Применение арифметических свойств умножения натуральных чисел
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока каждый ученик применит переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения для упрощения числовых выражений и решения практических задач, выполнив не менее 3 из 4 заданий базового уровня.
- Закрепить умение формулировать и применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства умножения натуральных чисел.
- Научить выбирать наиболее удобный способ вычисления и объяснять, почему выбранное преобразование сокращает количество действий.
- Развивать умение работать в паре и группе, сравнивать решения, находить и исправлять вычислительные ошибки.
- Воспитывать математическую грамотность, ответственность за общий результат и интерес к поиску рационального способа решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность рационального вычисления в учебных и жизненных ситуациях.
- Проявляют готовность проверять собственный результат и спокойно исправлять ошибку.
- Сохраняют учебную мотивацию через участие в игровой математической задаче.
- Понимают значение сотрудничества и личного вклада в общий результат группы.
Метапредметные
- Сравнивают несколько способов вычисления и выбирают наиболее удобный.
- Планируют последовательность действий при решении выражения и практической задачи.
- Извлекают информацию из условия, таблицы и схемы, переводят её в математическую модель.
- Аргументируют ответ, задают уточняющие вопросы и участвуют в совместной проверке.
- Используют самооценку и взаимопроверку по заранее объявленным критериям.
Предметные
- Знать формулировки переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения натуральных чисел.
- Уметь применять свойства умножения для перестановки множителей и группировки вычислений.
- Уметь раскрывать скобки и выносить общий множитель за скобки в выражениях с натуральными числами.
- Уметь выбирать рациональный способ вычисления выражений и записывать промежуточные преобразования.
- Уметь решать текстовые задачи на умножение, используя распределительное или сочетательное свойство.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться считать быстрее и объяснять выбранный способ.
- Проявляют положительное отношение к математике через поиск более удобного решения.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Соблюдают доброжелательность при обсуждении разных вариантов решения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного задания.
- Планируют порядок преобразований числового выражения.
- Проверяют вычисления обратным действием или сравнением с решением партнёра.
- Находят ошибку, объясняют её причину и вносят коррекцию.
- Оценивают результат по критериям и определяют следующий шаг для улучшения.
Познавательные УУД
- Воспроизводят определения свойств умножения и соотносят их с записью выражения.
- Выделяют общий множитель и группируют множители для упрощения вычислений.
- Сравнивают способы решения и устанавливают, какой из них рациональнее.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью числового выражения.
- Работают с информацией на карточке, в таблице и на экране.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный ответ с использованием математических терминов.
- Распределяют роли в группе: вычислитель, оформитель, докладчик, контролёр.
- Слушают решение другого ученика и задают вопрос о выбранном свойстве.
- Согласуют общий вариант решения и аргументируют его перед классом.
- Корректно принимают замечания и предлагают способ исправления ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулировками трёх свойств умножения, условными обозначениями и двумя образцами преобразований.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика для самостоятельной работы и по одной на каждую группу.
- Подготовить игровые жетоны или магнитные баллы для команд «Рационализаторы» и «Вычислители».
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для быстрой самооценки.
- Распечатать лист самооценки по четырём критериям — по одному на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ролями для групповой работы: «вычислитель», «оформитель», «докладчик», «контролёр».
- Разместить на доске памятку: $a(b+c)=ab+ac$ и $ab+ac=a(b+c)$, а также алгоритм выбора удобного способа вычисления.
- Подготовить таймер, проектор или интерактивную доску, маркеры и магнитные жетоны.
- Подобрать межпредметный контекст: расчёт количества материалов для оформления школьной выставки и распределение наборов по столам.
- Освободить проход между рядами для короткой физкультминутки с математическими командами.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивационная игра «Математический маршрут» (3 мин)
Цель этапа: организовать класс, создать положительный настрой и включить учащихся в повторение свойств умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы отправимся по математическому маршруту и будем искать самые короткие пути к ответу. Проверьте, пожалуйста, тетрадь, ручку и линейку. На доске вы видите три остановки: «Переставь», «Сгруппируй», «Разложи». В конце урока мы должны пройти все остановки и объяснить, какое свойство помогло на каждой из них." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, читают названия остановок и предполагают: «Это переместительное, сочетательное и распределительное свойства». |
2 мин | Учитель показывает выражение $25\cdot4$ и говорит: "Не выполняйте вычисление столбиком. За 20 секунд найдите способ получить ответ устно. Подумайте, какое свойство помогает заметить удобную пару чисел. Запишите выражение и ответ." После ответов учитель начисляет первый жетон команде, которая объяснила способ. | Индивидуально находят способ $25\cdot4=100$, затем сравнивают записи в парах и формулируют: «Мы использовали удобное сочетание множителей; произведение равно 100». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы будем не просто получать ответы, а доказывать, почему выбранный способ удобен. Сначала вспомним свойства, затем применим их в игре, в задачах и в самостоятельной работе."
