Делители числа
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться находить делители натурального числа, проверять делимость делением и составлять полный набор делителей на примерах из рабочего листа.
- Сформировать представление о делителе числа и научить использовать связь деления без остатка и умножения.
- Научить находить пары делителей и определять все натуральные делители числа.
- Развивать умение рассуждать, сравнивать, работать с таблицей и координатной плоскостью.
- Воспитывать аккуратность вычислений, готовность проверять ответ и сотрудничать при выполнении заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску разных способов проверки делимости чисел.
- Понимают значение аккуратности и самопроверки при выполнении математических действий.
- Осознают связь математического знания с практическими ситуациями, например распределением предметов поровну.
- Развивают уверенность в собственных силах при решении задач постепенно усложняющегося уровня.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность поиска делителей.
- Извлекают информацию из таблицы, текста, равенств и координатной плоскости.
- Сотрудничают в парах, объясняют способ проверки и аргументируют выбор ответа.
- Осуществляют самопроверку по эталону, находят и исправляют вычислительные ошибки.
Предметные
- Знать определение делителя натурального числа и основные свойства делителей.
- Уметь проверять, является ли одно число делителем другого, с помощью деления и умножения.
- Уметь находить пары делителей и полный набор натуральных делителей числа.
- Уметь решать задачи на равное распределение предметов и определять варианты количества предметов в наборе.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения делителей для решения практических задач.
- Проявляют ответственность за индивидуальный результат и результат работы пары.
- Формируют положительное отношение к проверке и исправлению собственных ошибок.
- Развивают учебную мотивацию через поиск закономерностей в числах.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока: научиться находить и проверять делители.
- Планируют поиск делителей через перебор возможных делителей и составление пар.
- Контролируют правильность деления и соответствие ответа условию.
- Оценивают результат по критериям и корректируют решение после самопроверки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак делителя: частное является натуральным числом.
- Устанавливают связь между делением без остатка и произведением.
- Классифицируют числа по наличию общей особенности и находят пары делителей.
- Моделируют пары делителей числа 24 точками на координатной плоскости.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный ответ с математическим обоснованием.
- Обсуждают решение в паре и сравнивают разные способы проверки.
- Задают уточняющие вопросы и корректно принимают замечания.
- Распределяют действия при совместном выполнении заданий рабочего листа.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы «Делители числа» по одному экземпляру на каждого ученика и подготовить 2–3 запасных.
- Подготовить карточки для актуализации: пары чисел и короткие примеры на деление без остатка.
- Вывести на доску определение делителя, запись $a:b=c$ и равенство $a=b\cdot c$.
- Подготовить координатную сетку для задания о парах делителей числа 24 — по одной на пару.
- Распечатать карточки трёх уровней для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Подготовить карточку-эталон для самопроверки и зелёные/жёлтые/красные сигнальные карточки.
- Подготовить маркеры, стикеры, линейки и доску или интерактивную панель.
- Разделить задания рабочего листа на блоки: понятие и свойства, проверка делимости, пары и полный набор делителей, практическая задача.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практический смысл делителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске изображение 28 карандашей. «Здравствуйте, ребята. Представьте, что эти 28 карандашей нужно разложить поровну в одинаковые наборы. Можно ли сделать наборы по 2, по 3, по 4 карандаша? Как быстро проверить каждый вариант?» | Рассматривают изображение, предлагают варианты и отвечают: «Нужно разделить 28 на предполагаемое число без остатка». |
2 мин | Учитель объявляет тему. «Сегодня мы узнаем, как называются числа, на которые можно разделить данное число без остатка. В конце урока вы сможете уверенно выполнить задания рабочего листа: проверить делимость, найти пары и полный набор делителей». | Записывают тему «Делители числа», формулируют ожидаемый результат: «Научиться находить и проверять делители». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что равное распределение связано с делением без остатка. Теперь вспомним, что мы уже знаем о делении и умножении».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать деление без остатка, умножение и понятие натурального числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». «Выполните устно примеры $24:6$, $35:5$, $42:7$, $48:8$. В каждой паре обсудите, что общего у этих примеров. Через минуту назовите признак». | Решают примеры, обсуждают в парах и формулируют: «Деление выполняется без остатка, частное является натуральным числом». |
2 мин | Учитель записывает на доске равенства $24=6\cdot4$ и $35=5\cdot7$. «Как связаны деление и умножение? Что можно восстановить, если известно делимое и делитель?» | Объясняют связь: «Делимое равно произведению делителя и частного», приводят собственные равенства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что деление без остатка можно заменить умножением. Это поможет нам открыть новое математическое понятие».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно определить способ нахождения делителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задание №1 рабочего листа. «Соедините число с одним из его делителей. Объясните, почему число 6 подходит к 24, а число 5 — нет. Не называйте только ответ, используйте равенство или деление». | Выполняют соединение, объясняют: «$24:6=4$, значит, 6 — делитель 24; $24:5$ не даёт натурального частного, значит, 5 не является делителем 24». |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Как найти не один, а все делители числа? Можно ли действовать только наугад? Составьте план». | Предлагают план: «Перебирать числа, делить данное число на них, фиксировать деление без остатка и составлять пары». Записывают цель урока. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выяснили признак делителя и поставили задачу найти полный набор делителей. Теперь выведем правило и проверим его на числах рабочего листа».
