Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться применять признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 для быстрой проверки натуральных чисел и обосновывать ответ без выполнения деления.
- Закрепить представление о делителе, кратном числе и остатке при делении, установить признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9.
- Научиться выбирать подходящий признак делимости в учебных и жизненных ситуациях, включая проверку возможности равного распределения предметов.
- Развивать умение работать в паре, сравнивать способы решения, находить и исправлять ошибки в рассуждениях.
- Формировать ответственное отношение к результату вычислений, интерес к математике и готовность проверять полученный ответ.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску быстрых и рациональных способов проверки чисел.
- Понимают практическую ценность признаков делимости при распределении предметов и планировании количества групп.
- Осознают необходимость аккуратной записи рассуждения и проверки собственного ответа.
- Сотрудничают с одноклассниками, принимают разные способы решения и доброжелательно обсуждают ошибки.
Метапредметные
- Выделяют условие задачи, выбирают нужный признак и формулируют вывод на основе данных.
- Сравнивают признаки делимости, классифицируют числа по нескольким основаниям и устанавливают связи между признаками.
- Работают с таблицей, учебным текстом и карточками, извлекают из них математическую информацию.
- Планируют действия, контролируют время, осуществляют взаимопроверку и корректируют решение после сравнения с эталоном.
Предметные
- Знать признаки делимости натуральных чисел на 2, 5, 10, 3 и 9.
- Уметь определять делимость числа без выполнения письменного деления.
- Уметь объяснять, почему число делится или не делится на выбранное число.
- Уметь применять несколько признаков одновременно и находить числа, удовлетворяющие заданным условиям.
- Владеть навыком проверки ответа по последней цифре и сумме цифр числа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в работу пары и оценивают, насколько уверенно применяют признаки делимости.
- Формируют смысл учебной деятельности через связь математического правила с задачами распределения предметов.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки и не боятся предлагать гипотезу.
- Соблюдают нормы сотрудничества: выслушивают партнёра и аргументируют собственную позицию.
Регулятивные УУД
- Совместно с учителем формулируют цель урока и планируют последовательность действий.
- Выбирают уровень задания с учётом собственных возможностей и распределяют время на его выполнение.
- Сверяют решение с эталоном, находят причину ошибки и исправляют запись.
- Оценивают достижение цели по листу самооценки и формулируют следующий шаг для закрепления.
Познавательные УУД
- Выделяют последнюю цифру и сумму цифр как существенные признаки для проверки делимости.
- Сравнивают случаи делимости на 2, 5 и 10, а также на 3 и 9.
- Классифицируют числа по нескольким признакам и строят короткую таблицу наблюдений.
- Применяют правило в новой ситуации и обосновывают вывод математическими терминами.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий и затем меняются ролями.
- Формулируют вопрос партнёру и отвечают полным предложением с объяснением признака.
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности, корректно указывают на неточность.
- Представляют общий вывод пары классу и отвечают на уточняющие вопросы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или слайде таблицу с пустыми строками для признаков делимости на 2, 5, 10, 3 и 9.
- Распечатать карточки для пар: базовый, повышающий и продвинутый уровни — по одному комплекту каждого уровня на пару.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы — по одному на каждого ученика, включая задания трёх уровней.
- Подготовить листы самооценки со светофором и стикеры трёх цветов — по одному комплекту на ученика.
- Подготовить карточки с числами 126, 235, 480, 729, 1458, 2035, 9990 и 1001 для этапа актуализации и сортировки.
- Выбрать в используемом учебнике короткий материал о признаках делимости и задания на их применение без указания номеров и страниц.
- Вывести на экран или записать на доске памятку: «На 2 — последняя цифра чётная; на 5 — последняя цифра 0 или 5; на 10 — последняя цифра 0; на 3 и 9 — сумма цифр».
- Подготовить таймер на 3 и 5 минут, проектор или интерактивную доску, маркеры и магниты.
- Подготовить межпредметный контекст: карточку о распределении 135 тетрадей и 240 наборов по одинаковым группам.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую необходимость быстрой проверки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и умение быстро замечать закономерность в записи числа. Работать будем индивидуально, в парах и небольшими командами." | Проверяют готовность к уроку, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает карточку: "Представьте, что нужно поровну разложить 135 тетрадей по 5 коробкам. Обязательно ли выполнять деление столбиком, чтобы понять, получится ли распределить их без остатка? Запишите первую гипотезу и обсудите её с соседом по парте." Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Сначала самостоятельно формулируют гипотезу, затем обсуждают её в паре и предполагают: "Можно посмотреть на последнюю цифру, потому что число заканчивается на 5". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже заметили, что запись числа может подсказать ответ быстрее обычного деления. Сейчас вспомним необходимые понятия и проверим наши первые предположения."
