Деление натуральных чисел. Деление с остатком и проверка результата
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся научатся выполнять деление натуральных чисел с остатком, записывать результат в виде $a=b\cdot q+r$, где $r<b$, и проверять правильность решения обратным действием.
- Научить различать деление нацело и деление с остатком, находить частное и остаток.
- Сформировать умение применять алгоритм деления с остатком в учебных и жизненных задачах.
- Развивать математическую речь, умение объяснять ход решения, сравнивать полученный остаток с делителем и обнаруживать ошибки.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за результат и готовность сотрудничать при работе в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность деления с остатком при распределении предметов и планировании количества групп.
- Проявляют интерес к поиску разных способов проверки вычислений.
- Понимают значение аккуратной записи и самоконтроля при выполнении математических действий.
- Принимают учебную задачу и стремятся довести решение до обоснованного ответа.
Метапредметные
- Формулируют цель урока на основе возникшего затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия задачи, схемы и таблицы, представляют результат в математической записи.
- Сотрудничают в парах, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор частного и остатка.
- Осуществляют самопроверку по алгоритму и корректируют обнаруженные ошибки.
Предметные
- Знать смысл деления с остатком и названия компонентов записи: делимое, делитель, неполное частное, остаток.
- Уметь выполнять деление натуральных чисел с остатком и записывать результат в виде $a=b\cdot q+r$.
- Уметь проверять деление с остатком равенством $a=b\cdot q+r$.
- Понимать, что остаток всегда меньше делителя: $0\leq r<b$.
- Уметь решать простые текстовые задачи на деление с остатком.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают необходимость проверки вычислительного результата в практической ситуации.
- Формируют ответственное отношение к точности математической записи.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки.
- Оценивают собственный вклад в парную работу.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель: научиться делить с остатком и проверять результат.
- Планируют решение по предложенному алгоритму.
- Сравнивают полученный остаток с делителем и исправляют неверную запись.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют затруднение в листе самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют делимое, делитель, частное и остаток в математической записи.
- Устанавливают связь между делением, умножением и вычитанием.
- Моделируют задачу с помощью групп предметов и схемы.
- Анализируют ошибочные решения и формулируют правило о величине остатка.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру выбор неполного частного и остатка.
- Слушают ответы одноклассников и задают вопросы по существу.
- Распределяют роли при выполнении парного задания.
- Аргументированно сообщают классу результат совместной работы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске со схемой деления с остатком и формулой $a=b\cdot q+r$.
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней сложности — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самопроверки с четырьмя примерами и полем для вывода.
- Подготовить 30–40 счётных палочек, фишек или бумажных кружков для моделирования распределения предметов.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на ученика.
- Вывести на доску памятку: 1) найти неполное частное; 2) умножить делитель на частное; 3) вычесть; 4) сравнить остаток с делителем; 5) выполнить проверку.
- Подготовить таймер для коротких парных заданий и магнитные карточки с числами.
- Оставить на доске место для записи темы, образца $17:5=3$ (ост. 2) и проверки $5\cdot3+2=17$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой и показать практическую необходимость деления с остатком.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проводит приём «Готовность к открытию»: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, тетрадь, ручку и линейку. Сегодня нам понадобится не только умение считать, но и внимательность: мы будем проверять каждый результат. Покажите большой палец, если всё готово к работе." | Проверяют принадлежности, показывают сигнал готовности, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране 17 фишек и предлагает распределить их поровну между 5 детьми: "Представьте, что пять участников команды получают одинаковое количество жетонов. Раздайте 17 жетонов поровну. Получится ли раздать всё без остатка? Что обозначают оставшиеся жетоны?" | Мысленно или с помощью фишек распределяют 17 предметов, отвечают: "Каждый получит 3, останутся 2"; формулируют: "2 — это остаток". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что натуральные числа не всегда делятся нацело. Сегодня мы научимся записывать такой результат точно и проверять, не ошиблись ли мы."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить смысл деления, связь деления с умножением и понятия компонентов действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит устную разминку: "Вычислите 24:6, 35:5 и 42:7. Какое действие помогает быстро проверить деление? Назовите компоненты действия 36:4=9. Почему результат 9 называют частным?" | Выполняют вычисления, отвечают: "4, 7, 6"; называют умножение проверочным действием; указывают: "36 — делимое, 4 — делитель, 9 — частное". |
3 мин | Учитель раздаёт парам карточки с выражениями $18:3$, $29:4$, $40:8$ и просит применить приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала каждый определите, делится ли число нацело. Затем сравните ответы с соседом и объясните, как вы это поняли. Одну пару попрошу объяснить решение для выражения $29:4$." | Индивидуально определяют результаты, затем обсуждают в парах. Сообщают: "$18:3=6$, $40:8=5$, а 29 нельзя разделить на 4 без остатка; 4 умножить на 7 — 28, останется 1". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили деление нацело и увидели выражение, для которого обычного частного недостаточно. Теперь выясним, как точно описать такой результат."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: $23:5=?$ и предлагает несколько вариантов: "Один ученик записал 4, другой — 4 и 3, третий — 5. Какой ответ точнее? Можно ли записать только 4, если часть предметов осталась? Что нам нужно уметь указывать в ответе?" | Сравнивают варианты, объясняют: "4 — это количество полных групп, но нужно указать, что останется 3"; отвергают ответ 5, потому что пяти полных групп не получится. |
