Решение задач, обратных данной
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научитьcя составлять и решать две задачи, обратные данной, изменяя неизвестную величину и сохраняя связь между условием и вопросом.
- Познакомить учащихся с понятием «задачи, обратные данной», показать связь между тремя величинами в задаче и научить проверять правильность составленной задачи.
- Развивать умение выделять условие и вопрос задачи, выбирать арифметическое действие, объяснять ход решения и работать по образцу.
- Формировать навыки сотрудничества при составлении обратных задач в парах и самоконтроля при проверке решения.
- Воспитывать интерес к математике, внимательное отношение к условию задачи и уверенность в собственных силах.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительную мотивацию к решению текстовых задач через игровую ситуацию и достижение учебной цели.
- Осознают ценность внимательного чтения условия и ответственности за правильность общего решения.
- Проявляют готовность оказывать помощь однокласснику и принимать помощь при работе в паре.
- Оценивают собственный успех и называют действие, которое уже выполняют уверенно.
Метапредметные
- Познавательные: выделяют известные и неизвестные величины, устанавливают связи между ними, преобразуют данную задачу в обратную.
- Коммуникативные: договариваются в паре, формулируют вопрос задачи и объясняют выбор арифметического действия.
- Регулятивные: принимают учебную цель, планируют последовательность решения, сверяют результат с условием и исправляют ошибку.
- Развивают математическую и читательскую грамотность через работу с коротким текстом задачи и схемой.
- Используют простую модель задачи: краткую запись, схему или числовые данные.
Предметные
- Знать, что задачи, обратные данной, составляются на основе тех же величин, но неизвестной становится другая величина.
- Уметь находить в задаче условие, вопрос, известные и неизвестные данные.
- Уметь составлять две задачи, обратные данной, по числовым данным и решать их.
- Уметь проверять, связаны ли условие, вопрос и выбранное арифметическое действие.
- Владеть навыком записи решения задачи с пояснением и кратким ответом.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Принимают учебную задачу и понимают, зачем нужно уметь составлять обратные задачи.
- Проявляют интерес к поиску разных способов изменения одной и той же задачи.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и соблюдают доброжелательные правила общения.
- Связывают математические действия с понятными жизненными ситуациями: игрушками, книгами и предметами класса.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока с опорой на проблемный вопрос учителя.
- Планируют решение по шагам: прочитать, выделить данные, изменить вопрос, выбрать действие, проверить ответ.
- Сверяют составленную задачу с исходной схемой и находят несоответствия.
- Осуществляют самооценку с помощью сигнальных карточек и исправляют обнаруженные ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию в условии задачи и представляют её в виде схемы.
- Сравнивают данную и обратную задачи, находят общее и различия.
- Устанавливают логическую связь между величинами и выбирают сложение или вычитание.
- Моделируют задачу с помощью карточек с числами, отрезков и краткой записи.
- Формулируют вывод о том, как меняется неизвестное в обратной задаче.
Коммуникативные УУД
- Слушают партнёра и по очереди выполняют роли составителя и проверяющего.
- Задают уточняющие вопросы: «Что известно? Что нужно узнать? Какое число стало неизвестным?».
- Аргументируют выбор действия коротким полным предложением.
- Договариваются о единой формулировке вопроса и корректно сообщают об ошибке.
- Представляют результат парной работы классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или экране рисунок: 5 красных и 3 синих карандаша, а также числа 5, 3 и 8.
- Распечатать карточки с исходной задачей и наборами слов для составления двух обратных задач: по одной карточке на пару.
- Подготовить карточки-сигналы зелёного, жёлтого и красного цвета для самооценки — по одной на каждого ученика.
- Разложить на парты конверты с тремя карточками-величинами: «было», «добавили», «стало».
- Подготовить магнитные стрелки или полоски бумаги для демонстрации связи 5 + 3 = 8, 8 − 3 = 5, 8 − 5 = 3.
- Распечатать индивидуальную карточку самостоятельной работы — по одной на каждого ученика и 2–3 запасных экземпляра.
- Вывесить на доску памятку: «1. Прочитай. 2. Найди данные. 3. Измени вопрос. 4. Выбери действие. 5. Проверь ответ».
