Признак делимости на три
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться определять, делится ли натуральное число на 3, используя сумму его цифр, и применять признак при выполнении не менее четырёх практических заданий.
- Сформировать понимание связи между делимостью числа на 3 и суммой его цифр.
- Научить применять признак делимости на 3 при проверке чисел и выборе недостающей цифры.
- Развивать умение работать в паре, объяснять ход рассуждения и проверять результат с помощью цифрового задания.
- Воспитывать интерес к математике через игровое соревнование, внимательность и ответственность за общий результат группы.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску закономерности в записи натуральных чисел.
- Осознают ценность точного математического рассуждения и проверки ответа.
- Принимают правила учебного сотрудничества и доброжелательно оценивают вклад партнёра.
- Сохраняют мотивацию при переходе от пробных примеров к самостоятельному решению.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Сравнивают числа и суммы их цифр, выделяют существенный признак и делают вывод.
- Работают с информацией на карточке и интерактивном экране, фиксируя результаты в таблице.
- Распределяют действия в паре, аргументируют ответ и осуществляют взаимопроверку.
- Планируют решение, сверяют его с эталоном и исправляют обнаруженные ошибки.
Предметные
- Знать формулировку признака делимости на 3.
- Уметь находить сумму цифр натурального числа.
- Уметь определять, делится ли число на 3, без выполнения деления столбиком.
- Уметь находить недостающую цифру в числе, кратном 3.
- Владеть способом объяснения решения через делимость суммы цифр на 3.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения признака делимости для быстрого решения практических задач.
- Проявляют готовность к сотрудничеству и честному участию в математической игре.
- Развивают уверенность в собственных действиях через последовательную проверку гипотез.
- Формируют ответственное отношение к записи вычислений и математической речи.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока: научиться распознавать делимость на 3 по сумме цифр.
- Планируют алгоритм проверки числа из нескольких шагов.
- Контролируют вычисление суммы цифр и соответствие вывода условию.
- Оценивают результат по критериям и корректируют ошибочное рассуждение.
- Соотносят результат самостоятельной работы с эталоном.
Познавательные УУД
- Выделяют цифры числа и преобразуют запись числа в сумму его цифр.
- Сравнивают несколько примеров, находят повторяющуюся закономерность.
- Строят простую математическую модель проверки делимости.
- Классифицируют числа на делящиеся и не делящиеся на 3.
- Используют цифровую визуализацию для проверки гипотезы.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель и проверяющий.
- Формулируют полный ответ с объяснением, а не только называют результат.
- Задают уточняющие вопросы о способе нахождения суммы цифр.
- Согласовывают общий ответ и корректно исправляют ошибку партнёра.
- Представляют результат пары перед классом.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с числами 12, 15, 24, 31, 42, 58, 123 и таблицей для фиксации суммы цифр.
- Распечатать карточки для парной игры «Математический детектив» — по одной карточке на пару, всего 15 комплектов.
- Подготовить карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одному комплекту на каждого ученика.
- Распечатать сигнальные карточки «делится» и «не делится» — по две на каждого ученика.
- Вывести на доску памятку: 1) сложить цифры; 2) проверить сумму на делимость на 3; 3) сделать вывод о числе.
- Подготовить цифровой мини-тест на 5 вопросов с автоматической или фронтальной проверкой на интерактивной доске.
- Приготовить таймер на 2 и 3 минуты для игровых раундов.
- Разделить доску на поля «Гипотеза», «Правило», «Применение», «Ошибки».
- Подготовить жетоны или баллы для пар, набравших правильные и объяснённые ответы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску быстрого способа проверки чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране два числа: 123 и 124. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы станем математическими детективами. Посмотрите на экран: какое из этих чисел делится на 3? Не выполняйте деление столбиком, попробуйте предположить быстро». | Индивидуально рассматривают числа, поднимают сигнальную карточку с предположением, формулируют ответы: «123 делится на 3», «124, скорее всего, не делится». |
2 мин | Учитель объявляет игровое правило: «За верный ответ пара получает жетон, а за верный ответ с объяснением — два жетона. Ошибка не страшна: важно найти её и объяснить. Сегодня мы должны открыть способ проверки делимости на 3». | Объединяются в пары, выбирают роли вычислителя и проверяющего, записывают дату и тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что хочется находить делимость быстрее, чем обычным делением. Сейчас проверим известные нам способы и найдём место затруднения».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия делимости, кратного числа и суммы цифр, подготовив учащихся к открытию нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на доске числа 18, 20, 27, 35. «Назовите числа, которые делятся на 3. Как это проверить? Что значит: число делится нацело? Вспомните, как называются числа, которые делятся на данное число без остатка». | Отвечают: «18 и 27 делятся на 3», «при делении остаток равен нулю», «это кратные числа». |
2 мин | Учитель предлагает парам быстро найти сумму цифр чисел 18, 27, 35 и 124. «Работайте в паре: один складывает цифры, второй записывает и проверяет. Через минуту сравним результаты». | Записывают: $1+8=9$, $2+7=9$, $3+5=8$, $1+2+4=7$; сверяют вычисления с партнёром. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Почему у чисел 18 и 27 сумма цифр равна 9, а сами числа делятся на 3? Всегда ли по сумме цифр можно предсказать делимость? Проверим на числе 124». | Предполагают: «Если сумма цифр делится на 3, то и число, возможно, делится на 3»; фиксируют затруднение: «Правило ещё не доказано». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы умеем находить сумму цифр, но пока не знаем, можно ли использовать её для проверки самого числа. Значит, нам нужно исследовать примеры и открыть правило».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и план исследования закономерности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран таблицу: 12, 15, 21, 22, 30, 41 и их суммы цифр. «Сравните пары чисел. Какие из них делятся на 3? Что общего у сумм цифр делящихся чисел? Сформулируйте гипотезу». | В парах отмечают делящиеся числа, сравнивают суммы цифр и формулируют гипотезу: «Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3». |
2 мин | Учитель принимает формулировки и уточняет: «Сегодня мы проверим гипотезу, сформулируем точный признак, научимся применять его в игре и самостоятельно. Какой план действий предложите?» | Предлагают план: «исследовать примеры, записать правило, потренироваться, проверить себя». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель определена: открыть и научиться применять признак делимости на 3. Начинаем исследование с конкретных чисел».
