Признаки делимости на 2, 3, 9, 5 и 10
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться без выполнения деления определять, делится ли натуральное число на 2, 3, 5, 9 и 10, объяснять выбор признака и применять его к числам из учебных и жизненных ситуаций.
- Сформировать представление о признаках делимости на 2, 5 и 10 через анализ последней цифры числа.
- Вывести и применить признаки делимости на 3 и 9 через нахождение суммы цифр числа.
- Развивать умение сравнивать способы решения, находить ошибки и аргументировать ответ.
- Воспитывать внимательность к вычислениям, ответственность за результат совместной работы и интерес к математике через практические ситуации.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску короткого способа проверки делимости чисел.
- Осознают ценность точности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Принимают правила сотрудничества и уважительно относятся к мнению одноклассников.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно открыть математическое правило.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно планируют путь её решения.
- Извлекают информацию из таблицы, классифицируют числа и выявляют закономерности.
- Работают в паре и группе, задают уточняющие вопросы и аргументируют вывод.
- Проводят самопроверку по эталону, фиксируют ошибку и корректируют решение.
Предметные
- Знать признаки делимости на 2, 3, 5, 9 и 10.
- Уметь определять делимость числа на основании его последней цифры или суммы цифр.
- Уметь одновременно применять несколько признаков к одному числу.
- Владеть математической речью: формулировать ответ «число делится на ...» или «число не делится на ...» с объяснением.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения признаков делимости для быстрого и рационального решения задач.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение при поиске закономерности.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Соблюдают доброжелательность и математическую корректность в обсуждении ответов.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного вопроса.
- Планируют последовательность действий: проверить последнюю цифру, найти сумму цифр, сопоставить с признаком.
- Контролируют правильность применения признака и исправляют найденные ошибки.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и «билета на выход».
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак числа и отделяют его от несущественных свойств.
- Сравнивают группы чисел, находят закономерности и формулируют гипотезу.
- Моделируют способ проверки делимости в виде алгоритма и таблицы.
- Применяют логические операции сравнения, классификации и обобщения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с математическим обоснованием.
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Слушают партнёра и задают вопрос «Почему ты так решил?».
- Согласуют общий вывод и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: проблемный вопрос, группы чисел, таблицу признаков делимости и алгоритм проверки.
- Распечатать карточки с числами для исследования: по одной карточке на пару и по одному комплекту на группу.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика, с запасом 3 экземпляра.
- Подготовить листы самооценки и небольшие листочки для «билета на выход» — по одному на каждого ученика.
- Подготовить магнитные цифры или карточки с цифрами 0–9 для задания на составление чисел.
- Подготовить слайд или плакат с жизненной ситуацией: упаковки по 2, 5, 9 и 10 предметов.
- Освободить пространство у парт для короткой физкультминутки; подготовить таймер на 30 секунд.
- Подготовить маркеры, магниты, цветные стикеры и доску; заранее записать тему урока без правил.
