерять ни один из них. Мы научились различать перестановки, где используются все предметы, и размещения, где используется только часть набора. Самая частая ошибка — умножить не те числа или забыть, что после каждого выбора количество свободных предметов уменьшается. Дома закрепите алгоритм, а на следующем уроке мы проверим, как он работает в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи: две на перестановку трёх или четырёх различных объектов и две на размещение двух объектов из четырёх или пяти. В каждой задаче указать число возможностей на каждом шаге и записать произведение. | Закрепляет различение двух типов задач и алгоритм последовательного выбора; при проверке обратить внимание на соответствие произведения условию. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи с жизненным контекстом: порядок выступления, составление двухцветного кода и расстановка предметов на полке. Для одной задачи построить дерево вариантов или таблицу и сравнить с вычислением. | Развивает функциональную и математическую грамотность, умение подтверждать ответ моделью; проверить отсутствие повторов и пропусков. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную задачу на перестановку и собственную задачу на размещение, используя не менее четырёх различных объектов. Для одной задачи предложить два способа решения и объяснить, какой удобнее. | Развивает творческое мышление, перенос знания в новую ситуацию и умение аргументировать математическую модель; проверить полноту условия и корректность ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Чем размещение отличается от перестановки? Сколько вариантов двухбуквенного кода можно составить из четырёх разных букв без повторения? Как объяснить произведение 4 · 3 · 2 · 1 в задаче о расположении четырёх предметов?»