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: сформировать определение делителя, основные свойства и алгоритм поиска всех делителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель организует эвристическую беседу. «Рассмотрим число 18. Выполним деление на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 и 18. Какие частные будут натуральными? Число, на которое натуральное число делится без остатка, называют его делителем. Запишите определение». | Вычисляют частные, выделяют $1$, $2$, $3$, $6$, $9$, $18$, записывают определение: «Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка». |
3 мин | Учитель показывает схему «Число — делитель — частное»: $18=1\cdot18$, $18=2\cdot9$, $18=3\cdot6$. «Что замечаете? Какие пары получились? Почему 1 является делителем любого натурального числа? Почему само число является своим делителем?» | Называют пары делителей $(1;18)$, $(2;9)$, $(3;6)$, объясняют свойства: «$n:1=n$», «$n:n=1$». |
3 мин | Учитель демонстрирует координатную сетку. «Для числа 24 отметим пары координат, произведение которых равно 24: $(1;24)$, $(2;12)$, $(3;8)$, $(4;6)$. В задании №3 нужно показать именно такие пары». Затем разбирает задание №4: полный набор делителей 18. | Наносят точки на сетку, проверяют произведение координат, выбирают в задании №4 вариант «1, 2, 3, 6, 9, 18» и объясняют, почему 4 пропущено. |
Запись в тетрадях
Делитель натурального числа — натуральное число, на которое данное число делится без остатка. Если $a:b=c$, то $b$ — делитель $a$, а $c$ — частное. У числа $n$ делителями являются $1$ и $n$. Делители удобно искать парами: $n=1\cdot n$, $n=2\cdot(n:2)$ и так далее.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть определение, свойства и алгоритм. Перейдём к заданиям, где нужно применять их сначала вместе, а затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление по рабочему листу (8 мин)
Цель этапа: отработать проверку делимости, заполнение свойств и поиск пар делителей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задание №2. «Вставьте пропуски: само число является своим ...; если 24 делится на 6, то 6 — ... числа 24; 0 не может быть ... натурального числа; у 15 есть делители 1, 3, 5 и ... . Обоснуйте каждый ответ». | Заполняют: «делителем», «делителем», «делителем», «15»; проговаривают свойства. |
3 мин | Учитель предлагает задания №5 и №9. «Для каждого утверждения сначала выполните деление, затем запишите “истина” или “ложь”. Проверяйте только, является ли указанное число делителем данного числа». | Решают: $20:4=5$ — истина; $30:7$ не является натуральным частным — ложь; $45:5=9$ — истина; $36:8$ не является натуральным частным — ложь. В №9 получают четыре натуральных частных. |
2 мин | Учитель предлагает задание №15. «Заполните пропуски через равенство произведения: $2\cdot□=18$, $3\cdot□=21$, $4\cdot□=32$, $5\cdot□=45$, $6\cdot□=54$. Объясните связь с делителями». | Заполняют: 9, 7, 8, 9, 9; объясняют, что каждый найденный множитель является делителем соответствующего числа. |
Эталон решения
Для $2\cdot□=18$ неизвестный множитель равен $18:2=9$, поэтому $2\cdot9=18$. Аналогично: $21:3=7$, $32:4=8$, $45:5=9$, $54:6=9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы проверили делители двумя способами — делением и умножением. Теперь каждый попробует самостоятельно собрать полный набор делителей и применить правило в практической задаче».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение находить делители и использовать их в задаче.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает выполнить в рабочем листе задания №4, №6, №8 и №10. «Работайте самостоятельно. В №6 найдите все делители 16 и посчитайте их. В №8 расположите делители 36 по возрастанию. В №10 найдите все варианты количества карандашей в одном наборе, учитывая условие “больше одного карандаша”». | Выбирают правильный набор делителей 18; находят делители 16: 1, 2, 4, 8, 16, всего 5; упорядочивают делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; для 28 называют 2, 4, 7, 14 и 28 карандашей в наборе. |
2 мин | Учитель выдаёт эталон. «Сверьте не только ответы, но и способ. Если ответ отличается, найдите первое место, где нарушилось деление без остатка». | Проверяют решения, подчёркивают ошибки зелёной ручкой, исправляют вычисления. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор». «Покажите зелёную карточку, если вы умеете найти полный набор делителей; жёлтую — если нужна ещё тренировка; красную — если пока не понимаете алгоритм». | Показывают карточки, формулируют индивидуальное затруднение: «трудно не пропустить делитель», «ошибаюсь при проверке делением». |