- Организовать межпредметную связь с информатикой и финансовой грамотностью через проверку количества файлов и упаковок без полного деления.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать познавательную ситуацию, требующую нового способа проверки делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к открытию»: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, есть ли у вас тетрадь, ручка и линейка. Сегодня нам понадобятся внимательность и умение замечать закономерности. Не спешите называть ответ: сначала объясняйте, как вы его получили». | Проверяют принадлежности, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске числа 120, 245, 738, 999 и спрашивает: «Представьте, что на складе нужно быстро распределить эти количества предметов по коробкам. Как узнать, можно ли разложить число предметов поровну, не выполняя деление уголком? Какие свойства числа могут помочь?» Учитель принимает гипотезы, но правило пока не сообщает. | Предполагают: «Можно посмотреть на последнюю цифру», «нужно сложить цифры», «надо разделить число». Формулируют затруднение: быстрый способ пока неизвестен. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что для некоторых чисел хочется использовать короткий способ, но пока не знаем точного правила. Сейчас выясним, какие признаки действительно работают и почему».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делителя, кратного числа, остатка и разрядного состава числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Математический светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если утверждение верно, и красную, если неверно. Число 24 кратно 6. Число 25 делится на 4 без остатка. Если число делится на 5, то 5 является его делителем». После каждого ответа просит краткое объяснение. | Показывают карточки и объясняют: «24 кратно 6, потому что $24:6=4$», «25 на 4 без остатка не делится», «5 является делителем числа, если деление выполняется без остатка». |
3 мин | Учитель записывает числа 37, 84, 205 и спрашивает: «Назовите последнюю цифру каждого числа. Как связаны последняя цифра и единицы числа? Из каких разрядов состоит число 205?» Затем напоминает: «Сумма цифр числа 738 равна $7+3+8=18$». | Называют последние цифры: «7, 4, 5». Объясняют, что последняя цифра показывает число единиц. Представляют 205 как 2 сотни, 0 десятков и 5 единиц; находят сумму цифр 738: «18». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что делимость связана с отсутствием остатка, а число можно рассматривать по его цифрам и разрядам. Теперь проверим, какие наблюдения превращаются в точные признаки».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план открытия признаков делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Рассмотрите пары чисел: 18 и 19, 40 и 45, 72 и 81. Какое число в каждой паре легче проверить на делимость? Что общего у чисел, которые делятся на 2 или 5? Можно ли по одной последней цифре проверить делимость на 3 или 9?» | Сначала думают индивидуально, затем обсуждают в парах. Предполагают: «Для 2 и 5 важна последняя цифра», «для 3 и 9, возможно, нужно сложить цифры». |
2 мин | Учитель фиксирует на доске план: «1. Исследовать делимость на 2, 5 и 10. 2. Исследовать делимость на 3 и 9. 3. Сформулировать правила. 4. Проверить их на новых числах». Спрашивает: «Какой результат покажет, что цель достигнута?» | Формулируют цель: «Мы сможем быстро определить делимость числа и объяснить свой ответ без выполнения деления». Записывают план в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План у нас есть: сначала исследуем последнюю цифру, затем сумму цифр. Работайте как исследователи: не просто называйте ответ, а ищите подтверждение на нескольких примерах».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: самостоятельно вывести признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 и оформить их в единую таблицу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам карточки с числами 12, 24, 36, 47, 50, 65, 70, 83, 90, 125 и говорит: «Разделите числа на две группы для каждого вопроса: делятся ли они на 2, на 5, на 10. Деление можно выполнить только для проверки нескольких примеров. В основной части ищите общий признак в последней цифре». Учитель направляет вопросами: «Какие последние цифры встречаются у чисел, кратных 2? Что общего у чисел, кратных 5 и 10?» | В парах распределяют числа, выделяют последние цифры. Формулируют: «На 2 делятся числа, оканчивающиеся на 0, 2, 4, 6, 8», «на 5 — на 0 или 5», «на 10 — на 0». |
3 мин | Учитель раздаёт группам карточки с числами 12, 21, 33, 42, 57, 108, 126, 135, 207, 234 и просит: «Найдите сумму цифр каждого числа. Разделите числа на группы по делимости на 3 и на 9. Сравните суммы цифр с числами 3 и 9». Учитель просит докладчиков объяснить два примера. | Вычисляют суммы цифр: $1+2=3$, $2+1=3$, $3+3=6$, $1+0+8=9$. Делают вывод: «Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3; на 9 — если сумма цифр делится на 9». |
3 мин | Учитель оформляет на доске таблицу и уточняет: «Признак — это достаточное условие быстрой проверки. Если сумма цифр равна 18, число делится и на 3, и на 9. Если число оканчивается на 0, оно делится и на 2, и на 5, и на 10». Учитель предлагает проверить число 450 и просит объяснить все выводы. | Заполняют таблицу в тетради. Для 450 называют: «Последняя цифра 0, значит, число делится на 2, 5 и 10. Сумма цифр $4+5+0=9$, значит, оно делится на 3 и 9». |
Запись в тетрадях
- Число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8.
- Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
- Число делится на 10, если его последняя цифра 0.
- Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
- Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли два способа проверки: по последней цифре и по сумме цифр. Теперь проверим, умеем ли мы применять правила не по образцу, а в новых заданиях».
Этап 5. Физкультминутка «Цифровая разминка» (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить признаки делимости в движении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель объясняет: «Сейчас проведём физкультминутку с повторением правил. Если число на экране делится на 2, хлопните один раз; если на 5 — поднимите руки; если на 10 — сделайте шаг вправо; если сумма цифр делится на 3 — потянитесь вверх. Числа будут сменяться быстро, поэтому сначала определяйте признак, затем выполняйте движение». Учитель показывает 20, 45, 72, 90 и 113. | Выполняют движения и проговаривают правила: для 20 хлопают, поднимают руки и делают шаг вправо; для 45 поднимают руки и тянутся вверх; для 72 хлопают и тянутся вверх; для 90 выполняют все названные действия; для 113 не выполняют движение для 2 и 5, но тянутся вверх, так как $1+1+3=5$ и на 3 число не делится — учащиеся исправляют возможную ошибку учителя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы не только повторили признаки, но и потренировали внимательность. Возвращаемся к тетрадям и применяем правила в задачах с возрастающей сложностью».
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметная связь (7 мин)
Цель этапа: закрепить признаки делимости в математическом и жизненном контексте, связанном с информатикой и финансовой грамотностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: «В школьном архиве 360 файлов. Администратор хочет разделить их на одинаковые группы по 2, по 5, по 9 и по 10 файлов. Для каких вариантов не нужно выполнять деление, если использовать признаки делимости? Объясните каждое решение». | Записывают число 360 и проверяют: последняя цифра 0, поэтому число делится на 2, 5 и 10; сумма цифр $3+6+0=9$, поэтому делится на 3 и 9. Формулируют полный ответ. |
2 мин | Учитель предлагает задание «Найди ошибку»: «Ученик утверждает: число 245 делится на 2, потому что сумма цифр равна 11; число делится на 9, потому что последняя цифра 5. Согласны ли вы?» | Находят две ошибки и объясняют: «Для делимости на 2 смотрят на последнюю цифру; 245 на 2 не делится. Для 9 находят сумму цифр: $2+4+5=11$, 11 на 9 не делится». |
2 мин | Учитель раздаёт группам карточки с числами 135, 208, 417, 720 и просит составить для каждого краткую «математическую справку»: на какие из пяти чисел оно делится и почему. Докладчик группы отвечает по одному числу. | Группы распределяют роли, находят последнюю цифру и сумму цифр, записывают признаки. Представляют ответы: «720 делится на 2, 5 и 10, потому что оканчивается на 0; на 3 и 9, потому что сумма цифр равна 9». |
Эталон решения
Для числа 360: последняя цифра 0, поэтому $360$ делится на 2, 5 и 10. Сумма цифр равна $3+6+0=9$; число 9 делится на 3 и на 9, значит, $360$ делится на 3 и на 9. Ответ: число делится на все пять чисел.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы применили признаки к числам из учебной и цифровой ситуации и увидели, что один признак может дать сразу несколько выводов. Теперь каждый проверит себя самостоятельно, без подсказки группы».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение выбирать и применять нужный признак делимости.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и говорит: «Выполняйте работу самостоятельно. В каждом ответе обязательно указывайте признак, а не только ставьте знак. Базовый уровень: определите, делятся ли 248, 375, 630 на 2, 5 и 10. Средний уровень: определите, на какие из чисел 2, 3, 5, 9, 10 делятся 216, 405 и 728. Повышенный уровень: подберите все цифры вместо звездочки в числе $4*5$, чтобы число делилось на 3 и на 5». | Решают выбранный вариант. Для $4*5$ используют признаки: последняя цифра 5 обеспечивает делимость на 5, сумма цифр $4+*+5=9+*$ должна делиться на 3; подходят цифры 0, 3, 6, 9. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: «Проверьте не только ответ, но и объяснение. Отметьте зелёным верное действие, жёлтым — место сомнения, красным — ошибку. Если ошибка есть, рядом запишите исправленное правило». | Сверяют решения, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных ответов и отмечают уровень самостоятельности в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какой признак вы уже применяете уверенно, а какой требует тренировки. Осталось собрать все правила в общий алгоритм и оценить достижение цели урока».