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Светофор» (6 мин)
Цель этапа: актуализировать формулировки свойств умножения и выявить затруднения перед практической работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске три записи: $a\cdot b=b\cdot a$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$, $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$. "Поднимите зелёную карточку, если узнаёте свойство, жёлтую — если помните смысл, но сомневаетесь в названии, красную — если нужна подсказка. Сейчас по очереди назовите каждое свойство и приведите числовой пример." | Поднимают сигнальные карточки, называют: «переместительное свойство», «сочетательное свойство», «распределительное свойство». Приводят примеры: $3\cdot5=5\cdot3$; $(2\cdot5)\cdot4=2\cdot(5\cdot4)$; $6\cdot(10+2)=6\cdot10+6\cdot2$. |
3 мин | Учитель проводит фронтальную игру «Верю — не верю»: "Если утверждение верное, покажите большой палец вверх и объясните. Если неверное, исправьте его. Первое: при перестановке множителей произведение меняется. Второе: распределительное свойство позволяет умножить число на сумму. Третье: в равенстве $(4\cdot3)\cdot5=4\cdot(3\cdot5)$ изменилось значение произведения." | Определяют истинность утверждений. Отвечают: «Первое неверно: произведение не меняется»; «Второе верно»; «Третье неверно: изменился порядок группировки, но не значение». |
Запись в тетрадях
- Переместительное свойство: $a\cdot b=b\cdot a$.
- Сочетательное свойство: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$.
- Распределительное свойство: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили названия и смысл свойств. Но пока не ответили на главный вопрос: как быстро понять, какое свойство выбрать в конкретном выражении? Сейчас создадим алгоритм выбора."
Этап 3. Проблемный диалог и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: через сравнение способов вычисления сформулировать алгоритм рационального применения свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске выражение $25\cdot37\cdot4$ и говорит: "Представьте, что вы считаете количество деталей в трёх одинаковых коробках. Первый способ — умножать слева направо. Второй — сначала найти удобную пару. Какой способ требует меньше усилий? Почему? Какое свойство позволяет переставить множители, а какое — объединить их?" Учитель принимает два решения и не сообщает ответ заранее. | Сначала предлагают вычислять слева направо, затем замечают удобную пару: $25\cdot4=100$. Объясняют: «Переставительное свойство позволяет поставить 4 рядом с 25, а сочетательное — сгруппировать их». Получают $25\cdot37\cdot4=(25\cdot4)\cdot37=3700$. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "В выражении $7\cdot98$ нет двух очевидных круглых множителей. Как превратить 98 в удобную сумму? Можно ли заменить один сложный множитель суммой более простых? Сформулируйте план сегодняшней работы." | Предлагают $98=100-2$ и способ $7\cdot98=7\cdot(100-2)$. Формулируют цель: «Научиться выбирать свойство и упрощать вычисления». Записывают план: «узнать удобный способ, потренироваться в паре, решить задачу, проверить себя». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: одно и то же выражение можно считать по-разному, но математически грамотный человек выбирает краткий и понятный путь. Переходим к тренировке, где каждый сможет объяснить свой выбор."
