Умножение натуральных чисел. Свойства 0 и 1. Переместительное и сочетательное свойства
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют свойства умножения натуральных чисел, применят свойства 0 и 1, переместительное и сочетательное свойства при вычислении не менее четырёх выражений и объяснят выбор удобного порядка действий.
- Сформировать представление о свойствах умножения натуральных чисел и научить применять их для устных и письменных вычислений.
- Научить распознавать переместительное и сочетательное свойства в готовых выражениях и преобразовывать выражения без изменения их значения.
- Развивать умение сравнивать способы вычисления, находить рациональный способ действий и аргументировать свой выбор.
- Воспитывать внимательность, готовность к сотрудничеству и ответственное отношение к проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность математических знаний для быстрого и точного решения практических задач.
- Проявляют интерес к поиску более удобного способа вычисления.
- Понимают значение аккуратности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Готовы сотрудничать с одноклассниками и уважительно обсуждать разные способы решения.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Сравнивают несколько способов вычисления и выбирают рациональный.
- Представляют рассуждение в устной и письменной форме, используют математические символы.
- Проверяют результат по образцу, находят и исправляют ошибки.
- Работают в паре, распределяют действия и аргументируют общий ответ.
Предметные
- Знать свойства умножения на 0 и 1: $a\cdot0=0$, $a\cdot1=a$.
- Знать переместительное свойство: $a\cdot b=b\cdot a$.
- Знать сочетательное свойство: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$.
- Уметь применять свойства умножения для преобразования и упрощения выражений.
- Уметь объяснять, почему значение выражения не изменяется при перестановке множителей или изменении их группировки.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться вычислять быстрее и рациональнее.
- Проявляют познавательный интерес к обнаружению закономерностей.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
- Осознают необходимость проверять правильность математических рассуждений.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока.
- Планируют последовательность действий при преобразовании выражения.
- Сверяют решение с эталоном и фиксируют обнаруженную ошибку.
- Оценивают степень освоения каждого свойства по листу самооценки.
- Корректируют способ вычисления после обсуждения в паре.
Познавательные УУД
- Выявляют закономерность на примерах и формулируют общий вывод.
- Сравнивают выражения и устанавливают равенство их значений.
- Моделируют свойство с помощью прямоугольной таблицы или групп предметов.
- Классифицируют выражения по применяемому свойству.
- Используют математическую запись для краткого оформления рассуждения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ полным предложением.
- Объясняют партнёру ход решения и выслушивают его способ.
- Согласовывают общий ответ в паре.
- Аргументируют выбор наиболее удобного порядка действий.
- Корректно указывают на ошибку и предлагают способ её исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с выражениями $3\cdot4$, $4\cdot3$, $(2\cdot5)\cdot3$, $2\cdot(5\cdot3)$, $7\cdot1$, $9\cdot0$.
- Распечатать карточки с заданиями трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с названиями свойств: «умножение на 0», «умножение на 1», «переместительное свойство», «сочетательное свойство» — по одной на группу.
- Подготовить лист самооценки с четырьмя утверждениями «Я могу…» — по одному на ученика.
- Подготовить цветные стикеры или сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одному комплекту на парту.
- Вывести на доску памятку: $a\cdot0=0$, $a\cdot1=a$, $a\cdot b=b\cdot a$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$.
- Подготовить таймер, маркеры, магнитные карточки и четыре небольших набора предметных картинок для групповой работы.