- Подготовить таймер на 1–3 минуты, карандаши и листы для парной работы.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки; заранее выбрать движения по теме «Собираем и возвращаем карандаши».
- Подготовить таблицу рефлексии с фразами: «Я понял», «Мне нужна помощь», «Я могу объяснить».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать доброжелательный настрой и включить детей в игровую учебную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята! Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, ручка и учебные карточки. Сегодня мы станем маленькими исследователями задач. Нас ждёт математический секрет: одну задачу можно превратить в другие задачи, не меняя её чисел." | Проверяют готовность рабочего места, садятся правильно, повторяют: "Сегодня будем исследовать задачи". |
2 мин | Учитель показывает рисунок с 5 красными и 3 синими карандашами: "Посмотрите на доску. Что можно узнать, если соединить эти две группы? Какое действие подсказывает рисунок? Сегодня нам важно не только решить задачу, но и придумать новую на основе этой." | Рассматривают рисунок, считают предметы, отвечают: "Всего 8 карандашей", записывают или проговаривают равенство $5+3=8$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели три связанных числа. Сейчас вспомним, как находить неизвестное в простой задаче, а затем узнаем, как из одной задачи получить две новые."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить структуру задачи и действия сложения и вычитания, необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Разложи задачу»: "Послушайте задачу. У Маши было 5 наклеек, а у Пети — 3 наклейки. Сколько наклеек у них вместе? Назовите условие, вопрос, известные числа и действие." Учитель прикрепляет на доску карточки «условие», «вопрос», «известно», «найти». | Определяют части задачи и отвечают: "Известно 5 и 3, нужно найти количество всех наклеек, поэтому выполняем сложение". Записывают $5+3=8$. |
3 мин | Учитель предлагает работу в парах: "Обсудите с соседом, как проверить ответ. Один ученик объясняет, второй показывает числа на карточках. Затем поменяйтесь ролями. Каким действием можно проверить сложение?" | В парах составляют проверку $8-3=5$ или $8-5=3$, объясняют: "Если из общего количества убрать одну часть, получим другую". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что в задаче есть условие и вопрос, а связанные числа можно проверять обратным действием. Теперь выясним, что произойдёт, если неизвестной станет не сумма, а одна из частей."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает задачу: "У Маши было 5 наклеек, Петя дал ей ещё 3 наклейки. Сколько наклеек стало у Маши?" После решения спрашивает: "А теперь представьте, что мы знаем: у Маши стало 8 наклеек, а 3 наклейки дал Петя. Как спросить, чтобы найти другое число?" | Решают $5+3=8$, затем замечают, что можно спросить: "Сколько наклеек было у Маши?" или "Сколько наклеек дал Петя?". |
2 мин | Учитель подводит к проблемному вопросу: "Перед нами почти те же числа и та же история. Но вопрос изменился. Как назвать задачу, созданную на основе первой? Что нам нужно научиться делать сегодня?" Учитель принимает детские формулировки и записывает цель. | Формулируют цель: "Научиться составлять и решать задачи, обратные данной"; предполагают: "В обратной задаче неизвестным становится другое число". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заметили затруднение: недостаточно просто поменять вопрос, нужно проверить, подходит ли к нему действие. Откроем правило вместе на схеме."
Этап 4. Открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: открыть способ составления двух задач, обратных данной, и связать их с тремя равенствами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске схему: 5 карандашей были, 3 карандаша добавили, 8 стало. Говорит: "В первой задаче неизвестно, сколько стало: $5+3=8$. Если неизвестным сделать число 5, составим вопрос: сколько карандашей было сначала? Тогда из 8 нужно вычесть 3. Если неизвестным сделать число 3, спросим: сколько карандашей добавили? Тогда из 8 вычтем 5." | Передвигают карточку «?» по схеме, формулируют два вопроса и равенства: $8-3=5$, $8-5=3$. |
3 мин | Учитель вводит название: "Задачи, в которых известные и неизвестные величины связаны с исходной задачей, называют обратными. Посмотрите: числа и сюжет связаны, но неизвестным становится другая величина. Составим краткую запись на доске." Учитель записывает памятку: «Данная: часть + часть = целое; обратные: целое − часть = часть». | Читают памятку, повторяют правило своими словами, записывают в тетрадь три связанных равенства и выделяют неизвестную величину в каждой задаче. |
2 мин | Учитель использует приём «Сократовский диалог»: "Что в обратной задаче остаётся прежним? Что меняется? Почему в двух обратных задачах появляется вычитание? Как проверить, что задача действительно обратная?" | Отвечают: "Сюжет и три величины остаются связанными; меняется вопрос и неизвестное; из целого вычитаем известную часть; проверяем ответ сложением". |
Запись в тетрадях
- Данная задача: $5+3=8$.