Эталон решения
Для числа 16 проверяем делители по возрастанию: $16:1=16$, $16:2=8$, $16:3$ не является натуральным числом, $16:4=4$, $16:5$, $16:6$, $16:7$ — с остатком, $16:8=2$, $16:16=1$. Полный набор: 1, 2, 4, 8, 16; всего 5 делителей. Для 28 число карандашей в одном наборе должно быть делителем 28 и больше 1: 2, 4, 7, 14, 28.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы самостоятельно нашли делители и применили их к распределению карандашей. Осталось обобщить правило и проверить, сможете ли вы объяснить его своими словами».
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить способы нахождения делителей, оценить результат и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Закончите фразу». «Делитель числа — это ... . Чтобы проверить, является ли число делителем, нужно ... . Чтобы найти все делители, полезно ...». | Формулируют: «Делитель — число, на которое делят без остатка»; «нужно выполнить деление»; «искать пары делителей и проверять произведения». |
2 мин | Учитель проводит короткий «Билет на выход». «Запишите полный набор делителей числа 12 и одно равенство, подтверждающее, что 3 является делителем 12». | Записывают: 1, 2, 3, 4, 6, 12; например, $12:3=4$ или $12=3\cdot4$. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание. «Выберите обязательный уровень; желающие выполняют повышающий или дополнительный. В каждом решении показывайте деление или произведение, а не только ответ». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, оценивают свою готовность по листу самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы научились находить делители, составлять их пары и применять их при равном распределении. На следующем уроке продолжим использовать делимость при решении задач и исследовании чисел».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены не менее 13 из 15 заданий рабочего листа, правильно составлены пары делителей, приведены проверки делением или умножением, исправления выполнены аккуратно.
- «4» — верно выполнены 10–12 заданий, допущены не более двух ошибок в вычислениях или записи полного набора делителей, ход рассуждения в основном понятен.
- «3» — верно выполнены 7–9 заданий, ученик понимает признак делителя, но допускает ошибки при переборе делителей, расположении чисел или решении практической задачи.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о делителе числа? | Проверка осознания определения и основного признака делителя. |
Как вы проверяете, является ли число делителем другого числа? | Выявление понимания алгоритма проверки делением и умножением. |
Как не пропустить делители при поиске полного набора? | Выявление точек затруднения при системном переборе и составлении пар. |
Какое задание рабочего листа оказалось самым сложным и почему? | Получение субъективной оценки освоения темы и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы выяснили, что делитель — это число, на которое данное число делится без остатка. Вы научились проверять делимость, находить пары и полный набор делителей, а также применять знания к распределению предметов поровну. Помните: самая частая ошибка — назвать делитель, не проверив деление и не убедившись, что частное натуральное. Дома закрепите алгоритм на новых числах. На следующем уроке мы продолжим исследовать свойства чисел и делимости».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 заданий на проверку делимости чисел делением без остатка и найти полный набор натуральных делителей для трёх чисел от 12 до 36. | Закрепляет определение делителя и алгоритм проверки; при проверке смотреть на наличие полного набора и правильность частных. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на пары делителей и равное распределение предметов, аналогичные заданиям о числах 24, 28 и 36; для каждого варианта записать подтверждающее равенство. | Формирует умение находить делители системно и применять их в практическом контексте. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о равном распределении предметов с числом от 40 до 60, решить её, найти все делители числа и изобразить пары делителей в виде точек на координатной плоскости. | Развивает создание математической модели, аргументацию и перенос способа в новую ситуацию. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют делителем числа? Как проверить делитель делением? Какие два числа всегда являются делителями натурального числа? Почему при поиске всех делителей удобно составлять пары?»
