Порядок выполнения арифметических действий в выражениях, содержащих степени
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться правильно определять порядок действий и находить значение числовых выражений, содержащих степени, скобки, умножение, деление, сложение и вычитание, выполняя не менее 4 из 5 заданий без ошибок.
- Образовательная задача: уточнить правила выполнения арифметических действий и раскрыть место возведения в степень в общем порядке действий.
- Развивающая задача: формировать умение анализировать структуру выражения, составлять алгоритм решения и обнаруживать ошибки в готовых вычислениях.
- Коммуникативная задача: учить объяснять выбор порядка действий в паре и аргументированно сравнивать способы решения.
- Воспитательная задача: развивать аккуратность вычислений, ответственность за результат и готовность проверять собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительную мотивацию к изучению математики через решение задачи из практического и игрового контекста.
- Осознают ценность точности, последовательности и самопроверки при выполнении вычислений.
- Развивают уверенность в возможности самостоятельно исправить ошибку после анализа её причины.
- Соблюдают правила сотрудничества и уважительно относятся к объяснениям одноклассников.
Метапредметные
- Выделяют в выражении действия первой, второй и третьей ступени и устанавливают их последовательность.
- Составляют и применяют алгоритм решения числового выражения.
- Работают с визуальной информацией на экране, соотносят запись выражения и схему порядка действий.
- Планируют решение, выполняют самопроверку по эталону и корректируют обнаруженные ошибки.
- Формулируют ответ, задают уточняющие вопросы и аргументируют собственное решение.
Предметные
- Знать, что возведение в степень выполняется до умножения и деления, а умножение и деление — до сложения и вычитания.
- Уметь определять порядок действий в выражениях со скобками и степенями.
- Уметь вычислять значения выражений, содержащих степени натуральных чисел.
- Уметь записывать промежуточные результаты и выполнять проверку обратным ходом рассуждения.
- Владеть алгоритмом решения выражений вида $a^n+b\cdot c-d$ и выражений со скобками.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться не пропускать действие и объяснять его место в алгоритме.
- Оценивают значение аккуратной записи для получения верного результата.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа самопроверки.
- Принимают ситуацию ошибки как возможность уточнить правило, а не как причину отказа от работы.
Регулятивные УУД
- Принимают и формулируют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют последовательность вычислений до начала решения.
- Контролируют каждый промежуточный результат и сверяют его с эталоном.
- Находят ошибку, называют её причину и исправляют решение.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Классифицируют арифметические действия по ступеням.
- Анализируют выражение, выделяя скобки, степени и действия разных ступеней.
- Строят алгоритм в виде последовательности шагов и применяют его к новым примерам.
- Моделируют порядок вычислений с помощью стрелок, номеров действий и цветовой схемы.
- Сравнивают верное и ошибочное решения и делают вывод о причине расхождения.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Формулируют полный ответ: «Сначала выполняем ..., потому что ...».
- Задают вопросы о непонятном шаге и уточняют математическую терминологию.
- Сравнивают решения без перехода на оценку личности одноклассника.
- Приходят к общему варианту алгоритма и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемным выражением, цветовой схемой ступеней действий и эталоном решения.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить мини-карточки со знаками «1», «2», «3» для обозначения порядка действий — по одному комплекту на пару.
- Распечатать лист самопроверки с алгоритмом: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Вывести на экран интерактивное задание с выражениями и возможностью перетаскивать номера действий или выбирать ответ.
- Записать на доске тему урока и оставить место для схемы: «скобки → степени → умножение/деление → сложение/вычитание».