Этап 2. Актуализация знаний и устная практика (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного и остатка, подготовить наблюдения для открытия признаков.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске числа 126, 235, 480, 729 и спрашивает: "Что значит, что одно число делится на другое? Как называется число, на которое делят? Как называется результат деления без остатка?" Затем предлагает устно определить, делятся ли 20 на 5, 17 на 2 и 36 на 3. | Формулируют: "Делится без остатка, если остаток равен нулю"; называют делитель и частное; отвечают: "20 делится на 5, 17 на 2 не делится, 36 делится на 3". |
3 мин | Учитель проводит мини-игру «Сигнал»: "Если число делится на 2, поднимите зелёную карточку, если не делится — красную. Числа: 14, 25, 308, 417. Не называйте только ответ, обязательно объясняйте, на что посмотрели." | Поднимают карточки и объясняют: "14 делится на 2, потому что последняя цифра 4; 25 не делится на 2, потому что последняя цифра 5; 308 делится, последняя цифра 8; 417 не делится, последняя цифра 7". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делимость означает отсутствие остатка, и увидели, что иногда достаточно рассмотреть последнюю цифру. Теперь выясним, какие закономерности можно использовать для разных делителей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пары чисел 135 и 240, 126 и 729 и спрашивает: "Можно ли одним правилом проверить делимость первой пары на 5 и 10? Что общего у чисел 126 и 729? Почему по последней цифре не всегда удобно проверять делимость на 3?" Учитель фиксирует затруднения в двух колонках: «знаем» и «нужно узнать». | Сравнивают числа и замечают: "Для 5 важна последняя цифра, для 10 — тоже; у 126 и 729 разные последние цифры, но можно сложить цифры"; формулируют вопрос: "Как быстро проверить делимость на 3 и 9?" |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Закончите фразу: к концу урока я научусь..." и записывает общий план: повторить признаки, составить памятку, применить её в заданиях разной сложности. | Формулируют цель: "Научиться определять делимость чисел на 2, 5, 10, 3 и 9 без деления и объяснять ответ"; записывают тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение стало понятным: для одних делителей достаточно последней цифры, а для других нужно исследовать всё число. Откроем учебник на теме урока и проверим наши гипотезы по определениям и примерам."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания по учебнику (8 мин)
Цель этапа: сформулировать и зафиксировать признаки делимости через наблюдение и работу с материалом учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит: "Откройте учебник на теме признаков делимости. Найдите примеры чисел, делящихся на 2, 5 и 10, и рассмотрите их последние цифры. Что изменяется, а что остаётся общим?" Учитель дополняет таблицу на доске и проговаривает: "На 2 делятся числа, последняя цифра которых 0, 2, 4, 6 или 8; на 5 — числа, оканчивающиеся на 0 или 5; на 10 — числа, оканчивающиеся на 0." | Выделяют примеры в учебном тексте, называют последние цифры, формулируют три признака и записывают их в таблицу. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь рассмотрим 126, 135, 729 и 1001. Сложите цифры каждого числа. Что замечаете? Запишите сумму цифр и сравните её с делимостью числа на 3 и 9. Сделайте вывод по двум примерам." | Вычисляют: $1+2+6=9$, $1+3+5=9$, $7+2+9=18$, $1+0+0+1=2$; делают вывод: "Если сумма цифр делится на 3, то число делится на 3; если сумма цифр делится на 9, то число делится на 9". |
2 мин | Учитель показывает памятку и уточняет: "Признаки нужно не смешивать. Для 2, 5 и 10 смотрим на последнюю цифру. Для 3 и 9 находим сумму всех цифр. Какой признак выберете для числа 458? А для 675?" | Отвечают: "Для 458 — признак делимости на 2, последняя цифра 8; для 675 — на 3 и 9, потому что сумма цифр равна 18". |
Запись в тетрадях
- На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6 или 8.
- На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
- На 10 делятся числа, оканчивающиеся на 0.
- На 3 делятся числа, сумма цифр которых делится на 3.