Этап 4. Групповая работа «Мастерская рационализаторов» (9 мин)
Цель этапа: закрепить применение свойств умножения в выражениях разного уровня сложности через групповое сотрудничество и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель делит класс на группы по 4 человека и раздаёт роли и карточки. "В каждой группе есть вычислитель, оформитель, докладчик и контролёр. Ваша задача — не только получить ответы, но и записать название свойства рядом с каждым преобразованием. Базовая карточка обязательна для всех, карточка повышенного уровня — по выбору группы." | Распределяют роли, читают инструкцию и договариваются о порядке работы. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: вычислить удобным способом $4\cdot25\cdot7$, $6\cdot(30+5)$, $8\cdot99$. Повышенный уровень: упростить $13\cdot27+13\cdot73$ и $48\cdot25\cdot2$. "Обсуждайте каждую запись. Контролёр проверяет, названо ли свойство, а докладчик готовит объяснение одного примера." Учитель обходит группы, задаёт вопросы: "Почему вы выбрали именно это свойство? Можно ли решить короче?" | Вычислитель выполняет расчёты, оформитель записывает преобразования, контролёр проверяет названия свойств, докладчик готовит сообщение. Группы получают: $4\cdot25\cdot7=700$; $6\cdot35=210$; $8\cdot99=792$; $13\cdot27+13\cdot73=1300$; $48\cdot25\cdot2=2400$. |
3 мин | Учитель организует представление решений: "Каждая группа представит один пример по схеме: выражение — преобразование — свойство — ответ. Остальные показывают зелёную карточку, если согласны, и жёлтую, если хотят задать вопрос." Учитель корректирует записи и начисляет жетоны за точность и объяснение. | Докладчики представляют решения: «$4\cdot25\cdot7=(4\cdot25)\cdot7=100\cdot7=700$, применили сочетательное свойство»; «$8\cdot99=8\cdot(100-1)=800-8=792$, применили распределительное свойство». Задают вопросы и оценивают решения групп. |
Эталон решения
$13\cdot27+13\cdot73=13\cdot(27+73)=13\cdot100=1300$. Использовано распределительное свойство в обратном направлении: общий множитель $13$ вынесен за скобки. $48\cdot25\cdot2=48\cdot(25\cdot2)=48\cdot50=2400$. Использовано сочетательное свойство, затем выполнено удобное умножение.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Группы показали, что свойства работают не по отдельности, а помогают строить цепочку удобных действий. Теперь немного сменим вид деятельности и проверим, как быстро математические команды помогают удерживать внимание."
Этап 5. Физкультминутка «Математические команды» (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение и повторить признаки свойств умножения в движении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет: "Если я называю переместительное свойство, повернитесь вправо и влево, будто меняете множители местами. Если называю сочетательное — соедините ладони в одну группу. Если распределительное — разведите руки в стороны, будто раскрываете скобки. Выполняем спокойно, без резких движений." | Встают рядом с партами, повторяют движения и проговаривают названия свойств. |
2 мин | Учитель показывает по очереди записи $3\cdot8=8\cdot3$, $(2\cdot5)\cdot4=2\cdot(5\cdot4)$ и $6\cdot(10+3)=6\cdot10+6\cdot3$. "Покажите соответствующее движение и назовите свойство. Кто заметил ошибку в последней записи, поднимите руку." | Показывают нужное движение, называют свойства. В последней записи подтверждают правильность и объясняют, что множитель 6 умножен на каждый член суммы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили свойства и немного размялись. Садимся, открываем тетради: теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли выбирать рациональный способ без подсказки группы."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией и самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение применять свойства умножения в заданиях базового, повышенного и высокого уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор уровня: "На карточке три маршрута. Базовый маршрут обязателен для всех. Если выполняете его уверенно, переходите к повышенному. Продвинутый маршрут выбирают те, кто готов объяснить несколько способов решения. Ошибки не скрываем: после проверки исправляем их по алгоритму." | Выбирают карточку с учётом собственных возможностей, записывают фамилию и начинают работу индивидуально. |
7 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый уровень: вычислить $5\cdot18\cdot2$, $9\cdot(40+6)$, $7\cdot98$. Повышенный уровень: упростить $24\cdot37+24\cdot63$ и $125\cdot16\cdot4$. Продвинутый уровень: предложить два способа вычисления $39\cdot25\cdot4$ и объяснить, какой рациональнее. "Записывайте не только ответ, но и промежуточное преобразование." | Решают индивидуально. Базовый маршрут: $180$, $414$, $686$. Повышенный: $2400$, $8000$. Продвинутый: например, $39\cdot(25\cdot4)=3900$; второй способ — $39\cdot100=3900$. Объясняют преимущество группировки 25 и 4. |
4 мин | Учитель открывает эталон на доске и говорит: "Проверьте каждую строку. За верное преобразование поставьте один знак плюс, за верный ответ — второй. Если есть ошибка, зачеркните только ошибочный шаг и перепишите его рядом. Затем оцените себя цветом: зелёный — могу объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают результаты и отмечают уровень уверенности в листе самооценки. |
Эталон решения
$5\cdot18\cdot2=5\cdot2\cdot18=10\cdot18=180$. $9\cdot(40+6)=9\cdot40+9\cdot6=360+54=414$. $7\cdot98=7\cdot(100-2)=700-14=686$. $24\cdot37+24\cdot63=24\cdot(37+63)=24\cdot100=2400$. $125\cdot16\cdot4=125\cdot(16\cdot4)=125\cdot64=8000$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете применять свойства без групповой подсказки. Осталось перенести математический способ в жизненную ситуацию и доказать, что рациональные вычисления помогают не только на уроке."