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Проверить проектор, ноутбук, интерактивную доску и резервный бумажный вариант заданий на случай технического сбоя.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме правильной последовательности вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебных принадлежностей. Сегодня нам потребуется не только считать, но и внимательно рассуждать. На экране появится выражение, в котором одна ошибка полностью меняет ответ." Учитель показывает выражение $2+3\cdot4^2$. | Проверяют готовность, записывают дату и оставляют место для темы урока. |
2 мин | Учитель показывает два ответа к выражению $2+3\cdot4^2$: 50 и 194. "Какой ответ кажется вам верным? Не называйте его сразу: сначала подумайте, какое действие могло быть выполнено первым. Поднимите карточку с выбранным ответом и объясните свою позицию." Учитель фиксирует разные версии, не объявляя правильную. | Индивидуально выбирают ответ, затем обсуждают его с соседом. Формулируют: "Сначала нужно вычислить степень, затем умножить и только потом прибавить" или называют ошибочный порядок действий. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одного умения считать недостаточно: важно соблюдать порядок действий. Сейчас восстановим известные правила и выясним, какое место в них занимает степень."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: повторить правила порядка действий и значения основных понятий, необходимых для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Мозговой штурм»: "Назовите действия, которые встречаются в числовых выражениях. Какие действия мы выполняем раньше, если скобок нет? Что делаем при наличии умножения и деления одновременно?" На доске учитель записывает ответы в виде двух колонок: действия первой и второй ступени. | Называют: "сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень"; вспоминают, что умножение и деление выполняются раньше сложения и вычитания, а действия одной ступени — слева направо. |
2 мин | Учитель показывает три выражения: $18-6:3$, $(18-6):3$, $18-(6:3)$. "Сравните выражения. Что меняют скобки? Проставьте номера действий, не вычисляя значения." | В парах расставляют номера действий: в первом выражении сначала деление, затем вычитание; во втором — действие в скобках, затем деление; в третьем — деление в скобках, затем вычитание. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить $5^2$ и спрашивает: "Что называют основанием и показателем степени? Как можно представить квадрат числа 5 в виде произведения?" Учитель принимает ответы и уточняет запись на доске. | Отвечают: "Основание — 5, показатель — 2; $5^2=5\cdot5=25$". Формулируют, что степень — это краткая запись произведения одинаковых множителей. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили скобки, действия одной и разных ступеней, а также смысл степени. Но пока не сформулировали главное правило: когда именно вычислять степень в сложном выражении. Поставим этот вопрос как задачу урока."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель и план изучения нового материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает выражение $7+2^3\cdot5$ и два варианта записи: первый — сначала $7+2^3$, второй — сначала $2^3$. "Оба решения выглядят аккуратно. Как доказать, какое действие должно быть первым? Какое правило нам необходимо сформулировать?" | Сравнивают варианты, находят затруднение и предполагают: "Нужно определить место степени среди других действий". |
2 мин | Учитель организует «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала за 30 секунд сформулируйте цель самостоятельно, затем обсудите её с соседом и предложите классу общий вариант. В плане урока должны быть три шага: выяснить правило, применить его, проверить себя." | Формулируют цель: "Научиться выполнять действия в правильном порядке в выражениях со степенями". Называют план: узнать правило, решить примеры, выполнить самостоятельную проверку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам нужно не просто получить ответ, а научиться объяснять каждый шаг. Перейдём к открытию правила и проверим его на конкретном выражении."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать порядок выполнения действий в выражениях, содержащих степени.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель запускает интерактивную схему на экране: «Лестница действий». "Перетащите мысленно или назовите ступени от первой к последней. Что выполняем внутри скобок? Где находится степень? Какие действия выполняем слева направо?" Учитель по ответам класса выстраивает схему: скобки, степени, умножение и деление, сложение и вычитание. | По очереди называют ступени и объясняют их место: "Сначала скобки, затем степени, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание". |