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование в парах (9 мин)
Цель этапа: вывести признак делимости на 3 через сравнение числа с суммой его цифр и сформулировать алгоритм действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с числами 24, 36, 47, 102, 111, 125. «Сначала определите делимость каждого числа обычным способом или по известным вам фактам. Затем найдите сумму цифр. Заполните две колонки: число делится на 3; сумма цифр делится на 3». | В парах вычисляют и заполняют таблицу: $2+4=6$, $3+6=9$, $4+7=11$, $1+0+2=3$, $1+1+1=3$, $1+2+5=8$; распределяют числа по двум группам. |
3 мин | Учитель организует обсуждение «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Сравните результаты. Есть ли совпадение между делимостью числа и делимостью суммы его цифр? Приведите один пример-доказательство и один пример, который подтверждает отказ». | Обсуждают вывод, представитель пары сообщает: «24 делится на 3 и сумма цифр 6 делится на 3; 47 не делится на 3 и сумма цифр 11 не делится на 3». |
3 мин | Учитель формулирует и записывает на доске: «Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3». «Разберём алгоритм: сложить цифры, проверить сумму, сделать вывод. Применим его к числу 735». | Записывают алгоритм и решают: $7+3+5=15$, $15$ делится на $3$, значит, $735$ делится на $3$. Формулируют полный ответ. |
Запись в тетрадях
Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Алгоритм: 1) сложить все цифры числа; 2) проверить, делится ли полученная сумма на 3; 3) сделать вывод о делимости исходного числа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы не просто запомнили правило, а обнаружили его по таблице. Теперь проверим, насколько уверенно умеем применять алгоритм в игровой ситуации».
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Математический детектив» (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм проверки делимости на 3 в парной практической деятельности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет правила игры: «Каждая пара получает карточку с шестью числами. За 2 минуты определите, какие числа делятся на 3, и обязательно запишите сумму цифр хотя бы для четырёх чисел. После сигнала обменяйтесь карточкой с соседней парой». | В парах распределяют действия, находят суммы цифр чисел 216, 304, 450, 517, 702 и 999, отмечают делящиеся числа. |
3 мин | Учитель запускает таймер и напоминает: «Не ставьте знак делимости без вычисления суммы цифр. Если сумма равна 3, 6, 9, 12, 15 и так далее, число делится на 3. Объяснение должно быть коротким, но полным». | Решают карточку, записывают: $2+1+6=9$, $3+0+4=7$, $4+5+0=9$, $5+1+7=13$, $7+0+2=9$, $9+9+9=27$; выбирают 216, 450, 702, 999. |
3 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: «Сверьте решение соседней пары с эталоном на экране. За каждое совпадение поставьте плюс, а при ошибке подчеркните место, где нарушен алгоритм». | Обмениваются карточками, сверяют ответы, называют ошибки и начисляют жетоны по правилам игры. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы убедились, что признак позволяет быстро проверять большие числа. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять его без помощи пары».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение признака делимости на 3 и выполнить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. «Выполните обязательные задания. Если справитесь раньше, выберите повышенное. В каждом ответе показывайте сумму цифр. Не пользуйтесь делением столбиком: сегодня проверяется именно новый способ». | Индивидуально решают: определить делимость чисел 327, 418, 600; вставить цифру в число 52_ так, чтобы оно делилось на 3; объяснить, делится ли 1002 на 3. |
2 мин | Учитель выводит эталон: «Проверьте не только итог, но и сумму цифр. Если ошибка есть, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите правильный». | Сверяют решения: $3+2+7=12$, $4+1+8=13$, $6+0+0=6$, $1+0+0+2=3$. Делают исправления. |
1 мин | Учитель проводит самооценку: «Покажите пальцами от одного до трёх, насколько уверенно вы можете применить алгоритм: один — нужна помощь, два — получается с проверкой, три — могу объяснить другому». | Показывают уровень уверенности и отмечают в тетради, какой шаг вызвал затруднение. |
Эталон решения
Для числа $327$: $3+2+7=12$; $12$ делится на $3$, поэтому $327$ делится на $3$. Для числа $418$: $4+1+8=13$; $13$ не делится на $3$, поэтому $418$ не делится на $3$. Для числа $600$: $6+0+0=6$; $6$ делится на $3$, поэтому $600$ делится на $3$. Для числа $52_$ возможны цифры $0$, $3$, $6$ и $9$, потому что $5+2+0=7$, а добавление цифры должно сделать сумму кратной 3: $5+2+3=10$ — нет; корректно: $5+2+x=7+x$, поэтому $x=2$, $5$ или $8$ дают суммы $9$, $12$, $15$; ответы: 2, 5, 8.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что главное место ошибки — не в сложении, а в поспешном выводе. Перед финальной игрой ещё раз применим признак к жизненной и цифровой ситуации».