- На 9 делятся числа, сумма цифр которых делится на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Памятка готова: теперь у нас есть не просто отдельные примеры, а пять способов быстрой проверки. Проверим их сначала вместе, а затем вы примените признаки самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор признака и объяснение решения в сотрудничестве.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт парам базовые карточки: "Распределите числа 240, 315, 428, 735, 810 и 1001 по пяти признакам. Одно число может попасть в несколько столбцов. В каждой строке укажите короткое объяснение. Первый ученик называет признак, второй проверяет вычисление суммы цифр или последнюю цифру, затем поменяйтесь ролями." | В парах заполняют таблицу. Например, 240 относят к делящимся на 2, 5 и 10; 315 — на 3, 5 и 9; 1001 — ни к одному из пяти признаков. Объясняют выбор партнёру. |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней парой. Проверьте не только ответы, но и наличие объяснения. Если нашли ошибку, поставьте рядом вопросительный знак и устно объясните, какой шаг нужно исправить." | Проверяют карточку другой пары, находят возможные ошибки, формулируют замечание: "В числе 735 сумма цифр равна 15, поэтому оно делится на 3, но не на 9". |
2 мин | Учитель разбирает спорные случаи: "Почему 1001 не делится на 2, 5, 10, 3 и 9? Как можно доказать это кратко?" | Отвечают: "Последняя цифра 1, поэтому на 2, 5 и 10 не делится; сумма цифр $1+0+0+1=2$, поэтому на 3 и 9 не делится". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились не только получать ответ, но и объяснять его партнёру. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, а уровень задания можно выбрать по своей готовности."
Этап 6. Физкультминутка и смена деятельности (2 мин)
Цель этапа: снять утомление и сохранить работоспособность перед индивидуальной практикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Проведём математическую разминку. Если число, которое я называю, делится на 2, хлопните один раз; если на 5 — поднимите руки; если на 10 — потянитесь вверх; если сумма цифр делится на 3 — сделайте шаг на месте. Числа: 12, 25, 40, 27." | Выполняют движения по условию, проговаривают признаки: для 12 — последняя цифра 2; для 25 — последняя цифра 5; для 40 подходят признаки 2, 5 и 10; для 27 сумма цифр равна 9. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Разминка показала, что признаки можно быстро применять даже в движении. Садимся, готовим индивидуальные листы и выбираем посильный уровень."
Этап 7. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение признаками делимости и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательные задания базового уровня. Если справились уверенно, переходите к повышенному; продвинутый уровень выполняйте по желанию. В каждом ответе записывайте не только «да» или «нет», но и признак, которым пользовались." | Выбирают карточку или лист своего уровня, читают критерии и готовят место для решения. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: определить, делятся ли 146, 250, 333, 504 и 918 на указанные числа. Повышенный: вписать цифру вместо знака в числах $4□2$, $57□$, $3□0$, чтобы число делилось на заданное число. Продвинутый: найти все цифры $a$, при которых число $2a58$ делится на 3 и на 2. | Индивидуально решают задания, записывают последнюю цифру или сумму цифр. Для продвинутого задания рассуждают: последняя цифра 8 даёт делимость на 2, а сумма цифр $2+a+5+8=15+a$ должна делиться на 3. |
3 мин | Учитель вывешивает эталон: "Проверьте работу по шагам. Сначала найдите нужную последнюю цифру или сумму цифр, затем сравните с признаком, после этого запишите вывод. Ошибку не зачёркивайте полностью: обведите место, где возникло затруднение, и исправьте рядом." | Сверяют ответы с эталоном, исправляют ошибки, отмечают количество верных заданий и цветом показывают уровень уверенности. |
Эталон решения
Для числа 504: последняя цифра 4, поэтому число делится на 2; сумма цифр $5+0+4=9$, поэтому число делится на 3 и на 9; на 5 и 10 число не делится, так как последняя цифра не равна 0 или 5. Для числа $2a58$: оно делится на 2, так как оканчивается цифрой 8. Сумма цифр равна $2+a+5+8=15+a$. Она делится на 3 при $a=0,3,6,9$, значит, подходят числа 2058, 2358, 2658 и 2958.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какой признак вы уже выбираете автоматически, а где ещё нужна подсказка. На следующем шаге применим знания к практической задаче, связанной с распределением предметов по группам."