Этап 7. Межпредметная практическая задача и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: применить свойства умножения в практической ситуации, обобщить способы решения и провести рефлексию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Для оформления школьной выставки подготовили 8 коробок. В каждой коробке лежат 25 цветных листов и 15 белых листов. Сколько всего листов подготовили? Решите двумя способами: сначала сложите количество листов в коробке, а затем примените распределительное свойство. Какой способ удобнее для объяснения?" | Записывают краткое условие, составляют выражение $8\cdot(25+15)$, получают $320$. Вторым способом считают $8\cdot25+8\cdot15=200+120=320$. Формулируют: «Оба способа дают один результат; первый короче, второй показывает распределительное свойство». |
2 мин | Учитель проводит приём «Билет на выход»: "На маленьком листке ответьте на два вопроса: какое свойство вы сегодня применяли чаще всего и как распознать удобную группировку множителей? Допишите один пример, который теперь можете решить быстрее." | Пишут индивидуальный билет: например, «чаще применял распределительное свойство; ищу круглые числа и общий множитель; $25\cdot4\cdot12=1200$». |
2 мин | Учитель организует рефлексию «Лестница успеха»: "Поставьте себя на одну из ступеней: первая — называю свойства, вторая — применяю с подсказкой, третья — выбираю свойство самостоятельно, четвёртая — объясняю решение другому. Поднимите соответствующую карточку и назовите, что поможет перейти выше." | Отмечают ступень самооценки, формулируют следующий шаг: «потренирую раскрытие скобок», «буду записывать свойство рядом с преобразованием», «проверю группировку множителей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы не просто повторили правила, а использовали их как инструмент выбора. Вы научились видеть удобные множители, раскрывать скобки и выносить общий множитель. Запишите домашнее задание и перед выходом проверьте, можете ли ответить на контрольные вопросы."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все задания выбранного маршрута, записаны промежуточные преобразования, правильно названы свойства, практическая задача решена двумя способами и сделан вывод о рациональности.
- «4» — верно решены не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, свойства в основном названы правильно, практическая задача решена верно хотя бы одним способом.
- «3» — выполнены все обязательные задания базового уровня, верно решены не менее двух примеров, но есть ошибки в применении свойства или недостаточно обоснован выбор способа.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство умножения вы сегодня применяли увереннее всего? | Выявление осознанности и степени усвоения формулировок свойств. |
Как вы понимаете, что множители выгодно сгруппировать? | Проверка умения выбирать рациональный способ вычисления. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявление точек затруднения в алгоритме преобразования выражений. |
Что вы сделаете на следующем уроке, чтобы решить такие задания увереннее? | Формирование навыка самооценки и планирования коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы убедились, что свойства умножения помогают считать быстрее, но только тогда, когда мы осознанно выбираем способ. Особенно внимательно следите за распределительным свойством: множитель нужно умножить на каждый член суммы. Вы хорошо работали в парах и группах, объясняли решения и исправляли ошибки. На следующем уроке мы продолжим применять свойства умножения в более сложных выражениях и текстовых задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 числовых выражений на применение переместительного, сочетательного и распределительного свойств: два выражения на группировку множителей, два на раскрытие скобок и одно на вынесение общего множителя. Рядом с каждым преобразованием указать свойство. | Закрепляет алгоритм выбора свойства; при проверке обратить внимание на правильность преобразований и названий свойств. |
Средний (повышающий) | Решить 3 практические задачи на умножение в ситуациях покупки, упаковки или распределения материалов, составив к каждой рациональное выражение и записав краткое объяснение способа. | Развивает математическую и финансовую грамотность; при проверке смотреть, соответствует ли выражение условию и обоснован ли выбор способа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных выражения, в которых удобно применить разные свойства умножения, решить их двумя способами и объяснить, какой способ короче. | Развивает умение создавать математическую задачу, сравнивать способы и аргументировать рациональность решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как звучит переместительное свойство? Когда удобно применять сочетательное свойство? Как раскрыть скобки в выражении $a\cdot(b+c)$? Как вынести общий множитель за скобки в выражении $ab+ac$? Почему в практической задаче $8\cdot(25+15)$ можно заменить выражением $8\cdot25+8\cdot15$?»