- Первая обратная задача: $8-3=5$.
- Вторая обратная задача: $8-5=3$.
- В обратной задаче неизвестной становится другая величина.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило: из одной задачи на нахождение целого можно составить две обратные задачи на нахождение частей. Теперь потренируемся составлять их вместе и проверять друг друга."
Этап 5. Физкультминутка «Собрали — вернули» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение, сохранить внимание и повторить связь трёх чисел в движении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. Представим, что собираем карандаши. На счёт 1–2 поднимаем руки — это две части. На счёт 3 соединяем ладони — получили целое. Теперь из целого возвращаем одну часть: наклоняемся вправо, затем другую — влево. Повторяем движения и проговариваем: часть плюс часть — целое, целое минус часть — часть." | Выполняют движения по инструкции, проговаривают хором: "Часть плюс часть — целое; целое минус часть — часть", затем спокойно садятся. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы отдохнули и ещё раз показали движениями, как связаны части и целое. Теперь применим правило в парной работе."
Этап 6. Первичное закрепление. Парная работа (8 мин)
Цель этапа: научить составлять и решать обратные задачи по готовой ситуации с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: "В коробке было 6 зелёных кубиков, а красных кубиков на 2 больше. Сколько красных кубиков в коробке?" Обращается к классу: "Прочитайте задачу, назовите известные числа и вопрос. Какое действие нужно выполнить?" | Читают условие по очереди, выделяют числа 6 и 2, формулируют: "Нужно узнать, сколько красных кубиков, поэтому выполняем сложение: $6+2=8$". |
3 мин | Учитель даёт инструкцию «Подумай — обсуди в паре»: "Сначала каждый тихо придумайте первую обратную задачу. Затем обсудите формулировку с партнёром. В первой обратной задаче спросите, сколько зелёных кубиков было, если красных 8, а красных на 2 больше. Запишите решение." | Индивидуально обдумывают вопрос, затем в паре формулируют: "В коробке было неизвестно зелёных кубиков, а красных 8. Красных на 2 больше. Сколько зелёных кубиков?" Решают $8-2=6$. |
3 мин | Учитель продолжает: "Теперь составьте вторую обратную задачу. Измените вопрос так, чтобы найти разницу между количеством красных и зелёных кубиков. Обменяйтесь карточками с соседней парой и проверьте: совпадают ли числа, вопрос и действие?" | Составляют задачу: "В коробке 8 красных и 6 зелёных кубиков. На сколько красных больше, чем зелёных?" Решают $8-6=2$. Проверяют работу другой пары, отмечают правильное решение знаком «+» или задают уточняющий вопрос. |
Эталон решения
Исходная задача: $6+2=8$ — красных кубиков 8. Первая обратная задача: $8-2=6$ — зелёных кубиков 6. Вторая обратная задача: $8-6=2$ — красных кубиков на 2 больше. Проверка: $6+2=8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы составили две задачи, обратные исходной, и проверили решения соседней пары. Обратите внимание: нельзя менять числа случайно — нужно сохранить связь между величинами. Сейчас каждый покажет, как умеет действовать самостоятельно."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание алгоритма составления и решения обратных задач.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и напоминает: "Работаем самостоятельно. На карточке дана задача: В саду росло 7 яблонь и 4 груши. Сколько всего яблонь и груш росло в саду? Сначала решите её, затем составьте одну обратную задачу на нахождение количества яблонь и решите её. Пользуйтесь памяткой на доске." | Читают условие, подчёркивают числа 7 и 4, записывают решение $7+4=11$. |
4 мин | Учитель наблюдает и при необходимости задаёт вопрос без подсказки ответа: "Какое число в обратной задаче станет неизвестным? Какие два числа теперь известны? Проверь, соответствует ли вопрос выбранному действию." | Составляют: "В саду росло 11 яблонь и 4 груши. Сколько яблонь росло в саду?" Решают $11-4=7$, записывают ответ полным предложением. |
3 мин | Учитель показывает эталон на доске: «Данная: 7 + 4 = 11; обратная: 11 − 4 = 7». Говорит: "Проверьте не только ответ, но и вопрос. Если нашли ошибку, зачеркните неверную запись одной чертой и исправьте рядом." | Сверяют условие, вопрос, действие и ответ с эталоном, исправляют ошибки, поднимают зелёную карточку при полном понимании или жёлтую, если нужна помощь. |