- Организовать рассадку по парам и подготовить эталон самостоятельной работы для показа после выполнения заданий.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску удобного способа вычисления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность по цепочке»: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к уроку: тетрадь, ручка, учебные материалы и карточка для работы. Повернитесь к соседу и убедитесь, что вы готовы работать в паре. Сегодня нам понадобится не только точный ответ, но и умение объяснить, почему он получился». | Проверяют принадлежности, готовят тетрадь, записывают дату, садятся парами. |
2 мин | Учитель показывает на доске два выражения: $25\cdot4$ и $4\cdot25$. «Какое выражение, по вашему мнению, удобнее вычислить устно? Получится ли один и тот же результат? Сегодня мы будем искать правила, которые позволяют менять порядок действий и считать быстрее». | Рассматривают выражения, предполагают: «Результаты одинаковые», «Удобнее начать с 25 умножить на 4», формулируют ожидание открытия правила. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один и тот же результат иногда можно получить более удобным способом. Теперь проверим наши предположения на известных действиях и найдём закономерность».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать смысл умножения и навыки вычисления, необходимые для открытия свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устный счёт: «Вычислите по цепочке: $3\cdot4$, $5\cdot2$, $6\cdot3$, $10\cdot7$. Объясните один ответ через сложение одинаковых слагаемых. Что обозначают множители?» | Выполняют вычисления, отвечают: «$3\cdot4=12$», «Первый множитель показывает число групп, второй — число предметов в группе». |
2 мин | Учитель раздаёт парам мини-карточки и говорит: «Соедините выражение с равным ему произведением: $2\cdot6$, $4\cdot3$, $5\cdot7$. Затем сравните, можно ли поменять местами множители, не меняя результата». | Соединяют пары выражений, вычисляют значения, формулируют: «При перестановке множителей произведение не изменяется». |
2 мин | Учитель предлагает сигнальную проверку: «Покажите зелёную карточку, если равенство верно, и жёлтую, если нужно проверить: $7\cdot2=2\cdot7$; $3\cdot4=3+4$; $5\cdot1=5$; $8\cdot0=0$». Просит обосновать два ответа. | Показывают карточки, исправляют неверное равенство $3\cdot4=3+4$, объясняют: «$3\cdot4=12$, а $3+4=7$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили смысл умножения и заметили, что перестановка множителей не меняет произведение. Но пока мы не сформулировали все свойства и не знаем, как использовать их для удобных вычислений. Это и станет нашей задачей».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить учебное затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $2\cdot(5\cdot3)$ и $(2\cdot5)\cdot3$. «Попробуйте определить без полного вычисления, будут ли значения равны. Что изменилось в этих выражениях? Можно ли менять группы множителей?» | Сравнивают выражения в парах, предполагают: «Множители те же, но скобки стоят по-разному», «Возможно, результат одинаковый, но это нужно проверить». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Какие свойства умножения помогают считать быстрее и не изменяют значения выражения? Составьте план открытия: что проверим сначала, что сформулируем затем и как закрепим?» | Формулируют цель: «Узнать свойства умножения и научиться применять их». Предлагают план: проверить примеры, назвать свойства, записать формулы, решить задания и проверить себя. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: сегодня мы не просто запомним правила, а сами обнаружим их по примерам и научимся выбирать удобный порядок вычислений. Переходим к исследованию».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: исследовать примеры и вывести свойства умножения натуральных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Вычислите $3\cdot5$ и $5\cdot3$. Сравните результаты. Представьте произведение как число предметов в прямоугольной таблице: 3 ряда по 5 и 5 рядов по 3. Что изменилось, а что осталось прежним?» | Сначала решают индивидуально, затем обсуждают в паре, отвечают: «$3\cdot5=15$ и $5\cdot3=15$; число предметов не изменилось». Формулируют переместительное свойство. |
2 мин | Учитель фиксирует на доске: «Переместительное свойство умножения: от перестановки множителей произведение не изменяется, $a\cdot b=b\cdot a$. Подберите собственный пример и объясните его». | Записывают формулу, приводят примеры $6\cdot4=4\cdot6$, $8\cdot2=2\cdot8$, объясняют равенство. |
3 мин | Учитель демонстрирует три группы по 2, 3 и 4 фишки. «Сравним $(2\cdot3)\cdot4$ и $2\cdot(3\cdot4)$. Выполните действия разными способами. Что изменилось в записи?» | Вычисляют: $(2\cdot3)\cdot4=6\cdot4=24$, $2\cdot(3\cdot4)=2\cdot12=24$. Делают вывод: «Меняется группировка множителей, но результат остаётся тем же». |
2 мин | Учитель записывает: «Сочетательное свойство: чтобы умножить произведение двух чисел на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$. Теперь рассмотрим $7\cdot1$ и $9\cdot0$. Что происходит при умножении на 1 и на 0?» | Записывают формулы $a\cdot1=a$ и $a\cdot0=0$, отвечают: «При умножении на 1 число не изменяется, при умножении на 0 получается ноль». |
Запись в тетрадях
- $a\cdot0=0$ — свойство умножения на 0.