2 мин | Учитель организует приём «Лестница цели»: "Сформулируйте цель урока по началу фразы: «Сегодня я научусь…». Какие шаги нам понадобятся, чтобы достичь цели?" Учитель фиксирует предложения на доске. | Формулируют цель: "Научиться делить с остатком и проверять результат"; предлагают шаги: найти частное, найти остаток, проверить запись. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: при делении не всегда получается целое частное. Наша задача — открыть понятный алгоритм и убедиться, что он работает на разных примерах."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм деления с остатком и правило о величине остатка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает схему с 23 фишками и 5 кругами-группами: "Распределим 23 фишки по 5 в каждой группе. Сколько полных групп составили? Сколько фишек осталось? Запишем: $23:5=4$ (ост. 3). Число 4 — неполное частное, 3 — остаток. Почему остаток не может быть равен 5 или больше 5?" | Составляют 4 полные группы по 5, выделяют 3 оставшиеся фишки. Отвечают: "Если бы осталось 5, можно было бы составить ещё одну полную группу; значит, остаток должен быть меньше делителя". |
3 мин | Учитель записывает на доске общий вид: $a=b\cdot q+r$, где $a$ — делимое, $b$ — делитель, $q$ — неполное частное, $r$ — остаток. "Посмотрите на запись $23=5\cdot4+3$. Она показывает, как проверить деление. Назовите в ней каждое число и сформулируйте правило." | Переписывают схему, называют компоненты: 23 — делимое, 5 — делитель, 4 — неполное частное, 3 — остаток. Формулируют: "Остаток меньше делителя". |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Выполним деление $38:6$. Наибольшее число, кратное 6 и не превышающее 38, — 36, поэтому неполное частное 6. Вычтем: $38-36=2$. Запишем $38:6=6$ (ост. 2). Теперь проверим: $6\cdot6+2=38$. Результат верен. Какой шаг алгоритма нельзя пропустить?" | Записывают решение по шагам, отвечают: "Нельзя пропустить проверку и сравнение остатка с делителем". |
Запись в тетрадях
Записывают: $a=b\cdot q+r$, $0\leq r<b$. Алгоритм: найти наибольшее произведение делителя на натуральное число, не превышающее делимое; вычесть это произведение из делимого; записать частное и остаток; проверить равенство $a=b\cdot q+r$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не просто ответ, а полную запись результата и правило его проверки. Сейчас применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм деления с остатком с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с выражениями $31:4$, $47:6$, $52:7$. "Работаем по алгоритму. Первый ученик называет произведение, второй записывает решение, затем поменяйтесь ролями. Обязательно выполните проверку хотя бы для одного примера. Через три минуты сравним ответы." | В парах находят неполное частное и остаток, проговаривают действия: "$31:4=7$ (ост. 3), $47:6=7$ (ост. 5), $52:7=7$ (ост. 3)"; проверяют один пример. |
2 мин | Учитель предлагает паре объяснить решение $47:6$: "Почему вы выбрали частное 7, а не 8? Как проверили остаток?" Учитель фиксирует верное рассуждение на доске. | Представляют решение: "$6\cdot7=42$, а $6\cdot8=48$, это больше 47; $47-42=5$, остаток 5 меньше 6". |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку по критериям: "Поставьте рядом с каждым решением знак плюс, если указаны частное и остаток, остаток меньше делителя и выполнена проверка. Одну неточность исправьте карандашом." | Сверяют записи с памяткой, находят и исправляют ошибки, формулируют замечание партнёру: "Нужно дописать проверку" или "Остаток записан неверно". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм уже работает в знакомых примерах. Теперь каждый проверит себя без помощи партнёра и покажет, насколько уверенно умеет применять новое правило."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и умение объяснять результат.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы трёх уровней. "Выполните обязательные задания: $64:9$, $75:8$, $90:7$. Для каждого примера запишите частное и остаток, затем выполните проверку. Если справились, выберите дополнительную задачу: в коробки по 6 карандашей разложили 41 карандаш. Сколько полных коробок получится и сколько карандашей останется?" | Самостоятельно решают примеры и задачу. Записывают: $64:9=7$ (ост. 1), $75:8=9$ (ост. 3), $90:7=12$ (ост. 6). Для задачи формулируют ответ: "6 полных коробок и 5 карандашей останутся". |
2 мин | Учитель выводит эталон: "$64=9\cdot7+1$; $75=8\cdot9+3$; $90=7\cdot12+6$. Для задачи: $41=6\cdot6+5$. Проверьте не только равенство, но и условие $r<b$." | Сверяют каждую строку с эталоном, подчёркивают место ошибки, если она обнаружена, исправляют решение. |
2 мин | Учитель проводит самооценку: "Поставьте в листе один знак: зелёный — всё выполнил без ошибок; жёлтый — одна ошибка, которую исправил; красный — алгоритм пока требует помощи. Запишите, на каком шаге возникло затруднение." | Выбирают цветовой сигнал, фиксируют конкретное затруднение: «нахожу частное», «вычитаю», «проверяю остаток» или «записываю равенство». |
Эталон решения
$64:9$: $9\cdot7=63$, $64-63=1$, значит, $64:9=7$ (ост. 1); проверка: $9\cdot7+1=64$. $75:8$: $8\cdot9=72$, $75-72=3$, значит, $75:8=9$ (ост. 3); проверка: $8\cdot9+3=75$. $90:7$: $7\cdot12=84$, $90-84=6$, значит, $90:7=12$ (ост. 6); проверка: $7\cdot12+6=90$. Во всех случаях остаток меньше делителя.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что результат можно проверить двумя условиями: равенством $a=b\cdot q+r$ и неравенством $r<b$. Осталось связать это правило с реальной задачей и сформулировать общий вывод урока."