Эталон решения
В данной задаче всего яблонь и груш: $7+4=11$. В обратной задаче известно общее количество 11 и количество груш 4, неизвестно количество яблонь: $11-4=7$. Ответ: 7 яблонь.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете находить неизвестную часть по известному целому. Осталось проверить, что каждый понял главное правило и может объяснить его своими словами."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить, что такое обратная задача; жёлтую — если понимаете правило, но пока ошибаетесь; красную — если нужна моя помощь. Теперь закончите фразы: «Сегодня я узнал…», «Мне было трудно…», «Я проверяю себя так…»." | Поднимают карточки, по желанию заканчивают фразы: "Обратная задача меняет неизвестное"; "Мне трудно придумывать вопрос"; "Я проверяю ответ обратным действием". |
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Можно ли из задачи $5+3=8$ составить две обратные? Какие? Почему в них будет вычитание?" Учитель выслушивает два ответа и отмечает точные объяснения. | Отвечают: "Да. $8-3=5$ и $8-5=3$. В обратных задачах ищем часть по целому и другой части". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите один из трёх уровней. Обязательный уровень выполняют все. Средний и продвинутый можно выбрать дополнительно. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: что должно измениться в обратной задаче?" | Записывают выбранный уровень домашнего задания, отвечают: "Должен измениться вопрос и неизвестная величина, но связь чисел сохраняется". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно решена исходная задача, составлены две обратные задачи с корректными вопросами, оба решения записаны верно и дано не менее двух осмысленных пояснений.
- «4» — исходная задача решена верно, обратные задачи составлены правильно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, исправленная при проверке.
- «3» — исходная задача решена с помощью памятки, составлена и решена хотя бы одна обратная задача, но требуется исправление вопроса, действия или ответа.
- Оценка не снижается за различие формулировок, если вопрос сохраняет смысл задачи и соответствует выбранному действию.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое задача, обратная данной? | Проверить понимание нового понятия и умение сформулировать правило своими словами. |
Как изменяются вопрос и неизвестное в обратной задаче? | Выявить понимание связи между условием, вопросом и неизвестной величиной. |
Как ты проверяешь решение обратной задачи? | Определить освоение навыка самоконтроля и использования обратного действия. |
Какое действие на уроке было самым трудным? | Выявить индивидуальные точки затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы узнали, что из одной задачи можно составить две обратные. В обратной задаче меняются вопрос и неизвестная величина, но числа остаются связанными. Помните: сначала внимательно прочитайте условие, затем выберите действие и обязательно проверьте ответ. На следующем уроке мы продолжим составлять обратные задачи и будем решать их по краткой записи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 2 задачи на нахождение целого или части. К одной из них составить одну обратную задачу, записать решение и ответ. | Закрепляет алгоритм выделения величин, изменения вопроса и выбора сложения или вычитания; при проверке обратить внимание на соответствие вопроса и действия. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи на сложение и вычитание в пределах изученного диапазона чисел. Для двух задач составить по одной обратной задаче и выполнить проверку обратным действием. | Развивает умение переносить правило на разные сюжеты; проверить правильность формулировок и сохранение связи между тремя числами. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать короткую жизненную задачу с тремя связанными числами, составить к ней две обратные задачи, решить все три и оформить небольшую схему. | Формирует умение создавать математический текст и объяснять, почему составленные задачи являются обратными. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как узнать, что задача обратная данной?», «Какое действие выполняем, если известно целое и одна часть?», «Какие два равенства можно получить из $5+3=8$?»