- $a\cdot1=a$ — свойство умножения на 1.
- $a\cdot b=b\cdot a$ — переместительное свойство.
- $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ — сочетательное свойство.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли четыре свойства умножения. Теперь проверим, умеем ли мы распознавать каждое свойство и применять его не только по формуле, но и для рационального счёта».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание свойств и научить применять их с проговариванием действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит игру «Математическое домино»: «Каждая пара получает четыре карточки с равенствами. Назовите свойство, которое использовано в каждом равенстве: $6\cdot9=9\cdot6$; $4\cdot1=4$; $12\cdot0=0$; $(2\cdot5)\cdot3=2\cdot(5\cdot3)$. Обсудите ответ и положите карточку рядом с названием свойства». | В парах распределяют карточки: переместительное, умножение на 1, умножение на 0, сочетательное. Проговаривают: «В первом равенстве поменяли местами множители». |
2 мин | Учитель предлагает преобразовать выражения: «Запишите удобнее и вычислите: $4\cdot25$, $2\cdot7\cdot5$, $36\cdot1$, $48\cdot0$. Обязательно подчеркните использованное свойство». | Записывают: $4\cdot25=100$; $2\cdot7\cdot5=2\cdot(7\cdot5)=70$; $36\cdot1=36$; $48\cdot0=0$. Подчёркивают свойство. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решения: «Объясните не только ответ, но и почему выбранная группировка удобна. Остальные используют приём "Две звезды и пожелание": назовите два удачных момента и один совет». | Представляют решения, оценивают объяснения одноклассников: «Удобно сначала умножить 2 на 5, потому что получается 10». Формулируют корректные советы. |
Эталон решения
$2\cdot7\cdot5=(2\cdot7)\cdot5=14\cdot5=70$. Более удобный способ: $2\cdot(7\cdot5)=2\cdot35=70$. Значение не изменилось благодаря сочетательному свойству, а выбор группировки позволил получить удобное произведение $7\cdot5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы научились узнавать свойства по записи и использовать их для вычислений. Теперь каждый самостоятельно покажет, какой способ он уже освоил без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять свойства умножения и выполнить самокоррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет критерии: «Выполните обязательное задание своего уровня. Работайте самостоятельно, записывайте преобразования. После сигнала получите эталон и отметите, где возникло затруднение». | Получают карточки, читают инструкцию, выбирают базовый или повышенный вариант по готовности. |
6 мин | Учитель наблюдает и оказывает адресную помощь вопросами: «Какое свойство узнаётся в этой записи? Можно ли сгруппировать множители иначе? Что произойдёт при умножении на 0 или 1?» На доске пока закрыт эталон. | Индивидуально решают задания. Базовый вариант: определить свойства в четырёх равенствах и вычислить $8\cdot1$, $23\cdot0$, $6\cdot5$, $2\cdot4\cdot5$. Повышенный вариант: рационально вычислить $4\cdot25\cdot3$, $5\cdot17\cdot2$ и объяснить выбор группировки. |
3 мин | Учитель открывает эталон: «Сверьте каждую строку, поставьте плюс за верное решение, кружок возле места затруднения. Исправление выполните другим цветом. Ошибка — это не повод стирать рассуждение, а возможность его улучшить». | Проверяют: $8\cdot1=8$, $23\cdot0=0$, $6\cdot5=30$, $2\cdot4\cdot5=40$; исправляют ошибки, подсчитывают количество верных ответов. |
Эталон решения
$4\cdot25\cdot3=4\cdot(25\cdot3)=4\cdot75=300$. $5\cdot17\cdot2=(5\cdot2)\cdot17=10\cdot17=170$. В обоих случаях применено сочетательное свойство, а вторая группировка выбрана для получения круглого числа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какие свойства уже применяются уверенно, а какие требуют ещё одной тренировки. Объединим все правила в систему и ответим на вопрос, как они помогают в жизни».