3 мин | Учитель вместе с классом разбирает выражение $6+2^3\cdot4-5$. "Сначала подчеркнём действие, которое выполняется первым. Запишем промежуточный результат, не пропуская строку. Почему нельзя сначала сложить 6 и 2?" На экране последовательно появляются строки: $6+8\cdot4-5$, $6+32-5$, $38-5$, $33$. | Называют порядок действий: степень, умножение, сложение, вычитание. Записывают решение: $6+2^3\cdot4-5=6+8\cdot4-5=6+32-5=38-5=33$. |
2 мин | Учитель формулирует правило: "Если выражение содержит скобки, сначала выполняем действия в скобках. Затем вычисляем степени. После этого выполняем умножение и деление слева направо, а затем сложение и вычитание слева направо. Запишите алгоритм и обведите цветом шаг, на котором чаще всего ошибаются." | Записывают правило и алгоритм в тетрадь, выделяют цветом возведение в степень и проверяют запись по экрану. |
Запись в тетрадях
1. Действия в скобках. 2. Возведение в степень. 3. Умножение и деление слева направо. 4. Сложение и вычитание слева направо. При каждом действии записываем промежуточный результат.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило открыто и записано в виде алгоритма. Теперь проверим его на примерах: сначала вместе проговорим каждый шаг, а затем попробуем действовать самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через пошаговое решение и объяснение порядка действий партнёру.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с выражениями $3^2+18:3$, $(5+1)^2-4\cdot3$ и $20-2^3\cdot2$. "Работаем по ролям: первый ученик называет порядок действий, второй записывает. Затем поменяйтесь ролями. Нельзя сообщать только ответ — необходимо объяснить, почему действие выполняется первым." | В парах расставляют номера действий, проговаривают алгоритм и записывают промежуточные результаты. |
2 мин | Учитель приглашает представителей двух пар к доске: "Покажите решение выражения $(5+1)^2-4\cdot3$. Остальные проверяют не только ответ, но и порядок шагов. Если заметили отличие, сформулируйте вопрос, а не просто скажите «неправильно»." | Один ученик записывает решение: $(5+1)^2-4\cdot3=6^2-12=36-12=24$. Остальные сверяют шаги, задают вопросы и объясняют: "Сначала скобки, затем степень, затем умножение, затем вычитание". |
2 мин | Учитель проводит короткую игру «Найди ошибку» и показывает запись $20-2^3\cdot2=18^3\cdot2=18^6$. "На каком шаге нарушен алгоритм? Исправьте только ошибочную строку и объясните причину." | Находят ошибку: сначала ошибочно выполнили вычитание. Исправляют: $20-2^3\cdot2=20-8\cdot2=20-16=4$. |
Эталон решения
Для выражения $(5+1)^2-4\cdot3$: 1) выполняем действие в скобках: $5+1=6$; 2) вычисляем степень: $6^2=36$; 3) выполняем умножение: $4\cdot3=12$; 4) выполняем вычитание: $36-12=24$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что правильный ответ получается благодаря последовательной записи. Теперь каждый проверит, может ли применить алгоритм без помощи партнёра и объяснения учителя."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и сформировать навык самоконтроля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней и объясняет выбор: "Обязательный уровень выполняют все. Если справились раньше, можно выбрать повышенный или дополнительный уровень. Перед началом подчеркните в каждом выражении действие, которое выполните первым." | Выбирают карточку, читают критерии, подчёркивают первое действие и планируют решение. |
5 мин | Учитель предлагает задания базового уровня: $4^2+18:3$; $(7-2)^2+6$; $30-3^2\cdot2$. Повышенный уровень: $2\cdot(3^2+4)-5$. Дополнительный: $48:(2^2+4)+3^2$. Учитель наблюдает за записью промежуточных результатов и задаёт индивидуальные вопросы: "Какую ступень действий ты сейчас применяешь? Что проверишь после этого шага?" | Индивидуально решают выбранные задания, записывают все промежуточные результаты и отмечают место возможной проверки. |
2 мин | Учитель выводит эталон: $4^2+18:3=16+6=22$; $(7-2)^2+6=25+6=31$; $30-3^2\cdot2=30-18=12$; $2\cdot(3^2+4)-5=2\cdot13-5=21$; $48:(2^2+4)+3^2=48:8+9=15$. "Сверьте каждую строку, а не только итог. Ошибку обозначьте карандашом и исправьте рядом." | Сверяют решение по шагам, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных заданий. |