Этап 7. Применение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: применить новое знание в жизненном контексте, осознать результат и получить задание для закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает задачу: "Для экскурсии подготовили 58 бутылок воды и укладывают их в коробки по 9 бутылок. Сколько полных коробок заполнят и сколько бутылок останется? Как изменится ответ, если организатору нужно, чтобы вода была у каждого из 58 участников?" | Решают: $58:9=6$ (ост. 4), формулируют: "Заполнят 6 полных коробок, останутся 4 бутылки". Для второго вопроса предлагают: "Понадобится 7 коробок, потому что последняя будет неполной". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите цвет, который описывает вашу уверенность. Затем закончите фразу: «Сегодня я научился…», «Мне нужно потренироваться…»." | Поднимают карточки, формулируют личный результат: "Научился находить остаток и проверять его" или "Нужно потренироваться выбирать неполное частное". |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и контрольные вопросы: "Перед выходом ответьте устно: что называют остатком? Каким он должен быть по отношению к делителю? Как проверить деление с остатком? Запишите выбранный уровень домашнего задания." | Отвечают: "Остаток — часть делимого, оставшаяся после выделения полных групп; он меньше делителя"; записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы научились описывать деление, когда число не делится нацело, и проверять себя по формуле. На следующем уроке будем использовать деление с остатком при решении более сложных текстовых задач."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все три обязательных примера, правильно записаны частное и остаток, выполнены проверки, остатки сравнены с делителями; дополнительная задача решена и оформлена с полным ответом.
- «4» — верно решены два или три примера, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, которую ученик исправил при самопроверке; правило $r<b$ в основном соблюдено.
- «3» — верно решены не менее двух примеров при наличии помощи или исправлений, но допущены ошибки в проверке либо в записи ответа; смысл деления с остатком в целом понятен.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $37:5=7$ (ост. 2)? | Проверка понимания смысла деления с остатком и компонентов записи. |
Как убедиться, что остаток найден правильно? | Выявление освоения проверки по равенству $a=b\cdot q+r$ и условию $r<b$. |
На каком шаге алгоритма вы сегодня затруднились? | Выявление точек затруднения для последующей коррекции. |
Где в жизни может понадобиться деление с остатком? | Осознание практической ценности нового знания и перенос умения в реальный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились делить натуральные числа не только нацело, но и с остатком. Главное правило урока: остаток всегда меньше делителя, а результат можно проверить равенством $a=b\cdot q+r$. Обращайте внимание на типичную ошибку: нельзя записывать только неполное частное и забывать об оставшейся части. На следующем уроке мы продолжим решать задачи, в которых деление с остатком помогает принимать практические решения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 примеров на деление натуральных чисел с остатком с делителями от 2 до 9; для каждого выполнить проверку равенством $a=b\cdot q+r$ и указать, что остаток меньше делителя. | Закрепляет алгоритм и правильную математическую запись; при проверке обратить внимание на частное, остаток и проверку. |
Средний (повышающий) | Решить 3 текстовые задачи на распределение предметов по равным группам и определить количество полных групп и остаток; в одной задаче объяснить, почему требуется ещё одна упаковка или группа. | Формирует математическую грамотность и перенос алгоритма в жизненный контекст; проверить соответствие ответа условию задачи. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить две собственные задачи на деление с остатком с разными делителями, решить их и обменяться с одноклассником для взаимной проверки. | Развивает умение создавать математическую модель и оценивать корректность решения; проверить реалистичность условия, правильность остатка и полного ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют неполным частным? Почему остаток не может быть равен делителю? Как записывается проверка деления с остатком? Что нужно сделать, если в практической задаче получился ненулевой остаток?»