Этап 7. Включение знаний в систему и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: применить свойства в жизненном контексте, осознать результат и определить домашнюю задачу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: «В коробке 4 ряда по 25 карандашей, а таких коробок 3. Составьте выражение и выберите удобный порядок вычислений. Объясните, почему так быстрее». | Записывают $4\cdot25\cdot3=4\cdot(25\cdot3)=300$, отвечают: «Так удобно сгруппировать 25 и 3, но можно также сначала получить $4\cdot25=100$, затем умножить на 3». |
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: «Закончите фразы: "Я могу определить…", "Я умею применить…", "Мне нужно потренировать…". Покажите цвет: зелёный — всё могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь». | Заполняют лист самооценки, показывают карточку, формулируют личное затруднение или уверенный навык. |
1 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: «На отдельной строке ответьте: назовите одно свойство умножения и приведите пример его применения». Собирает ответы и сообщает домашнее задание. | Пишут определение или формулу и собственный пример, сдают билет на выходе, записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания карточки, правильно названы свойства, преобразования записаны последовательно, объяснение выбора способа вычисления полное.
- «4» — допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, свойства в основном определены верно, ход решения понятен.
- «3» — выполнена базовая часть, но допущены две ошибки либо отсутствует объяснение одного свойства; после самопроверки ученик может исправить решение.
- Ниже «3» — ученик затрудняется применять свойства без подсказки и нуждается в дополнительной работе по образцу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство умножения вы сегодня открыли или лучше поняли? | Выявление осознания нового знания и точности математической формулировки. |
Какое выражение удобнее всего преобразовывать с помощью сочетательного свойства? Почему? | Проверка понимания рациональной группировки множителей. |
Какая ошибка может возникнуть при умножении на 0 или 1? | Выявление типичных предметных затруднений. |
Что вы отметили в листе самооценки как навык для тренировки? | Определение индивидуальных образовательных потребностей. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что свойства умножения помогают не только правильно, но и быстро считать. Мы научились умножать число на 0 и 1, переставлять множители и менять их группировку. Помните: при преобразовании выражения нужно сохранять все множители и внимательно следить за скобками. На следующем уроке мы продолжим использовать свойства умножения при раскрытии скобок и решении более сложных выражений».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 выражений: по одному на умножение на 0 и 1, два на переместительное свойство и два на сочетательное свойство; каждое преобразование записать полностью. | Закрепляет формулы и распознавание свойств; при проверке обратить внимание на сохранение значения выражения и правильность вычислений. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения на рациональные вычисления, среди которых есть произведения с множителями 2 и 5, 4 и 25, 5 и 20; объяснить выбор группировки или перестановки множителей. | Формирует навык выбора удобного способа вычисления и письменной аргументации. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две практические задачи, в решении которых используются переместительное и сочетательное свойства, записать выражения и решить их двумя способами. | Развивает умение создавать математическую модель и переносить свойства в жизненный контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как изменяется произведение при перестановке множителей? Что происходит при умножении на 0? Что происходит при умножении на 1? Для чего используют сочетательное свойство? Как выбрать удобную группировку множителей?»