2 мин | Учитель проводит самопроверку по листу критериев: "Поставьте плюс, если определили порядок действий, записали промежуточные результаты и получили верные ответы. Если один критерий не выполнен, запишите, какой именно шаг нужно повторить." | Заполняют лист самопроверки, формулируют индивидуальное затруднение: например, "ошибся при выборе первого действия» или «не выполнил деление слева направо". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие шаги уже стали уверенными, а какие требуют внимания. Сейчас свяжем правило с жизненной ситуацией и убедимся, что порядок действий помогает получать осмысленный результат."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в контексте, осознать результат обучения и сформулировать домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Для оформления праздника купили 3 упаковки по 4 набора, в каждом наборе по $2^2$ наклейки, а затем добавили ещё 10 наклеек. Составьте выражение и найдите количество наклеек." Учитель просит сначала назвать порядок действий, а затем вычислить. | Составляют выражение $3\cdot4\cdot2^2+10$, называют порядок: степень, умножения слева направо, сложение. Вычисляют: $3\cdot4\cdot4+10=48+10=58$. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёный стикер, если можете самостоятельно решить выражение со степенью; жёлтый — если правило понимаете, но иногда ошибаетесь; красный — если нужна помощь. Запишите рядом один вопрос или шаг, который необходимо повторить." | Выбирают цвет стикера, записывают вопрос или затруднение, прикрепляют стикер на доску под соответствующей колонкой. |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что выполняем раньше: степень или умножение? Как действуем при умножении и делении одной ступени? Что изменяют скобки? Назовите четыре шага алгоритма." После ответов сообщает домашнее задание. | Отвечают: "Сначала степень"; "слева направо"; "скобки задают первоочерёдность"; воспроизводят алгоритм и записывают домашнее задание. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания обязательного уровня или не менее четырёх заданий повышенного уровня; порядок действий обозначен, промежуточные результаты записаны, объяснение алгоритма полное.
- «4» — верно решены не менее двух заданий обязательного уровня, допущена одна вычислительная ошибка при сохранении правильного порядка действий; запись в целом аккуратная.
- «3» — верно решено одно задание обязательного уровня, порядок действий определён частично; ученик исправляет ошибку после подсказки по алгоритму.
- Оценка может быть повышена на один балл при самостоятельном выполнении дополнительного задания с полным объяснением каждого шага.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о месте степени в порядке действий? | Выявление осознания ключевого правила урока. |
Какой шаг алгоритма вы выполняете уверенно, а какой нужно повторить? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Почему нельзя сразу выполнять сложение и вычитание, если в выражении есть степень и умножение? | Проверка понимания причинно-следственной связи, а не механического запоминания. |
Как вы проверяли правильность своего решения? | Формирование навыка самоконтроля и оценки собственной деятельности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы установили, что выражение нужно читать как алгоритм: сначала скобки, затем степени, потом умножение и деление, а после этого сложение и вычитание. Самая распространённая ошибка — начать считать слева направо, не учитывая ступени действий. Проверяйте не только конечный ответ, но и каждую промежуточную строку. На следующем уроке мы продолжим вычислять выражения и будем учиться составлять их по условиям задач."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 выражения со степенями, скобками и действиями разных ступеней, аналогичных разобранным на уроке. В каждом выражении проставить порядок действий и записать промежуточные результаты. | Закрепить основной алгоритм; при проверке смотреть на правильность порядка действий и полноту записи. |
Средний (повышающий) | Решить 5 выражений, включающих несколько действий умножения и деления, а также выражения со скобками. Для двух примеров письменно объяснить выбор первого действия. | Развить умение применять правило в более сложной структуре; проверить аргументацию и вычислительную точность. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных выражения со степенями: одно со значением 24, другое со значением 50. Записать подробное решение и придумать одну ошибочную запись, которую должен исправить одноклассник. | Развить умение создавать математические выражения и анализировать типичные ошибки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что выполняется раньше — $3^2$ или $3\cdot2$? Каков порядок действий в выражении $(4+2)^2-3\cdot5$? Почему промежуточные результаты нужно записывать отдельными строками?»