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ действия, выявить затруднения и объяснить домашнюю работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: «Покажите цвет, который соответствует вашему состоянию. Зелёный — могу объяснить все пять признаков, жёлтый — путаю один или два, красный — нужна помощь. Теперь закончите фразу: “Чтобы проверить делимость на ..., я ...”». | Поднимают карточки, формулируют: «Чтобы проверить делимость на 2, смотрю на последнюю цифру», «на 3 и 9 нахожу сумму цифр». |
1 мин | Учитель раздаёт «билет на выход»: «Запишите число, которое делится на 2, 3, 5, 9 и 10 одновременно, и одним предложением объясните свой выбор. Второй вопрос: какой признак сегодня оказался самым удобным для вас?» | Записывают, например, 90 или 180, объясняют выбор и сдают листочек при выходе. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень; повышающий и дополнительный выполняйте по желанию. В решении обязательно указывайте признак делимости. Не переписывайте длинное деление, если достаточно признака». | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы по уровням. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами открыли признаки делимости и проверили их в разных ситуациях. Важно не угадывать ответ по одной цифре, а каждый раз называть точное правило и применять его последовательно».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все задания выбранной карточки, для каждого вывода указан подходящий признак, в задании с числом $4*5$ найдены все подходящие цифры и объяснено условие.
- «4» — правильно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в объяснении или пропущен один подходящий вариант, но основные признаки применены верно.
- «3» — правильно выполнено не менее половины заданий, ученик различает признаки по последней цифре и по сумме цифр, но допускает отдельные ошибки в классификации чисел.
- Ниже отметки «3» — признаки пока применяются непоследовательно; требуется разобрать ошибки и выполнить базовые тренировочные примеры с опорой на таблицу.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о проверке делимости чисел? | Выявление осознания двух способов проверки: по последней цифре и по сумме цифр. |
Какой признак делимости вы применяете увереннее всего? Почему? | Определение субъективной уверенности и наиболее доступного способа. |
На каком шаге вы ошиблись или почувствовали затруднение? | Выявление точек затруднения в выборе и применении алгоритма. |
Какое число вы приведёте в пример, чтобы показать одновременную делимость на несколько чисел? | Проверка способности обобщить правило и привести собственный пример. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились быстро проверять делимость чисел на 2, 3, 5, 9 и 10, не выполняя полное деление. Запомните главное: для 2, 5 и 10 смотрим на последнюю цифру, а для 3 и 9 находим сумму цифр. Типичная ошибка — использовать признак последней цифры для числа 3 или 9, поэтому всегда сначала определяйте, какое правило подходит. На следующем уроке мы продолжим применять признаки делимости при разложении чисел на простые множители и решении задач».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6–8 заданий на определение делимости двузначных и трёхзначных чисел на 2, 3, 5, 9 и 10; в каждом пункте записать использованный признак. | Закрепляет распознавание признака и правильный выбор между последней цифрой и суммой цифр; при проверке смотреть на полноту объяснения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на подбор цифр: вставить пропущенную цифру в трёхзначное число так, чтобы оно делилось на указанное число или одновременно на два числа из списка 2, 3, 5, 9, 10. | Формирует применение признаков в обратной задаче и умение учитывать несколько условий одновременно. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственные задачи о количестве предметов, файлов или денежных единиц, где требуется определить делимость на несколько чисел, решить их и написать краткое обоснование. | Развивает создание математической модели, функциональную грамотность и умение объяснять выбор признака. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как проверить делимость числа на 10? Какой признак используется для числа 9? На какие из пяти чисел делится 270 и почему? Чем отличаются признаки делимости на 3 и на 5?»