Этап 8. Включение знаний в систему и межпредметная практическая задача (5 мин)
Цель этапа: применить признаки делимости в жизненном и межпредметном контексте, связанном с организацией учебного процесса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "В кабинете подготовили 135 тетрадей и 240 наборов цветной бумаги. Нужно разложить каждый вид материала поровну по 5 одинаковым коробкам. Можно ли выполнить такое распределение без остатка? Обоснуйте решение признаками делимости, а не только делением." | Определяют: 135 делится на 5, так как последняя цифра 5; 240 делится на 5 и на 10, так как оканчивается цифрой 0. Формулируют вывод: "Оба вида материала можно распределить поровну по пяти коробкам". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос на усложнение: "Если тетради нужно разложить по 3 одинаковым коробкам, получится ли распределение без остатка? А по 9? Объясните через сумму цифр." | Вычисляют $1+3+5=9$ и отвечают: "135 делится и на 3, и на 9, потому что сумма цифр равна 9". Связывают математику с организацией материалов и планированием работы группы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что признаки делимости помогают быстро планировать равное распределение материалов, а не только решать упражнения. Осталось оценить, чему вы научились и какие вопросы нужно взять в работу дома."
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: зафиксировать результат урока, выявить затруднения и дать дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если уверенно применяете все пять признаков; жёлтую — если нужна памятка; красную — если пока путаете признаки. На стикере допишите: «Теперь я могу...» и «Мне нужно повторить...»." | Показывают карточку, дописывают две фразы, называют одно достижение и одно затруднение. |
1 мин | Учитель сообщает: "Домашнее задание выбирается по уровню. Выполните обязательный вариант, а повышающий или дополнительный берите по готовности. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: какой признак применяют к числу 738 и почему?" | Записывают выбранный уровень, отвечают: "Сумма цифр равна 18, поэтому 738 делится на 3 и на 9". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания и не менее двух заданий повышенного уровня; каждый ответ обоснован соответствующим признаком, исправления выполнены самостоятельно.
- «4» — верно выполнено не менее 80 процентов обязательных заданий, допущена одна неточность в выборе признака или вычислении суммы цифр, ход рассуждения в основном записан.
- «3» — верно выполнено не менее 60 процентов обязательных заданий, признаки применяются с отдельными подсказками учителя, но основная идея проверки понята.
- Оценка может быть дополнена результатом парной работы: учитываются точность объяснения партнёру, корректность взаимопроверки и участие в обсуждении.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о проверке делимости на 2, 5, 10, 3 и 9? | Выявление осознания пяти ключевых признаков. |
Как понять, когда нужно смотреть на последнюю цифру, а когда складывать все цифры? | Проверка осмысленного выбора способа решения. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникла ошибка? | Выявление точек затруднения в алгоритме и планирование коррекции. |
Насколько уверенно вы сможете решить похожую задачу дома: зелёный, жёлтый или красный сигнал? | Субъективная оценка освоения темы и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились проверять делимость чисел на 2, 5, 10, 3 и 9 без выполнения полного деления. Важно не путать два способа: для 2, 5 и 10 смотрим на последнюю цифру, а для 3 и 9 находим сумму цифр. Если допущена ошибка, сначала проверьте, правильно ли выбран признак. Дома закрепите алгоритм на заданиях своего уровня, а на следующем уроке мы продолжим работать с делителями, кратными и разложением чисел на простые множители."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6–8 заданий на определение делимости натуральных чисел на 2, 5, 10, 3 и 9. В каждом случае записать последнюю цифру или сумму цифр и краткий вывод. | Закрепляет основные признаки; при проверке обратить внимание на соответствие способа выбранному делителю и полноту объяснения. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на подбор неизвестной цифры в числе, чтобы число делилось на 2, 5, 10, 3 или 9. Для двух заданий указать все возможные цифры. | Развивает применение признака в обратной задаче; при проверке смотреть, перебраны ли все варианты и нет ли лишних цифр. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить собственную практическую задачу о равном распределении предметов по 2, 3, 5, 9 или 10 группам. Использовать не менее двух признаков делимости и записать подробное обоснование. | Формирует умение создавать математическую модель и выбирать несколько признаков; при проверке оценить реалистичность условия и логичность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой признак применяют к числу 450? На что нужно посмотреть при проверке делимости на 9? Может ли число делиться на 9, но не делиться на 3? Обоснуйте ответ». Ожидаемый ответ: «450 делится на 2, 5 и 10; для 9 складывают все цифры; нет, если число делится на 9, оно обязательно делится и на 3».