Этап 7. ИКТ-практика, рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить способ, проверить понимание с помощью цифрового задания и осмыслить личный результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель открывает на интерактивной доске мини-тест из пяти вопросов: «Выберите числа, делящиеся на 3; найдите ошибочное рассуждение; подберите недостающую цифру. Обсуждаем каждый ответ не только по кнопке, но и по сумме цифр». | По очереди выбирают варианты на экране или поднимают сигнальные карточки, объясняют: «Сначала нашли сумму цифр, затем проверили её делимость на 3». |
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная запись»: «Запишите одно предложение: “Сегодня я научился…”, и одно продолжение: “Мне нужно ещё потренироваться в…”. Затем ответьте на вопрос: почему число 1002 делится на 3?» | Пишут рефлексию, отвечают: «$1+0+0+2=3$, а 3 делится на 3, значит, 1002 делится на 3». |
2 мин | Учитель объявляет результаты игры и задаёт домашнее задание: «Побеждает не только пара с большим числом жетонов, но и та, которая смогла объяснить каждый ответ. Запишите задание по выбранному уровню и проверьте себя контрольными вопросами». | Сверяют самооценку с результатом, записывают домашнее задание, формулируют итог урока: «Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы открыли признак делимости на 3, проверили его в исследовании, игре и цифровом мини-тесте. На следующем уроке мы продолжим работу с признаками делимости и сравним разные способы быстрой проверки чисел».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, для каждого числа найдена сумма цифр, выводы сформулированы с опорой на признак; задание с недостающей цифрой решено полностью.
- «4» — верно выполнены не менее 4 из 5 основных заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, общий алгоритм применён правильно.
- «3» — верно выполнены не менее 3 основных заданий при наличии ошибок в вычислении суммы цифр или формулировке вывода; ученик исправляет ошибку после подсказки.
- Ниже базового уровня — признак пока применяется непоследовательно; требуется повторить алгоритм и выполнить дополнительные тренировочные примеры.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать первым, чтобы проверить делимость числа на 3? | Проверить понимание первого шага алгоритма. |
Почему число 735 делится на 3? | Выявить умение объяснять решение через сумму цифр. |
Какое задание оказалось самым трудным и на каком шаге возникла ошибка? | Выявить точки затруднения и необходимость коррекции. |
Сможете ли вы объяснить признак однокласснику? Что скажете? | Оценить осознанность и уровень самостоятельного владения способом. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы открыли удобный способ проверки делимости числа на 3. Теперь вы знаете: нужно сложить его цифры и проверить, делится ли полученная сумма на 3. Самая частая ошибка — сделать вывод, не вычислив сумму цифр полностью, поэтому всегда выполняйте все три шага алгоритма. Вы хорошо работали в парах и самостоятельно. На следующем уроке мы продолжим исследовать признаки делимости и научимся выбирать подходящий способ проверки».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на определение делимости двузначных и трёхзначных чисел на 3; в каждом решении записать сумму цифр и вывод. | Закрепить основной алгоритм; при проверке смотреть на правильность суммы цифр и формулировку вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на подбор недостающей цифры в числах вида 4_7, 23_5 и 6_18, чтобы число делилось на 3; указать все возможные цифры. | Научиться применять признак в обратной задаче и проверять полноту ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три разных четырёхзначных числа, делящихся на 3, и два четырёхзначных числа, не делящихся на 3; объяснить выбор цифр и придумать для одноклассника одну задачу с недостающей цифрой. | Развивать создание математических задач, аргументацию и осознанное использование признака. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как сформулировать признак делимости на 3? Как проверить число 426? Какие цифры можно поставить вместо пропуска в числе 71_, чтобы оно делилось на 3? Почему одной проверки последней цифры недостаточно?»
